合肥工业大学电磁场与电磁波孙玉发版答案

1、第四章习题解答4.1】如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零, 位为U 0,求槽内的电位函数。上边盖板的电解根据题意，电位(0,y)(x, y)满足的边界条件为两边同乘以题4.1(a,y) 0;(x, y)D (x,0)0；(x,b) U0根据条件和,Ansinh( ny)sin( n-x)由条件，有 n 1aan xsin(n),并从0到a对x积分, a得到An2U0电位(x, y)的通解应取为asinh( n b a)n xsin()dx0a,、 4U0故得到槽内的电位分布(x, y) n 1,3,5L nsinh(n b a)n

2、ysinh( )sin(a4.2两平行无限大导体平面，距离为 b，其间有一极薄的导体片由，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y 0到y dy d到y电位线性变化,n x)ab(0, y) U0y/d。上板和薄片保持电位U0理，设板间的电位为存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为U 0)的电位，即2(0, y)(0, y)1(0, y)2(x, y)Ansin(3)en 1b两边同乘以故得到u0丁yU0Tyu 0Ty(0 y(d yx|b ;由条件有1(x, y)界条件为:U°y/b ；2(x, y)是两个电位为零的平行导体板间有导d).,n y、sin(一y),并从0

3、到b对y积分，得到 b/、 U0 2bU01 . ,(x,y)万 丫 In/sin(x,0)(x, y)2(x,b)0 (x可设 2(x,y)的通解为b)nAnSin(-1by)U。U°dU0bU(0y d)(dy b)n y x )sin()e bu0 ,其余两面电位为零，求槽内的电位的解。T4.4如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位解 根据题意，电位 (x,y)满足的边界条件为题4.4图(0,y) (x, y) (x,0)，电位(a,y) 00(y)U0(x, y)的通解应取为(x, y)Ane n y asin( Jx);由条件，有 n 1aU0n x、Ansin().,n

4、x.两边同乘以sin（）,并从0到a对x积分，得到 Ana2U°n 1asin(0n x)dxa也(1 cosn ) n4U °n0 ，n 1,3,5,n 2, 4, 6,L4.5一长、宽、高分别为 a、y(y；故得到 （x, y）4U0n 1,3,5,L nv a n xy asin() ab、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为x b)sin()sin(-) c的电荷。求体积内的电位解在体积内，电位 满足泊松方程长方体表面S上，电位 满足边界条件(x, y, z)由此可得Amnp0 （m1)；由式（2）,得2。(一) an 2 ()(-)2c1 ,y(y0b)si

5、n()sin( )(1)0 o由此设电位的通解为m xAmnp sin()sin(ap z）sin（-）,代入泊松方程 c（1）,可得2An1( 一 )2 ab)(2)by(y b)sin(n y 4 b 3v)dy b(r)(cosn1)8b2(n70n 1,3,5L；故n 2,4,6,L(x, y, z)8b2-50 n sin( )sin(135 L3 l2z n x2J2a1,3,5,L n ( )( )( ) aa b cn yJ"4.6】如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷ql ,其位置为（0,d）。求板间的电位函数。解 由于在（0, d

6、）处有一与z轴平行的线电荷ql ,以x 0为界将场空间分割为 x 0和x0两个区域，则这两个区域中的电位1（x, y）和 2（x, y）都满足拉普拉斯方程。（y） ql （y y。）。电位的边界条件为而在x 0的分界面上，可利用 函数将线电荷ql表示成电荷面密度(x,0) = (x, y)1(x,a)0 (x2(x,0) 二2(x, y)2(x, a)0 (x由条件和，可 由条件，有1(0, y)2(0, y)（二；）设电位函数的通解为由式（1）,可得ql(y d)_L题4.6图An sin(n 1) aBn sin( n 1a(1)AnBnn . , n y、Ansin( )n 1 a an

