2017年高考理科数学全国一卷真题

1、色局部和白色局部位于正方形的中央成中央对称,2021年普通高等学校招生全国统一测试 理科数学全国I卷考前须知:1 .答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在做题卡上,2 .答复选择题时,选出每题答案后,用铅笔把做题卡上对应的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答复非选择题时,将答案写在做题卡上.写 在本试卷上无效.3 .测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.一、选择题：此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个 选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1,集合 A=xx<l, B=x3x <仆,那么A. ApB =x,x<0B, AUB

2、 =RC. AljB =xx 1D, AIIB W2 .如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑在正方形内随机取一点,那么3 .设有下面四个命题Pl :假设复数z满足-w R ,那么zw R ; zP2 :假设复数z满足z2 w R ,贝U zW R ;P3:假设复数乙,z2满足z-z2 WR ,那么z =云；P4 :假设复数 zW R ,贝(J z w R .A.Pi,P3B.Pi,P4C. P2 ,P3D. P2,P44 .记Sn为等差数列Qn的前n项和,假设a4 +% =24, S6 =48 ,那么aj的公差为A. 1B, 2 C, 4D, 85 .函数f x

3、在一,"弹调递减,且为奇函数.假设f="那么满足-WfX2户1的X的取值范围是A. 1-2 , 2 B, -1 , 1 C, 0,4D. 1 , 3】1 6 一 . 一6. 11 +x 展开式中x2的系数为A. 15B. 20C. 30D. 357 .某多面体的三视图如下图,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个D. 168 .右面程序框图是为了求出满足3n -2nA1000的最小偶数n ,那么在 二和II两个空白框中、可以分别填入A.A >1000 和 n = n +1C.AW 1000 和 n

4、= n +1(八. 2兀)C2: y =sin 2x + 39.曲线& :y =cosx,那么下面结论正确的选项是A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2B.把弓上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移联个单位长度,得到曲线C2C.把G上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移?个单位长度,得到曲线C26D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移J个单位长度,得到曲线C210.F为抛物线C： y2=4x的交点,过F作两条互相垂直l1, I2,直线I1

5、与C交于A、B两点,直线I2与C交于D, E两点,| AB、DE|的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 1011.设x, y ,z为正数,且2x =3y =5z,那么A. 2x 3y <5zB . 5z : 2x : 3yC. 3y ：5z ：2xD . 3y : 2x ：5z12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习 数学的兴趣,他们推出了 “解数学题获取软件激活码的活动,这款软件的激 活码为下面数学问题的答案：数列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16 ,其中第一项为哪一项 20,接下来的两 项是2

6、0, 21,在接下来的三项式26, 21, 22,依次类推,求满足如下条件的最 小整数N ： N >100且该数列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码 是A. 440 B, 330C, 220D. 110二、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.13.向量a, b的夹角为60二才=2,%=1,贝ja+2b=.x 2y <114. &x , y满足约束条件,2x+y11,贝U z=3x-2y的最小值为.x -y _ 02215. 双曲线C:、-右,a >0 , b>0的右顶点为A,以A为圆心,b为 a b半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M ,

7、 N两点,假设/MAN =60., 那么C的离心率为.16. 如图,圆形纸片的圆心为.,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形 ABC的 中央为O, D、E、F为元.上的点,DBC, AECA, FAB分别是一 BC , CA , AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以 BC, CA, AB为折痕折起 DBC, AECA, FAB,使得D, E, F重合,得到三棱锥.当 ABC的边 长变化时,所得三棱锥体积单位：cm3的最大值为 .三、解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第17-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要 求作答.(

8、一)必考题：共60分.2a17. AABC的内角A , B , C的对边分别为a , b c4ABC的面积为 .3sinA(1)求 sin BsinC ；(2)假设 6cos BcosC =1 , a =3,求 AABC 的周长.18. (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,AB/CD 中,且/BAP =/CDP =90,(1)证实：平面 PAB_L平面PAD;(2)假设 PA=PD=AB=DC , /APD=90.,求二面角 APBC 的余弦值.19. (12 分)为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽 取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生

9、产经验,可以认为这 条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N俨,.2 ).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在/_3巴N+3.)之外的零彳数,求P(X>1)及X的数学期望；(2) 一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 俨-3.,卜十3仃)之外的零件,就认 为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程 进行检查.(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性：II下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 1 0. 1 29.969. 9 610.01 9.929.9 8 1 0. 0410.26 9.911 0. 1 31

