线性代数综合练习题

1、线性代数综合练习题时间：120分钟、选择题(每小题 3分，共15分)1.设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得B,再把B的第二列加到第歹得C,则?防足AQ=C勺可逆矩阵Q为(0 1 0(A)10 0；(B)。0 1 010 1;0 0 10 10(C) 100；0 11011(D) 10000012 .设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有()B的行向量组线性相关;B的列向量组线性相关;B的行向量组线性相关;B的列向量组线性相关。(A) A的列向量组线性相关, (B) A的列向量组线性相关, (C) A的行向量组线性相关, (D) A的行向量组线性相关,3,下列向量集按Rn的加法

2、和数乘构成R上一个线性空间的是()(A) Rn中，坐标满足X1+X2+-+Xn=0的所有向量；(B) Rn中，坐标是整数的所有向量；(C) Rn中，坐标满足X1+X2+ - +Xn=1的所有向量；(D) Rn中，坐标满足X1=1, X2,x n可取任意实数的所有向量。4 .设入=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(A2)-1有一个特征值等于()03(A) 4 ;(B) - ;(C) 1;(D) - o34245 .任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它()。(A)合同；(B)相似；(C)等价；(D)以上都不对。二、填空题(每小题 3分，共15分)2 1 01 .设矩阵A= 12 0,矩阵B满足：

3、ABA=2BA+E,其中A为A的伴随矩阵，E0 0 1是三阶单位矩阵，则|B|=。121X112 .已知线性方程组23a2X23无解，则a=。1a2x301 212000为正交矩阵，则a=14 .设A为n阶矩阵，且|A| w0, A为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。若A 有特征值入，则（A） 2+E必有特征值。5 .若二次型f= 2xi2+X22+X32+2 xi X2+t X2 X3是正定的，则t的取值范围是(1 a)x1X2X3X40设后齐次线性方程组：2x1(2取2x32x403x13x2(3 a)x33x404x14x24x3(4 a)x40、（15 分）试问a取何值时，该方程组有非零

4、解？并用一基础解系表示出全部的解四、(10分)设R3的两组基为：1(1,0,1)T,2(1,1,0)T,3(0,1,1)T 和 1(1,1,1)T,2(1,1,2)T,3(1,2,1)T,向量 a = (2, 3, 3) T(D求基1,2,3到基1,2 .3的过渡矩阵；(2)求a关于这两组基的坐标。五、（15分）设三阶实对称矩阵A的特征值为入1 = -2,入2= 1 （2重），a1=（1, 1, 1） 是属于入1 = -2的特征向量。试求：（1）属于入2 = 1 （2重）的特征向量；（2） A的伴随矩阵Ao六、(10分)设二次型 f x12 x22 x32 2axix2 2x1x3 2bx2x

5、3X1通过正交变换 x2X3y1P y 化为：f y22 2y32 ,求a、b。y3七、（10分）已知A , B为n阶可逆方阵，且满足 证：A-2E可逆。并求出（A-2E） -1=?2A1B=B-4E,其中E是n阶单位矩阵，试八、 （ 10 分）设A为n阶矩阵，且r（A） n 1, A11 A22Ann 1,其中Ai是A中元素a.的代数余子式（i=1, 2,，n）0试证：A的伴随矩阵A的特征值是0和1, 并说明各个特征值的重数。线性代数综合练习参考答案、选择题:1. (D); 2 (A); 3.(A); 4.(B); 5. C);1.1；2. -1 ; 3.92|AJ1 ； 5.-<,2

6、 t <21、解：A=a 112 2a 2333 a1 a 1 112a a 0 03a 0 a 04a 0 0 a(1)当a=0时，r(A)=1<4 ,故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为:X1+X2+X3+ X 4=0由此得一基础解系为：y1(1,1,0,0)Ty2(1,Q1,0)T,故全部解为：XC1ylC2y2C3y3y3(1,0,0,1)T(其中C1C2C3为任意常数)(7分)(2)当 aw0 时，B1 a 1 1 12 10 03 0 104 0 0 1a 10000210030104001当a=-10时，r (A) =3<4,故齐次线性方程组也有非零解，其同

7、解方程组为:2x1x203x1x30 ,解之，可得一个基础解系为:4x1x40y二 (1, 2, 3, 4) T,故全部解为：X=ky (其中k为任意常数)(15分) 备注：此题也可另解v |A|= (a+10) a3当|A|=0时，即a=0或a=-10时，齐次线性方程组有无穷解。110111四、解：(1)记 B= ( 1,2,3)=011, C=( 1, 2 , 3) =1121011211则有：01从而，由基3到基3的过渡矩阵为:1 2(5分)A=B1 C= 1 2 1 2（2）设a关于基3的坐标为（y1，y2 , y3)即:y1y2 2y3 3由此可得:y1y1y1y2y22 y2y32

8、 y3y3y10, y21, y31,故a关于基3的坐标为(0, 1, 1),又二即a关于基X1X2X3y1y2y31212123的坐标为（1,1,2)(10 分)X2, X3)T,五、解：（1）设A的属于特征值入2=1 （2重）的特征向量为（X1,则:A是实对称矩阵,1X1, X2, X3)T与 a1 正交，即有：(X1, X2, X3)1 =0,1也即：X1+X2+X3=0,解之：a 2= (-1 , 1, 0) Ta 3= (-1 , 0, 1). A的属于入2=1的全部特征向量为：ki a 2+ k 2 a 3（ki, k2不同时为0）(5分)(2)v A*=|A|A-1；A的特征值为

9、：冏（-）, |A| 1 （2重）2又|A|=-210分).A的特征值为:1,-2 （2重）a 2, a 3) = ( a i, a 2, a 3)10*A=(a1, a 2, a3)02111101121113331121-3333112333(15 分)六、解：f的正交变换前后的矩阵分别为：1a1000Aa1b和B0101b1002于是，A、B相似，从而有相同的特征多项式即：|入E-A|二|人E-B| 分）也即：入3-3入2+各幕次项系数有：(a b)22 a2b2（2-a2-b2）入+ （a-b） 2=入3-3入2+2入，比较上式等号两边的人(10 分)七、证明：= 2A1B=B-4E左乘 A,得：2B=AB-4A （5 分）即：AB-2B-4A=0（A-2E） （B-4E） =8E故A-2E可逆，且（A-2E） -1 = 1 （B-4E） （ 10 分）8八、证明：= r （A） =n-1. .r （A*） =1