2020高考热点第3讲三角函数图像与性质

1、第3讲三角函数的图象和性质, bsin j2 22% a2+b2a1 .辅助角公式 asin a+ bcos a= Ja一 一一 ，一， 一，1 =-2cos4(x a)的图象.又函数g(x)的图象关于原点对称，因此有g(0) = 2cos+ b2 sin（ a+ 机 其中 cos（j）= 1fo f a2+ b2或 tan b a2 .三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法, ,兀一，,一 一 一，若f(x)=Asin(cox+昉为偶函数，则 Q kjt+q(kC Z),同时当x= 0时，f(x)取得最大或最小值.若f(x) = Asin(cox+ 为奇函数，则 Q kjt kC Z),

2、同时当x= 0时，f(x) =0.(2)f(x)= Acos(cox+ 当kTt+京kC Z)时为奇函数;当 上knkC Z)时为偶函数；对 称轴方程可由 wx+(= k Tike Z)求得.f(x)= Atan(wx+机 当(j)=(k Z)时为奇函 数.(3)求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(x+ M, y= Acos(«x+昉,一 一2兀 2兀兀. .y=Atan(cox+财的形式，再分别应用公式丁=1|, 丁=71，丁=求解.国 网 对于函数y= Asin(cox+/ 其对称轴一定经过图象的最高点或最低点一对称中心的叱坐标一定是函数的零点.(5)若 f

3、(x)=Asin(cox+ 昉，则对称轴为 x=2kk对称中心为:kj=L_0 (kCZ).2 3 co_cok2 -f(x) = Atan(cox+ 的对称中心为(=,0)(k Z).考点一 三角函数的图象及变换小心仲缩”看A、6；由图”定式“找对象”.，一、c1兀，一一、一 ，一 一，例(1)已知函数f(x)=sin2(cox) 2(3>0)的最小正周期为2,若将其图象沿x轴向右平移a的最小值为()a(a>0)个单位，所得图象关于原点对称，则正实数兀-3兀兀兀A.4 B- 7C.2 D- 8解析：选D.依题意得f(x)=1coS 2°X-；=1cos 2cox,最小正

4、周期丁=尹=5 3 = 2, 2222 co 21.1 所以f(x) = -2cos 4x,将f(x) = 2cos 4x的图象向右平移a个单位后得到函数 g(x)4a=0, 4a= -+1k”，即a = A8，底Z,因此正实数a的最小值是8.(2)已知函数f(x)=Asin(cox+(A,。是常数， A>0, «>0, 0W g兀)的部分图象如图所示，其中M, N两点之间的距离为 5,则f(6) =.解析：由题图可知A=2,因为M, N两点分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，设 M(xi, 2), N(x2, 2),因为 |MN|=5,所以 y(xi X2)2+ 2

5、( 2) 2 = 5, 解得|X1 X2|=3,因为M, N两点横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即T=3,解得T=6,所以f(6) = f(0)=1.答案：1总结：已知函数y= Asin(cox+(f)(A>0, 3>0)的图象求解析式时， 常采用待定系数法，由图 中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定3；确定。常根据 五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位 长

6、度数和方向.变式训练1.已知函数f(x)=Asin(cox+ 9)(A>0, |。|< nt的部分图象如图所示，将函数y = f(x)的图象向右平移4个单位长度彳#到函数y=g(x)的图象，则函数y=g(x)的解析式为()A . g(x) = 2sin 2x兀C. g(x)= 2sin 2x+ 兀B. g(x) = 2sin 2x+- o兀D . g(x) = 2sin 2x 4解析：图象法由图得 A= 2, T=f ?=兀，所以3= 醇 2. o oI3兀 jt一一因为 x=-2 = 8J寸，y=2,所以 20= + 2k 兀 kCZ),所以 0= j+ 2k 兀 kCZ),因为