10、0.02 9.22 10.04 10.059.9 5-16L 2一厂162一2 一 经计算住P x =Exi=997s = J工Xjx= J !£ x16xfft：0.212其中Xi为T',16 i1' 16 y'抽取的第i个零件的尺寸,i=1, 2,川,16 .用样本平均数x作为N的估计值？,用样本标准差s作为仃的估计值0 ,利 用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除 *39,邛+3口之外的 数据,用剩下的数据估计 以和仃精确到0.01.附：假设随机变量Z服从正态分布NN,仃2 那么PN-30<Z mN+3<i=0.997 4 .0.9

11、97 416 定0.9592 , .0.008 之 0.09 .20 . (12 分).一v2 v2,椭圆 C :=十4=10以>0),四点k1,1 ), P2(0, 1), P3.-1,%,P4.1,3 abl2Jl2J中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过巳点且与C相交于A、B两点,假设直线BA与直线P2B的斜率的和为1,证实：l过定点.21 . (12 分)函数 f (x 尸ae2x +(a 2 >x -x .(1)讨论f(x )的单调性;(2)假设f(x )有两个零点,求a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多

12、做,那么按所做的第一题计分.22 .选彳4-4:坐标系与参考方程 x =3cos6 .在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(6为参数),直线l的y =sin u ,、一 x = a 4t ,参数万程为.(t为参数).y =1 -t,(1)假设a=1,求C与l的交点坐标；(2)假设C上的点到l距离的最大值为#7,求a.23 .选彳4-5:不等式选讲函数 f (x )= -x2 +ax +4 , g (x )= x +1| + x 1(1)当a=1时,求不等式f (x户g(x)的解集；(2)假设不等式f(x产g(x)的解集包含I-1, 1,求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一测

13、试全国I卷?理科数学?试卷参考答案一、选择题：此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选 项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.A【解析】A=xx<l, B =&3x <l = xx<.A|B =1xx ：二0, AUB =1xx选A2.B【解析】设正方形边长为2 ,那么圆半径为1那么正方形的面积为2M2=4,圆的面积为兀父12 =兀,图中黑色局部的概率为三兀那么此点取自黑色局部的概率为2 =应选B483.B1 1 a -bi .一.【解析】p1：»z=a+bi , M i=7=丁下WR,得到b=0,所以zw R .故P正 z a -bi a

14、 b确；P2:假设z2=-1 ,满足z2 wr , TMz = i ,不满足z2w R ,故P2不正确；6:假设4=1, z2=2,那么平2=2,满足zw R,而它们实部不相等,不是共腕复数,故P3不正确；P4:实数没有虚部,所以它的共腕复数是它本身,也属于实数,故 P4正确；4.C【解析】a4 35 =31 3d , a1 4d =24c c 6 5._S6 =6a1 d =4822a1 +7d =24 联立求得16a1 +15d =48 黑3 得(2115歹=246d =24d =4选C5.D【解析】由于f (x )为奇函数,所以f (-1)=-f(1尸1 ,于是-1<f(x-2户1

15、等价于f (1户f (x2户f(-1)|又f(x心(3,+如)单调递减.-1<x -2<1.1<x<3应选D6.C.16616【解析】1 + 1 x =1 1 x 2 1 x xx对(1+x6的x2项系数为C2 =等 =15对4 Y1 +x 6的x2项系数为C6=15 , x x2 的系数为 15+15=30应选C7.B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面S弟=2 42 2 =6窿梯=6 2 =12应选B8 .D【答案】由于要求A大于1000时输出,且框图中在“否时输出« O 中不能输入A >1000排除A、B又要求n为偶数,

16、且n初始值为0,“I I中n依次加2可保证其为偶应选D9 .D上一c .12 nl【解析】Ci: y = cosx , C2： y =sm 2x+一 3首先曲线Ci、C2统一为一三角函数名,可将 G：y=cosx用诱导公式处理.' .兀 TT /' . TT / ,一.、一_一、 .y =cosx =cos. x十一 一一 =sin . x十一.横坐标变换需将 1 =1变成0=2 ,2 22,C 1rl c上各点横坐标缩短它原来-( 1rl ( 1rlgp y -sin x -2 > y =sin 2x - =sin2 x -224、.二 42 兀 i . c, 4 兀

