线性回归方程——非线性方程转化为线性方程

1、4X0对 36 邛 40 42 44 46 4H 5。52 54 56年宣传费“元线性回归方程一一非线性方程转化为线性方程例1. （2015高考全国卷I ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 y （单位：t）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费Q和年销售量= 1,2,数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.563二（三21469工（%一啾兑-¥）（I）根据散点图判断，也与丫 -。* d血，哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中

2、数据，建立 y关于x的回归方程;（III）已知这种产品的年利润z与x, y的关系为,根据（II）的结果回答下列问题:（i）年宣传费.49时，年销售量及年利润的预报值是多少（ii）年宣传费:为何值时，年利润的预报值最大附：对于一组数据1 d?, （Unkn）,其回归直线V-a + |3u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:【答案】（I ）v4 d点适宜作为年销售量¥关于年宣传费X的回归方程类型；（n ）- = 100,6 4 68欣；（m ）（i）答案见解析；（ii）千元.【解析】（I）由散点图可以判断,适宜作为年销售量：关于年宣传费x|的回归方程类型.（II）令*-Jx,先建立v关于W

3、的线性回归方程，由于=68,.白二 V -加+563-68第二,关于w的线性回归方程为3二100.6 + 6g梆因此丫关于&的回归方程为|y二100.6劣（III） （i ）由（II）知，当卜=49时，年销售量1的预报值= 100,6 4福眄=年利润z的预报值为z= 576,6 0.2-49 = 66 32.（ii ）根据（II）的结果知，年利润 z的预报值2二0.2（100,6 + 6融尿）.k = kS6瓜+加2所以当%反=f=6' 即K #2时，力取得最大值.故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大例2.某地级市共有 200000中小学生，其中有 7%学生在2017年享受了

4、 国家精准扶贫”政策，在享受 国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为 学生，当地市政府设立专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助经济学家调查发现， 当地人均可支配年收入较上一年每增加n%|, 一般困难的学生中有加"会脱贫，脱贫后将不再享受精准扶贫”政策，很困难的学生中有 2M转为一般困难，特别困难的学生中有 n,"转为很困难。现统1t了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中 统计量的值，其中年份 工取13时代表2013年，卜与y (万元)近似满足关

5、系式 1yHe26*,其中|C1.。为常数。(2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变)5:3:2,为进一步帮助这些1000 元、1500 元、2000 元。V£汇 ir-l5_to-1型人- 8 i-L23123.14.621其中k产心目加|, 1 =(I )估计该市2018年人均可支配年收入;(n)求该市2018年的专项教育基金”的财政预算大约为多少其回归直线方程1 -4 Gl的斜率和截距的最【详解】(I )因为三43-14-15+16+ 17) = 15,所以；/广+炉+20.-xXL £)由卜=log2y 得 t = logiCi+ c那，所以 J一 一;一

6、fw，疗一二 in , 1O£?C| =k"C掇=12,所以C = 2”" = 0.：S,所以.卡.当工=18时，2018年人均可支配年收入v = 0,8=(万)(n)由题意知2017年时该市享受 国家精准扶贫”政策的学生共200000X 7%=14000人般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人，2018年人均可支配收入比 2017年增71=*-'=0】=10% U.S a所以2018年该市特别困难的中学生有2800X (1-10%)=2520人,很困难的学生有 4200X (1-20%)+2800X 10%=3640般困

7、难的学生有 7000X (1-30%)+4200X20%=5740.所以2018年的 专项教育基金”的财政预算大约为 5740X 1000+3640X 1500+2520X 2000=1624?.例3.近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次 （单位：十人次），统计数据如表l所示:jri,2343676112134661011961表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图.根据散

8、点图判断，在推广期内,也工与yy dc, d均为大于零的常数哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）;（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;参考数据:y£孙加1*1瞰4 I62.14L5425S550.12 J3.47 1参考公式：对于一组数据其回归直线国的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:【答案】（1）y =（2） 3470【详解】（1）根据散点图判断，¥二。小适宜作为扫码支付的人数 ¥关于活动推出天数K的回归方程类型;（2）” 41两边同时取

