《课题学习最短路径问题》教学设计

1、13.4课题学习 最短路径问题教学设计一、内容与内容解析1 .内容用轴对称解决一些最短路径问题.2 .内容解析在现实生活中，存在着很多最短路径问题.用几何法解决最短路径问题，其基础知识是 “两点间的所有连线中，线段最短”和“直线外一点到直线上各点的连线中， 垂线段最短”： 遇到相对复杂的问题，则往往需要通过图形的变换（如平移、轴对称、旋转等）把问题转化 到上述基本知识的应用情境.这种转化的思想在数学问题解决中应用非常普遍.本课的重点是：用轴对称把问题转化为“两间的连线中，线段最短”（或者“三角形两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边 ”）.二、目标与目标解析1 .目标（1）能把“将军饮马问题

2、”用几何图形表示，把实际问题转化为几何最值问题.IT 1 了 W（2）明确得到的几何问题的条件和结论，能用轴对称转化和解决问题.（3）体会几何最值问题解决中的转化思想.2 .目标解析达成目标（1）的标志是：能把实际问题中的 “地点”和“河”抽象为数学中的“点”、 “直线”，把问题抽象为几何最值问题.达成目标（2）的标志是：能用轴对称把直线同侧两点到直线的距离之和转化我异侧两 点到直线的距离之和.然后用“两点之间连线中线段最短”解决问题.达成目标（3）的标志是：感悟用轴对称几何最值问题转化为“两点之间最短连线问题”的数学转化思想.三、教学问题诊断分析最短路径问题本质上是几何最值问题.由于学生缺乏

3、研究几何最值问题的经验，独立解决本课问题，难以把实际问题抽象为几何最值问题，也难以用轴对称转化问题.其中最难的是把实际问题抽象为几何最值问题，不知道思考问题的方向. 需要教师引导学生回顾几何中涉及“距离最短”的基本知识 “线段最短”或“三角形两边之和大于第三边， 两边之差 小于第三边”及“垂线段最短”，指明解决问题的基本思路：把问题转化为基本知识的条件中的几何结构.在证明时，则需要在直线上 “任意”取一点，构造一般情况与作出的特殊情 况比较，学生想不到，需要教师说明.四、教学过程设计（一）将实际问题抽象为数学问题最短路径问题是现实生活中常见的问题， 在七年级，我们学习了 “两点之间的连线中线

4、段最短”和“连接直线外一点和直线上任意点的连线中， 垂线段最短”，今天，我们继续讨 论最短路径问题.相传，在古希腊亚历山大城有一位将军问一个叫海伦的知名学者这样一个问题：问题1如图1,牧马人从需从 A地出发，到一条笔直的河边 l饮马，然后带马到 B地, 牧马人在什么地方饮马，可使所走的路径最短？6图1追问1这是一个实际问题，能把它描述成一个数学问题吗？师生活动：教师用下面问题引导学生把实际问题抽象为数学问题.追问2：要把这个实际问题转化为数学问题，可以把“A地”、“B地”、“笔直的河/ / I r_> 1”看作几何中的哪些基本图形？W. U / fy / / /师生活动：学生回答：把“A

5、地”、“B地”看作点，把“笔直的河1”看作直线，画出 如图2的图形.图2追问3:实际问题中的“所走的总路径最短”在图2中怎样表示？师生活动：教师引导学生把 “所走的总路径最短”表示为“线段AC与线段BC的和最 小”，把实际问题抽象为下面几何最值问题:1上作一点C,使AC+ BC最小.问题2如图3, A, B是直线1同侧的一点，在直线图3设计意图：引导学生把实际问题抽象为几何问题.（二）分析思考，确定所求的点问题3问题2我们没有见过，难以解决，说说大家所熟悉的最短路径问题是什么？师生活动：教师引导学生回顾 “线段最短”和“垂线段最短” .让学生明确，本题的难 点是“经过第三点” C,而且不管点C

6、在哪里，点A, B, C都不在同一直线上，难以构成最 短的线段.设计意图：引导学生回顾相关经验，分析问题的难点.问题4如果我们改变一下问题的条件，怎样改变A, B两点的位置才能让 C运动时，A, B, C可能在同一直线上？ /,一、/一iW/ / 尸 J V 师生活动：教师引导学生发现，当 A, B两点直线l的两侧可以做到，而且直接可以用1 , “线段最短”解决问题一一直线 AB与直线l的交点即为所求（如图 4）.设计意图：以退为进，先构造容易解决的问题.问题5比较图3和图4,能把图3中“在直线l上确定点C使AC+BC最小”问题转化 为图4中“在直线l上确定点C使AC+BC最小”问题吗？师生活

7、动：教师引导学生思考，先把图 3中的点B或者点A移到直线的异侧.追问1:把图3中的点B移到直线l的另一侧的B；有什么条件？师生活动：学生回答，要确保对于每一点 C, BC=B'，这样AC+BC=AC+B'，在保证 AC+BC最小就是 AC+B'最小.追问2：根据这一要求，怎样移动点B?师生活动：教师组织学生讨论，得到作点B关于直线l的对称点B'的方法.设计意图：把同侧的两点问题转化为异侧两点问题.问题6现在能作出问题 2中的点C 了吗？师生活动：教师引导学生作出符合要求的点C:（1）作点B关于直线l的对称点B'（2）作直线AB,交直线l于C点，则点C即为

8、所求的点.设计意图：作出所要求的点 C.（三）推理证明，确立作出的点符合要求问题7作出的点C是否符合要求，这需要证明，怎样证明？师生活动：教师引导学生明确目标，要证明点C符合要求，就是要证明，对于直线的任意一点 D,都有AD+BD> AC+BC.证明：在直线直线l上的任取一点 D,连接AD, BD, B' D点B和B'关于直线l对称，/ /直线l是线段BB'的垂直平分线，. D, C在直线l上，. BD=B D, BC=B g又AD+BD>AB', AB' =AC+B C=A+BC, .AD+BD>AC+BC,即 AC+BC最/、.设计意图：证明点 C符合要求.（四）回顾总结，感悟数学思想方法问题8我们是怎样解决问题的？师生活动：组织学生讨论，总结实际问题抽象为数学问题的过程和用轴对称方法转化问题的方法，感悟转化的思想（如图7）.图7设计意图：体会轴