17、iy y =sin 2x 十一 =sin 2 x 十一,3.3 注意切的系数,在右平移需将 切=2提到括号外面,这时根据“左加右减原那么,“ x 到即再向左平移7t1210.AAK2垂直x轴|AF| cos6+|GF| = AKi 几何关系易知"AK1 =AF 抛物线特性 GP 二-上二 22 AF cosi P = AF同理AF =1 -cos1'BF =2P 2P1 -cos2 1sin2 31又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为DE =2P2Psin2 -cos2i2而 y2 =4x ,即 P =2 .AB DE=2PsQcos2 Fsin2 1 cos2116sin2

18、2当官取等号sin21coJ usin2 - cos2 1-sin2 21 4即ab| 十|de最小值为16,应选A11.D【答案】 取对数：xln2 =yln3 =ln5 .x ln3 3=>y ln 2 22x 3y xln2 =zln5xln55贝U -二zln 22 :2x <5z : 3y <2x <5z ,应选 D12.A【解析】设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.设第n组的项数为n ,那么n组的项数和为 皿口：2由题,N A100,令63>100 - n>14且nW N *,即N出现在第13组之后2第n组的和为必

19、=2n -11 -2n组总共的和为 吁吸)_n=2n -2-n1 -2假设要使前N项和为2的整数幕,那么N项的和2k -1应与-2-n互为相反2数k.一*即 2 1 =2 +n(k = N , n>14 )k =log 2 n 3fn =29, k =5291 29贝U N = - 5 =4402应选A二、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.13.2 3【解析】 02b2 =： +2b2 Ja|2 +2 !：':' cos60 口+2'b =22 +2x2x2x1 +22=4 4 4 =12a +2b|=2瓜14.-5x 2y _1不等式组W2x+y2*表示

20、的平面区域如下图x-y _0由 z =3x 2y 得 y = x 22求z的最小值,即求直线y/x-Z的纵截距的最大值 22当直线y=3x,过图中点a时,纵截距最大 22,2x y = -1_,一.,由S 解得A点坐标为T1,此时z=3V-1-2M1=-5x 2y =12.315.3【解析】如图,OA =a , AN|=| AM =b= /MAN =60)AP=*, OP=JOA-TPA2=(a2-.b23hb223 2a - b=b ,解得 a2 =3b2 a16.4 15【解析】由题,连接OD ,交BC与点G ,由题,OD _LBCOG =mBC ,即OG的长度与BC的长度或成正比 6设O

21、G =x ,贝UBC=2J3x, DG =5 -x三棱锥的高h - . DG2 -OG2 =J'25- 10x-x2-x= 25-10x& ABC=2 33x 2=3 3x2贝IjV =；$ ABC h = 3x2 25 -10x = 3 . 25x4 -10x5令 f (x )=25x4 10x5 , xW(0,$ , f'(x )=100x3 50x4令 f x )>0 ,即 x4 2x3 <0 , x <2那么 f (x 卜 f(2 )=80那么V< 380,=45：体积最大值为4/5cm3三、解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程

22、或演算步骤.第 17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要求作答.一必考题：共60分.17. 1 AABC 面积 S =3sirA一-1. 一且 S = bcsin A23sinA 2bcsin A,23 ,. 2 na =-bcsin A 23o由正弦je理得 sin A =-sin Bsin Csin A ?2由 sin A #0 得 sin Bsin C =一3 ,22由1得 sin Bsin C =&, cos BcosC. A+B +C =n1 . cos A =cos兀-B -C =-cosB +C =sin B sinC-cos B

23、 cosC =又 A10,汽31.A =60 , sin A =, cosA= 22由余弦定理得a2 =b2 +c2 -bc=9由正弦定理得 b=a sin B , c=a sin C sin Asin A2 a. bc=- sinBsinC=8sin A由得b +c=V33：a +b +c =3 +速,即 ABC周长为3 +商18. (12 分)(1)证实：V . BAP =. CDP =90PA _LAB , PD _LCD又 : AB / CD , /. PD ±AB又PD P|PA=P , PD、PAU 平面 PADAB _L平面 PAD,又 AB 二平面 PAB平面 PAB

24、 _L平面 PAD(2)取AD中点O , BC中点E ,连接PO , OE= AB z=CD一四边形ABCD为平行四边形.OE : AB由(1)知,AB _L平面PADOE _L 平面 PAD,又 PO、AD 仁平面 PADOE_LPO, OE _LAD又= PA =PD ,PO _LADPO、OE、AD两两垂直;以O为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系O -xyz设 PA=2,D(-V2,0,0 卜 B技 2,0 卜 P(0,0,J2)、C(-V2,2,0), . PD =(一拒,0 , -*2)、PB=(板,2,-亚)、BC=(-2右,0,0)设' =(x , y , z )为平