7、 . ,n y、Bnsin( )a aql /一(y0d)(2)（3）；将式（2）两边同乘以sin（ m-y），并从0到a对y积分，有由式(3)4.7数。AnBn2qlan和(4)解得1 (x, y)(y d )sin( n-y )dyq-sin(an 01 -nd、 n xa . ,n yx sin( )e sin( )1 n aa(x 0)(4)如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷由于在(X0,y0)处有一与z轴平行的线电荷ql ,以xX0Xo 和 Xo方程。而在xx0电位的边界条件为 1(0, y)=01(x0, y)ql o求槽内的电位函X a两个区域，则这

8、两个区域中的电位1(x, y)和2(x, y)都满足拉普拉斯的分界面上,2(a,y)2(X0, y)(可利用函数将线电荷0,x由条件和，可设电位函数的通解为 由条件，有D 1(X,0) =-) xX X0ql表示成电荷面密度(y) ql (y y°),为界将场空间分割为题4.7图1(x,b) 0,"(y y。)0n yAn sin()sinh(b2(x,0)= 2(x,b) 0n X0n yBnsin()sinhb(a X0)(1)n n yAn -sin() cosh(n 1 b 、b 'n nBn - sin( bn)cosh-b- (aX0)ql /(y0y。

9、)(2)由式(1),可得An sinh(n X0)Bnsinh(aX0)0(3)将式(2)两边同乘以sin(m-y)，并从0到b对y积分，有bAn cosh(n X0n ,)Bn cosh (ab2qlX0)n 0(y、一n y、，MJ为 sin( n 0(4)由式(3)和(4)解得1(x, y)2ql2(x, y)0 n2qlnsinh(n a b)1nsinh (ax0)sin(n y0)sinh( 口A*),(0X0)nsinh(n a b)n X).sinh( -)bsin(n y0)sinhn y(a x)sin(v)(X0x a)若以yy0为界将场空间分割为0 y4.8如题4.8图

10、所示，在均匀电场E0y0和y0 y b两个区域，则可类似地得到eXE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a 0求导体圆柱外的电位 和电场e以及导体表面的感应电荷密度。解 在外电场E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位 0与感应电荷的电位柱为无限长，所以电位与变量 z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为0(r, )E0x CE0r cos所的叠加。由于导体圆C (常数C的值由参考点确定)，而感应电荷的电位in(r,)应与足的边界条件为0(r,) 一样按cos变化，而且在无限远处为 0。由于导体是等位体，所以 (r,)满由此可设(a, (r, (r,E

11、0r cosE0r cos由条件，有E0acosA1aC (r1A1r cos1 cos C2 于是得到A1a E0,故圆柱外的电位为(r,)若选择导体圆柱表面为电位参考点，即导体圆柱外的电场则为(r0。21、L八a r ) E0 cos C导体圆柱表面的电荷面密度为(r,)00E0COSr*4.11如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为 计算空间各部分的电位。a、介电常数为，在距离轴线r0(r0a)处，有一与圆柱平行的线电荷 ql ,在线电荷ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位(r,)均为线电荷 ql的电位l(r,)与极化电荷的电位p(r,(r, ) l(r, ) p(r,

12、线 电 荷 ql 的 电l (r,ql2一 ln0题4.11图ql22-ln . rr02rr 0 cos20-而极化电荷的电位p(r,)满足拉普拉斯方程,2(r,)满足的边界条件为分别为1(0,)为有限值；3 r a 时，1将式(1)-(3)带入条件,(1)且是的偶函数。介质圆柱内外的电位1(r,)和带入式2(r,l(r,)(r由条件和可知，1(r,1(r,)2(r,可得到r0时，将ln r展开为级数，有ln(5),得n(An nan 1Bn ona)和r2(r,l(r,)l(r,nAna cosn(An 1ln r0nna)cosnB,r0(2由式(4)和(7),有AnanBna n由此解

