2017年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷及参考答案

1、2021年普通高等学校招生全国统一测试(全国I卷)理科数学一、 选择题：此题共12小题,每题5分洪60分.在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要 求的.1.集合 A=x|x<1, B=x3x <1,那么()A. AQB =：xx <0? b. AUB =R C. A|jB=xx.1)d. AH B =【解析】A =x x<1 , B =x|3x <1 = x x<0. Ap B =x| x<0, AlJ B =x x<1,选 A2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部位于正方形的中央成

2、中央对称,在正方形内随机取一点,那么此点取自黑色局部的概率是(1A. 一4兀B.-81 C.-2兀D.4【解析】设正方形边长为2,那么圆半径为1那么正方形的面积为2M2 =4,圆的面积为 启12兀,图中黑色部分的概率为 那么此点取自黑色局部的概率为 23 .设有下面四个命题()1P1：假设复数z满足uR,那么z三R ; P2 :假设复数z满足Zzz WR,那么 z1 =z2 ； P4 :假设复数 zW R,那么 一zW R .z2 w R,那么zW R ; P3:假设复数Zi , z2满足A. Pi , P3B. P1 , P4C. P2 , P3D. P2,P4 ,11 a -bi【解析】：

3、设z =a +bi,那么二=-2=R得到b =0,所以zW R .故P1正确;z a bi a bP2 ：假设 Z2 = 1,满足z2 ER ,而z =i ,不满足z2 WR ,故P2不正确；P3 ：假设乙=1, z2 =2,那么取2=2,满足取2 w R ,而它们实部不相等,不是共轲复数,故P3不正确；P4：实数没有虚部,所以它的共轲复数是它本身 ,也属于实数,故P4正确；4 .记Sn为等差数列A.1Q的前n项和,假设a4 +a5 =24, S =48,那么匕口的公差为()B.2C.4D.8【解析】_ _6 5a4 +a5 =a十3d +a +4d =24 S6 =6& +d =48

4、联立求得2j2a1 +7d =24 6a1 15d =48 父3得(21 15户=24 6d =24 ：d =4选 C5 . 函数是(f (x )在(-00, 十°°)A. 1-2, 2】)单调递减,且为奇函数.假设f (1 )=-1,那么满足-1&f(x-2)< 1的x的取值范围C. b, 4【解析】由于f(x )为奇函数,所以f (1)=-f (1 )=1,于是14f(x 2丹1等价于f (1 月f (x-2 尸f(1 )|又 f (x )在(. + 8坤调递减.-.-K x-2< 1,1WxW3应选 D1 6 一一,. c6 .12+x 展开式中x

5、2的系数为A. 15【解析】1 +B. 20661x =1 1 x FC. 30662(1+x /1+x)的x2项系数为C2 =D. 356 5=152对 m<1 +x 6的x2项系数为C6=15,x2的系数为15+15 =30应选Cx,正方形的边7 .某多面体的三视图如下图,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,这些梯形的面积之和为长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有假设干是梯形A. 10【解析】由三视图可画出立体图C. 14D. 16该立体图平面内只有两个相同的梯形的面S梯=2 +4 J<2-2 =6 电梯=6 父2 =12应选 B两个空白框中,8

6、.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n,那么在 O 和可以分别填入1输出打/A. A >1000 和 n =n +1 B. A >1000 和 n =n +2 C. AW1000 和 n =n +1 D. Aw 1000 和 n = n +2解 由于要求A大于1000时输出,且框图中在“否时输出,«<二>"中不能输入A >1000排除A、B又要求n为偶数,且n初始值为0,中n依次加2可保证其为偶应选9 曲线 G：y=cosx,C2：y=sin2X型2X 3,那么下面结论正确的选项是A.把C1上各点的横坐标伸长到原

7、来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移工个单位长度,得到曲线 6C2B.把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移万个单位长度,得到曲线_1.、 一,一,r 兀* 、,、,一 ,r C.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的万倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移吊个单位长度,得到曲线C2D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的TT,i 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 五个单位长度,得到曲线C2【答案】D2兀【解析】G：y=cosx,C2: y =sin I2x 一3首先曲线Ci、C2统一为一三角函数名,可将Ci：y=cosx用诱导公式处理.y=cosx=co