7、|。|兀，所以。=4,所以函数f(x) = 2sin 2x+4 .因为函数g(x)的图象由函数f(x)的图象向右平移 江单位长度得到，所以 g(x)=f x-4 =2sin2(x-4) + 4 = 2sin 2x4 .故选D.考点二三角函数的性质及应用例2 (2018全国卷n )若f(x) = cos x-sin x在-a, a上是减函数，则 a的最大值是()兀A.4兀B, 2D.兀C 37t解析：导数法转化不等式恒成立模型f' x) = sin x cos x= (sin x+ cos x) = >/2sin x+ 4 .由题意知，f'x)w0,即一J2sin x+4

8、< 0在区间a, a上恒成立,，、八一兀,一、一,，一 ，、也就是sin x + 4 > 0在区间 a, a上恒成立.由 sin x+4 >0,得 2k 送 x+jw 2卜兀+ 兀 kC Z),解得 2k 兀一j< x<2kTt+ 34r(ke Z). _兀3兀所以a, a? 2kL4, 2k%+ (kCZ),显然当k=0时，上述关系才能成立，-a>-即a, a? 乎,此时解得a<T.从而a的最大值为?选A.443 兀44aw T，例 3 已知函数 f(x) = sin(x+ 昉 w>0, |(f)|<2 , x= j为 f(x)的零点，x

9、=4为 y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在 喧，36t上单调，则 的最大值为()A. 11 B. 9C. 7 D. 5斛析： 由 f4=0 佝，-4 w+ 4= k 兀 k C Z),后 k 兀+ w,则 f (x) = sin w x+ k 兀+ w =-2csin 3 x+ 43 , k= 2n4一，兀Tt 兀兀,(n C Z).由 f 4 = ± 1,即 sin 4 co + 4 3 = sin 2w= ± 1,一 sin 3 x+4 3 , k=2n+ 1可知3为正奇数兀，兀 兀-2<。+43< 2(3>0).由2k o 口 _K J2 36-

10、18-2-4k< «<2-4k,又由于w> 0,所以k只能取0, 1-2, - 3.当 k= 0 时,« (-2, 2);当 k= 1 时，« (26)；当 k= 2 时，coC (6,10);当 k=- 3 时，« (10,14).因为3是正奇数(不超过12),所以 co 1 , 3, 5, 79, 11.当 3=11 时，xC 7；, 5； , 3X+ 九=11x+ 詈 C18 3644121 兀 154 兀 人士 7 兀 ntt r/ .百，年，里面含有万，则f(x)在A，36t上不可能单调，不符合题意7t18，36，x+ 4(d

11、=9x+了3e99 % 126 兀中-T人 2n+1箭飞6-，里面不含 一2一兀ne Z)中的任何一个，f(x)在比，16t上单调，符合题意.综上，3的最大值为9.故选B.总结求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧求单调区间的两种方法：代换法：求形如 y=Asin(cox+ (或 y=Acos(cox+(j)(A, w,()为常数，Awq w>0) 的单调区间时，令cox+(j)= z,则y = Asin z(或y = Acos z),然后由复合函数的单调性求得.图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间.(2)判断对称中心与对称轴：利用函数y=Asin(cox+昉的对称轴一定经过

12、图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数值等于零的点这一性质，通过检验f(xo)的值进行判断.(3)三角函数的周期的求法：定义法.公式法：y=Asin(cox+昉和y=Acos(cox+ 0的最小正周期为 汗 y=tan(cox+昉的最小正周期为 产.利用图象对称性求周期.心|心|课后练习1. (2019全国卷n)下列函数中，以2为周期且在区间4, 2单调递增的是()A . f(x)= |cos 2x|B . f(x)= |sin 2x|C. f(x)=cos|x|D. f(x)= sin|x|解析：选A.作出函数f(x)=|cos 2x|的图象，如图.J、/ ,由图象可知f(x) = |co