13、得A -qLa 2 0(0)n0) nr。Bnql(2 0(讨论:其中R1(r,2(r,0r)的通解为0na0)ql 2n0) an0) nr0a nAnr cosn1(0a)(2)BnnBn r cosn1na cosn1)cosn(a n 1()cosn1 r0(a(3)ql0 20lnR(5)(6)(7)故得到圆柱内、外的电位分别为-q-ln r2 r(2 2rr0 cos 2 0ql(0)2 0(0)r02 2rr0 cosql(0)2 0(0)-()ncosnn 1 n0(8)1 /a n()cosn(9)n 1 n r°r利用式(6),可将式(8)和(9)中得第二项分别写

14、成为 ，(a2/r0)22r (a2/r0)cos 。因此可将 1(r,)和2(r,)分别写成为由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（r0,0）的线电荷ql的电位相同，而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（r0, 0）a2的线电荷ql ；位于（,0）的线电荷 r。0ql;位于r 0的线电荷00 一ql。0*4.13在均匀外电场E0 况下球外的电位分布。解 （1）这里导体充电至0U0/a，总电荷q 4ezE0中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至Uo； （2）导体上充有电荷 Q 。试分别计算两种情U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0,此时导体球

15、面上的电荷密度0aU 0 o将导体球放入均匀外电场 E0中后，在E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。设（r, ）0（r, ） in产生的电位。 电位 （r,（r,），其中 0（r, ）E0ZE°rcos ,）满足的边界条件为是均匀外电场E0的电位,in（r,）是导体球上的电荷时,(r,)E0r cos : r a 时， (a,0?dSS r其中c0为常数，若适当选择(r,）的参考点，可使C0 U由条件，可设(r,)若使C0E0r cosU 0,可得到A 2A1r cos(r,)印1E0r cosC1代入条件，可得到A1321

16、a E0r cos aU 0ra3E0B1 aU0C1 C0 U0(2)导体上充电荷Q时，令Q4 0aU 0，有 U040a利用（1）的结果，得到(r,)E0r cos32a E0r cosQ4 0r4.14加。设空腔内、外的电位分别为1（r,）和2（r,），则边界条件为 r 时，2(r,)E°rcos r 0时，1(r,)为有限值; r a时，1(a,)2(a, ),0rE0r cosArcos ,2(r,)带入条件，有2A1 a A2 a ,0 E02E0r cosA2 r cos0AE0 2 a 3A2由此解得E0，A2-a3E00所以1(r,E0r cos空腔内、外的电场为如

17、题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场E0 ezE0,在介质中有一个半径为 a的球形空腔。求空腔内、外的电场 e和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为E为外加电场E。与极化电荷的电场 Ep的叠解 在电场E。的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场3E11(r,)-E020E22(r, )E0 (-一0且(2)3©2cose sin 20 r空腔表面的极化电荷面密度为4.17 一个半径为R的介质球带有均匀极化强度p(1)证明：球内的电场是均匀的，等于(2)证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子P 产生的电场相同,4 R33解(1)当介质极化后，在介质中会

18、形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电 是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的 程，可用分离变量法求解。建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为介质球内、外的电位1和2满足的边界条件为 1(0,)为有限值；2(r, )0 (r1(R,)2(R, )；0(r2) r R Pcos因此，可设球内、外电位的通解为1 (r, ) Arcos/ B12(r, ) cosr题 4.17图荷所产生的场。由于电位满足拉普拉斯方由条件，有AR解得旦R2 P 3"?2B10(A31)R_ PR3Bi于是得到球内的电位1(r,3 0Pr

19、 cos(2)介质球外的电位为2(r,)PR 3rcos3。P 一z, 3 02 or故球内的电场为20E1cos其中Pez 33 04 R为介质球的体积。故介质球外的电场为 E22",P ，- 3 (er 2cos0rsin )可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子4.20 一个半径为a的细导线圆环，环与位为P产生的电场相同。xy平面重合，中心在原点上,环上总电荷量为Q,如题4.20图所示。证明：空间任意点电解以细导线圆环所在的球面成球面r a上的电r a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用荷面密度函数将细导线圆环上的线电荷 Q表示根据条件和，可得(cos )系数。外的电位分别为1(r,)和2(r,)，则边界条件为:题 4.20图1(0