8、s. x+2 J=sin . x+2卜横坐标变换需将 切=1变成 = 2 ,fc上各点横坐标缩短它原来1fyf 即 y =sin !x21y=sinl2x =sin2lx».2.242兀兀 y =sin! 2x =sin2!x .3.3注意切的系数,在右平移需将 曰=2提到括号外面,这时x +平移至x +,43,根据“左加右减原那么,“x才到“x ;需加上if,即再向左平移129.F为抛物线C : y2 =4x的交点,过F作两条互相垂直li,I2,直线li与C交于A、B两点,直线I2与C交于D , E两点,AB十DE的最小值为A.i6【答案】A 【解析】B. i4C. i2D. i0

9、设AB倾斜角为9 .作AKi垂直准线,AK2垂直x轴f!af| cos6 +|GF| = AKi 几何关系易知?AKi|=AF| 抛物线特性GP =P .1P=P22|af| cose+p= af同理|af|=i - cos 二BFPi cos 二：AB二与,22 'i -cos 二 sin f一 .一 兀,n又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为 鼻十日DE _ 2P _ 2Psin2,三十g cos2 8 而 y2 =4x,即 P =2 .21 .2c.sin 2-i4'. AB DE =2P - =4sin cos' =-2 .4 2162sin2 271sin 1

10、cos 【 sin ?coS 二 sin icos 二.TT>16,当日=取等号 4即|AB DE最小值为16,应选A10.设x, y , z 为正数,且 2x =3y =5z,那么0A. 2x ： 3y ：； 5zB. 5z ： 2x ： 3yC. 3y ： 5z ：；2xD. 3y ： 2x ： 5z【答案】Dx l n 33【答案】 取对数：xln2 =yln3 =ln5 .=>- 2x>3yy l n 22一.x l n 55xln2 =zln5贝U =<-:2x <5z : 3y < 2x< 5做选 Dz l n 2211.几位大学生响应国家

11、的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了 “解数学题获取软件激活码的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,其中第一项为哪一项20,接下来的两项是20,21,在接下 来的三项式26,21,22,依次类推,求满足如下条件的最小整数 N ： N >100且该数列的前N项和为2 的整数哥.那么该款软件的激活码是A. 440 B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第 3组,以此类推.设第n组的项数为n,那么

12、n组的项数和为 也已2由题,N >100,令 叱 +n>100 f n > 14且n w N*,即N出现在第13组之后 2第n组的和为 =2n1n组总共的和为 41- 2_n=2n_2.n假设要使前N项和为2的整数哥,那么Nn-项的和2k -1应与-2-n互为相反数2即 2k -1=2+nk WN*,n>14k=logn+ 3f n=29,k=5 那么 n = 29*'1 2'5= 44 0 应选 A2二、 填空题 沐题共4小题,每小:5分,:20分.12.向量1,b的夹角为60 °, a =2 ,b'=1,那么a+2b =.【答案】2

13、.3角军析】：+2b2 =：+2：2 =|：'2+22b cos60口+2b =22+2父2M2M；+22 =4+4+4 =12. a +2b =屈=2 点13.设x, y满足约束条件_|_x 2y <1不等式组W2x +y 2表示的平面区域如下图x -y M0由z =3x 2y得y =?x,求z的最小值,即求直线y =-x -的纵截距的最大值2222当直线y=|x|过图中点A时,纵截距最大2x y - -1由J解得A点坐标为(1,1),此时z =3x(1)2父1 =-5x 2y =122x y14 .双曲线C: -,( a>0 , b>0 )的右顶点为 A,以A为圆

14、心,b为半径作圆A,圆A与双曲线Ca b的一条渐近线交于 M , N两点,假设/MAN =60 0,那么C的离心率为如图,OA =a, AN =|AM|=b /MAN =60°,AP =OP =JOA T|PAa2-3b24tan 二二APOPb2a2 -3b2又: tan 二=7 23I =33 e =115 .如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形 ABC的中央为O,D、E、F为元O 上的点,ADBC/ECA/FAB分别是一 BC ,CA , AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC , CA , AB为折痕折起 DBC , ECA, FAB,使得

15、D , E , F重合彳导到三棱锥.当 ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 .【答案】4 15【解析】 由题,连接OD,交BC与点G,由题,OD _LBC3 Q 、 rOG = BC ,SP OG的长度与BC的长度或成正比6设 OG =x,那么 BC =2.3x, DG =5-x三棱锥的高 h =、；DG2 -OG2 =125-10x x2 -x f 25-10x-1 0-19._Sa ABC =2g 3x=343x2,那么 V =-SA abc h =43x2 ,拉510x =第；25x4 -10x52 3令 f x =25x4-10x5, x (0,5), f x