13、s 2x|的周期为2,在区间：，2上单调递增.号4 晋普“同理可得f(x)=|sin 2x|的周期为2t，在区间4, 2上单调递减，f(x)=cos|x|的周期为2 71f(x)= sin冈不是周期函数，排除 B, C, D.故选A.3兀8 7114 71 2. (2019长沙*II拟)已知函数f(x)=2cos cox+ 6(co>0)满足：f目=f且在区间8寸, 手 内有最大值但没有最小值.给出下列四个命题: 33pi: f(x)在区间0 , 2 nt上单调递减；P2： f(x)的最小正周期是 4 %P3： f(x)的图象关于直线x=+称；P4： f(x)的图象关于点一学 0对称.其

14、中的真命题是()A .pi ,P2 B.pi,P3C.P2,P4D.P3,P4解析：选C.由题意得，当x= 33, f(x)取得最大彳1,则cos11%+2 = i,233611+ 2= 2k% 3= * 1 (kC N*),又易知 T= 2-> 14工等三 2 兀，0<1,所以 k =3622co 331_ x 兀 27t,1, 3=2, f(x) = 2cos 2+6 .故 f(x)的最小正周期 T=4it, P2是真命题，又£4=0，因此f(x)的图象关于点 一 0对称，P4是真命题.故选 C. 33考点三与三角函数有关的值域、最值小上心 sin 2x+ sin x

15、.,例函数f(x)=-*的值域为 sin 2x+ sin x斛析：f(x)=sin x =2C0sx+1,且x次为所以彳 211m 10 t+2 +2.因为函数的取大值为2,显然此时t= 5.令g(t) = 万，得t= 1或t=0,由题意知xC -2 m ,当x=, t= 1, g( 1)=结合g的图象及函数的域为(T, 3)- ，一C1- 兀 (2)(2019 苏州模拟)已知函数 f(x) = 10sin1“1人一TT, ,、，值域为一2, 2 , 可"2<sin m"斛"6wmw。.故选 B.总结：求三角函数在指定区间上最值的类型和方法(1)化归与整体意

16、识：化一角一函数型的三角函数形如f(x)= Asin(wx+(j)+ B,注意x的范围.(2)换元转化意识：对于 f(x)=asin2x+ bsin x+ c 和 y= a(sin x+ cos x) + bsin xcos x+c 型常用换元法，转化为二次函数在限定区间上的最值问题. x10sin x-2, xC -2, m 的值域为1一-,2 ,则实数m的取值范围是()A.7t3'0 B.7t6'0 C.7tjr6D.6'.一一 .兀一 一. c1解析：选 B.记 t=sin x, xC -2, m ,则函数 f(x)可转化为 g(t) = - 10t2-10t-

17、= -变式训练1.已知函数f（x）= sin w x+ 4（3。）在 温 3上有最大值，但没有最小值，则 值范围是解析：由题意得：mco卜六畀2k兀小+23+ 2k% kC Z , T =4 234 2co<3+24k,kC Z,kC Z,得观察可得3co >4+ 6k, k e Z ,k= 0,故34 3 .答案:课后练习1函数必=富声的最小正周期为B.C.71D.71解析：选C.f（x）tan x1tan2 xsin xcos xsin xcos x“sin2xcos2 x+ sin2 x1+co?;,1，= sin xcos x=2sin 2x,所以 f(x)的最小正周期2-

18、5T= 2 ,i, -12 .函数 f(x)=5sin兀 x+-3+ cos兀x6的最大值为（6A.5 B-3C.51D- 5解析：选A.cos兀x6兀=cos 2 一兀x+- 3一一 ,兀= sin x+-3则 f(x) = 1sin x + f +sin x+f =-6 5335sin x+ 3函数的最大值为6.3 .定义一种运算a b=ad bc,将函数c df(x) =2sin x的图象向左平移 0）cos x个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则（）的最小值是（）兀兀2兀A.6B- 3 C. 35兀D-三解析：选 C.f(x)= 2cosx 2msin x= 4cos x+；,依题意 g（x） = f（x+ =4cos x+3c +。是偶函数（其中（f） 0）.24= k兀，k C Z