9、常用对数得:isv = late d)1期4 |防1 X ； 14050.U-7 - 1 I.M=0 7528 S3-0.54把样本中心点（4,1,54.代入V - Ige + 13 ,乂得：扇二v = 0.54 + 0 25nliv = 0.54 4 口,25*-7关于氏的回归方程式：y100.54+ 0.251 _ |qS4 x_ 3 47 x把其=代入上式,活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470 ;2017年成交的例4.近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对二手车交易前的使用时间（以下简称使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图图2殳一云

10、山k-（1）记 在7年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在k ,16|”为事件.4,试估计A|的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2,其中、（单位：年）表示二手车的使用时间，y|（单位：万元）表示相应的二手车的平均交易价格. 由散点图看出，可采用y二以作为二手车平均交易价格y关于其使用年限卜 的回归方程，相关数据如下表（表中 看=嗝, ”版5：根据回归方程类型及表中数据，建立（关于工的回归方程；该汽车交易市场对使用 8年以内（含8年）的二手车收取成交价格 卜区的佣金，对使用时间8年以上（不含8年）的二手车收取成交价格10%的佣金.在图1对使用时间的分组中，以各组的

11、区间中点值代表该组的各个值.若以 2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.附注： 对于一组数据1bvj ,其回归直线包4 0U的斜率和截距的最小二乘估计分别为。- miv _ _工二一,一阿 参考数据：产5 191%5.75 限1 73,/扁上a 52,小斑片0.16 .【答案】（1）; （2） ”七人，叫 万元【详解】（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为0.07 . 4二。舞 在O2J6的频率为 0.03 4 = 012 所以P（A） = U2K + 012 = 0.40.（2）由丫 = /“吃得1g=4氏，即

12、丁关于卜的线性回归方程为Y = a + bx. 0J , 2 = Y - h R =】9 - (- 0 3) x 5.5 = 3一55、工.与秤二侬丫 _逑g叱£51 1-9 因为加 侬”卜工产 所以Y关于工的线性回归方程为Y = 3.55 -03x，即卜关于工的回归方程为 根据中的回归方程卜二仁3阴，乱九和图1,对成交的二手车可预测：使用时间在（0, 4|的平均成交价格为 户I/匕二J9抬 坟,对应的频率为口水使用时间在（4, *|的平均成交价格为e- = c-5r75|,对应的频率为036 ；使用时间在（&的平均成交价格为9贷口。二心弁物用|,对应的频率为0万； 使用时间

13、在（12, 16的平均成交价格为- H = e a650 52|,对应的频率为0.12 ； 使用时间在（16, 20的平均成交价格为 心5$43 - lS=eLft50 16 ,对应的频率为0.04 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为（02 片面+ 036 x 5.75） 4° 8-（0 28 x 1.73+0.12 x 0.52+0.04 x 0.16） x 10%= 0,29（为"029 万元例5.菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防止害虫的危害， 但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药,食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x（单位：千克）清洗

14、该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y（单位：微克）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.y （微克）y|W£ -£ (沟-口i 二 1£ (wi- w)21 = Jg£ (xi - xltvi - y) i-lg£ (wi-w)(> i-y)3381110374121-751x （千克）其中，（I）根据散点图判断，w =9;中与二收？十C,哪一个适宜作为蔬菜农药残量与用水量工的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（n）若用解析式?二小？4。作为蔬菜农药残量 卜与用水量*的回归方程，求出:与其的回归方程.（c, d精确到（出）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于 20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜（精确到，参考数据（5=2,236）附：参考公式：回归方程 仗二54氤中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：X氐由b = * 1 ， a = y - bx£ （xrai【答案】（1）见解析；（2） ；-2,Ox： + 6O,0|; （3）需要用4. 5千克的清水清洗一千克蔬菜.与用水量卜的回归方程类型;（I）根据散点图判断二dj? + e适宜作