16、 =100x3-50x4令 f'(x)>0,即 x4 -2x3<0, x<2,那么 f(x 尸 f (2 ) = 80那么V W 73M闻=45,：体积最大值为4#5cm317-21题为必'考题,每个试题考2a3sin A解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第 生都必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要求作答.一必考题：共60分.16. 4ABC的内角A, B ,C的对边分别为a, b,c,4ABC的面积为(1)求 sin BsinC ；(2)假设 6cos B cosC =1, a =3 ,求 AABC 的周长.【解析】此题主要

17、考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等根底知识的综合应用a21 .(1) . AABC 面积 S =.且 S =-bcsin A3sinA2,a21232 A. . =bcsinA,a =-bcsin A3sinA 2223_2.由正弦7E理得 sin A =sin BsinCsin A, 2,2由 sin A # 0 得 sin Bsin C =.3,321(2)由(1)得 sin B sin C =一,cosB cosC =,/A + B + C =k3 61:cosA =cos( u-B -C )=cos(B +C )=sin BsinC-cosBcosC =31又. =(0,n),

18、：A=60 , sinA= , cosA = 22由余弦定理得a2 =b2 +c2 -bc =9由正弦定理得 b =-a si nB c =a sinC s i nA , sin A2 . a bc=-2 sin BsinC =8sin2 A由得 b +c =V33a +b +c =3 +73即 ABC 周长为 3 +V3317. (12 分)如图,在四棱锥 P -ABCD 中,AB / CD 中,且 /BAP =/CDP =90.(1)证实：平面PAB,平面PAD ;(2)假设 PA = PD =AB =DC , ZAPD =90 2求二面角 【解析】(1)证实：.一/BAP =/CDP =

19、90.PA _AB , PD _CD又: AB II CD,.二 PD _L AB又: PD IPA =P ,PD、PAU 平面 PADAB _L平面 PAD,又 AB U 平面 PAB 平面PAB _L平面PAD(2)取AD中点O , BC中点E,连接PO , OE AB 起CD 四边形ABCD为平行四边形A-PB -C的余弦值.1 -OE .ZAB由(1)知,AB _L平面PADOE _L平面 PAD,又 PO、AD U 平面 PADOE _PO , OE _ AD又 PA =PD ,. PO _ ADPO、OE、AD两两垂直以O为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系O -xyzPA-IP

20、D=2 , D(W2 ,0,0 )、B(e,2,0 卜 P(0,0,&)、C(-V2,2,0= (/,0, J2 )、PB=(J2,2,J2 )、BC=(-2&,0,0)e y(x , y , z )为平面PBC的法向量PB =02x 2y -.2z-,得_BC =0-2 . 2x =0令y=1,那么z=J2, x=0,可得平面PBC的一个法向量n=(0 ,1,五)幺PD =90 ；. PD _LPA又知AB _L平面PAD , PD仁平面PAD PD _ AB,又 PAriAB =APD _L平面 PABT !- l即pd是平面PAB的一个法向量,PD=(t/2 ,0 ,72

21、 )cos PD , n3 由图知二面角 A-PB弋 为钝角,所以它的余弦值为 -出18. (12 分)为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态 2分布N(N,仃).(1)假设生产态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(N-3仃,卜+3仃)之外的零件数,求P(X >1 / X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(N-3仃,N+3仃)之外的零件,就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查

22、.(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性：(II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 1 0. 1 29.969. 9610.01 9.929. 9 8 1 0. 0410.26 9.911 0. 1 310.02 9.22 10.04 10.059. 9 516r21 16经计算得 x =£ Xi =9.97, s= £ (x -x ) = J2-16x2 L0.212,其中 x 为抽取的第 i 个 i1:16 -;16零件的尺寸,i =1, 2, HI, 16.用样本平均数x作为N的估计值 巴用样本标准差s作为.的估计值 口,利用估计值判断是否需 对

23、当天的生产过程进行检查,剔除(？-3仅,？+39)之外的数据,用剩下的数据估计 N和.(精确到0.01).附:假设随机变量Z服从正态分布 N(N,仃2 ),那么P(R3j<Z <N+3cj ) = 0.9974. 160.997 40.9592 , ., 0.008 0.09 .【解析】(1)由题可知尺寸落在(H一3仃,R+3ct)之内的概率为0.9974落在(N30 ,卜+3仃)之外的概 率为0.0026P(X =0 产C；6 (1 -0.9974 0 0.997416 之0.9592P X _1 =1 -P X =0 ： 1 -0.9592 =0.0408由题可知 X B06

24、, 0.0026),E(X )=16父0.0026 =0.0416(2)(i)尺寸落在(N3仃,N+3.)之外的概率为0.0026由正态分布知尺寸落在(N-3仃,N+3.)之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理.(ii)'' -3' -9.97 -3 0.212 =9.334.二+3；.- -9.97 3 0.212 =10.606 (N3仃,N+3.)=(9.334, 10.606 )7 9.22正(9.334 , 10.606 ),二需对当天的生产过程检查因此剔除9.229 97 16 -9 22 剔除数据之后:二二9.22 :10.02.15222222

25、二二9.95 -10.02i10.12-10.02i9.96-10.02i9.96-10.02ir10.01-10.02222229.92 -10.02ir998-10.02：i 何 10.04-10.02)-1：10.26-10.02：i)：9.91-10.02口152222210.13 -10.02 i F10.02 -10.02 i -10.04 -10.02 i F10.05 -10.02 i f 9.95 -10.02 0.00819. (12 分)22椭圆c ： J La2b2=1 (a >b >0),四点 R (1, 1), P2(0, 1), P3 11,咚 j,

26、P4 -中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过B点且与C相交于A、B两点,假设直线P2A与直线P2B的斜率的和为_1,证实：l 过定点.【解析】(1)根据椭圆对称性,必过P3、P4又R横坐标为1,椭圆必不过P ,所以过B , P3 , P4三点3点),将2(0,1),月.-1,三代入椭圆方程得1X3,解得 a2 =4, b2 =1,_L+Z _1十尸1且 b2.椭圆C的方程为：+y2 =1.4(2)当斜率不存在时,设l ：x=m, A(m , yA ), B(m , -yA ) kP2 A kP2B =7得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.当斜率存在时

27、,设l ： y =kx +b(b 01 )A. , y1 B 4,y2 )y=kx»b联立 4 22,整理得(1+4k Jx +8kbx +4b 4=0x2 4y2 -4 =0XiX2 =-8kb4b2 -4那么 kP2A kPB 二"二 三 J kx1b -X2 x1 4 b122x1x2x x28kb2 -8k -8kb2 8kb1 4k2 4b2 -48k b -1J = -1,又 b #14(b+1'(b1) 乂 b 21 4k=b=-2k-1,此时A = -64k,存在k使得:>0成立.,直线l的方程为y=kx2k1当x = 2时,y =-1 ,所以

28、l过定点(2 , -1 ).20. (12 分)函数 f x =ae2x , a -2 ex -x.(1)讨论f (x )的单调性；(2)假设f (x冶两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)由于 f (x )=ae2x +(a -2 px -x故 fx )=2ae2xa-2ex-1=aex-12ex1当a宅0时,aex _1 <0, 2ex十1 >0.从而f '(x户0恒成立.f (x )在R上单调递减当 a >0 时,令 f x )=0 ,从而 aex _1 =0,得 x = lna.x(-, ln a)-ln a(ln a , +°o)f (x )0+

29、f (X)单调减极小值单调增综上,当a E0时,f (x)在R上单调递减；当a>0时,f (x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,收)上单调递增 (2)由(1)知,当a M0时,f (x )在R上单调减,故f (x)在r上至多一个零点,不满足条件.1 -当 a A0时,fmin = f (-ln a )=1 十ln a .令 g a =1令 g a i-1 -1 .ln a .a1 1 1-+lna a >0 1那么g'(a )=十一 >0.从而g a用(.,+如)上单倜增,而 aaag(1 )=0.故当a >1,那么 fmina =1 ,那么 f

30、min1二1 一一In aa1=1 In aa=g (a )>0 ,故f (x )>0恒成立,从而f (x )无零点,不满足条件.=0,故f (x )=0仅有一个实根x=lna = 0,不满足条件.0<a <1,那么1aa2fmin =1+lna<0,注息到一ln a >0 . f (_1+1 > 0aeee3 ,. 1.f (x 胫(-1, -ln a )上有一个实根,而又 ln . 一 -1 Aln=ln a . aaf 11n(- -1) =eInln a e+a -2,ln . 3 -1 IJ la J3-1 二9-1 -ln §-1,.-1 . 0a aa 0.0 <a <1 时,g (a )<0 .当 a =1时 g(a )=0 .当 a >1 时 g(a )>0,3,应.Tn a , ln -一-1 上有一个头根. a应, 一此a )上单调减,在(-ln a , +比)单调增,故f (x )在r上至多两个实根.3城(1,-lna)及lna , ln . -1上均至少有一个实数根,故f ( x )在r上恰有两个a实根.综上,0 ：二 a :二 1.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的