25、面PBC的法向量,n PB =02.2x 2y - 2z =0由9T ,得, yn BC =022x =0令y=1,那么z=72, x=0,可得平面PBC的一个法向量n = (0,1,0): ZAPD =90'PD _LPA又知AB _L平面PAD , PD U平面PADPD _LAB ,又 PAnAB =APD _L平面 PAB即常是平面PAB的一个法向量,PD =( -72 , 0 T )K 4, PD n-23cosjPD,n = T * =;= = - ,河|2733由图知二面角A PBC为钝角,所以它的余弦值为百319. (1)由题可知尺寸落在(R-3仃,卜+3仃)之内的概率

26、为0.9974,落在 (N-3», N+3仃)之外的概率为0.0026.P(X =0 尸C06 (1 -0.9974 ) 0.997416 毛0.9592P X _1 )=1 - P X =0 1 -0.9592 =0.0408由题可知XB 16, 0.0026.E X =16 0.0026 =0.0416(2) (i)尺寸落在(N-3仃,卜+3仃)之外的概率为0.0026, 由正态分布知尺寸落在 伊-3仃,卜+3仃)之外为小概率事件, 因此上述监控生产过程的方法合理.(ii )口 -3： -9.97 -3 0.212 =9.3343： -9.97 3 0.212 =10.606(2

27、 3仃,3 +30 ) = (9.334 , 10.606 )79.22 (9.334 , 10.606 ),二需对当天的生产过程检查.因此剔除9.22剔除数据之后：R J97；："及=106 .152222221- -9.95 -10.0210.12 -10.029.96 -10.029.96 -10.0210.01 -10.02222229.92 -10.02 i,9.98 -10.0210.04 -10.0210.26 -10.029.91 -10.021x 152222210.13 -10.0210.02 -10.0210.04 -10.0210.05 -10.02 j9.9

28、5 -10.02 :0.008.c- =0.008 ： 0.0920. (1)根据椭圆对称性,必过E、P4又P4横坐标为1,椭圆必不过P ,所以过B , 2 , P4三点亨卜弋入椭圆方程得2b =1A3,解得工 +A =1,a2 b2椭圆C的方程为:(2)当斜率不存在时,设l ：x=m , A(m , yA,B(m, _a )Va 11-Va -1-2kP2A . kp2B - -1m m m得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.当斜率存在时,设l ： y =kx b b =1A(X , y) B(x2 , y2 )整理得 1 4k2 x2 8kbx 4b2 -4=0y =k

29、x b联乂才2 °2,x 4y -4 =0七kb为 x2 =2 ,1 4k4b -4X| x =21 4k x2 kxb - x2x kx2 b - xxx2贝(J kp2A - kp2B-4b2 -4 4k2xx28kb2 -8k -8kb2 8kb24k8k b -14 b 1 b -1=_1,又 b#1= b=qk1,止匕时A=-64k,存在k使得Aa0成立.直线l的方程为y =kx -2k -1当 x =2 时,y = 1所以l过定点(2,).21. (1)由于 f (x 产ae2x +(a -2 户x x故 f x=2ae2xa - 2ex-1=aex-12ex1当 a&#

30、171;0 时,aex1<0, 2ex+1 =0 .从而 f'(x )<.恒成立.f (x汪R上单调递减当 a>0时,令 f'(x)=0,从而 aex_1=0,得 x=-lna.x(m, lna)-ln a(-ln a , 十)f'(x )0+f(x)单调减极小值单调增综上,当aM0时,f(x)在R上单调递减；当a>0时,f (x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-lna,收)上单调递增由(1)知,当aE0时,f(x)在R上单调减,故f (x )在R上至多一个零点,不满足条件.一1当 a >0 时,fmin = f (ln a )=1

31、+ln a . a人1令 g a -1 -一 In a . a.1.11令 g(a)F+lna(a0 ),那么 g'(a ) = 3+1 >0 .从而 g (a )在(0 , +比)上单调增, aa a而 g(1)=0.故当 0<a<1 时,g(a)<0.当 a = 1 时 g(a)=0.当 a>1 时 g(a)>01右aX,那么 降=1-1+lna = g (a )>0 ,故f(x)0包成立,从而f(x)无零点,不 a满足条件.1右a=1,那么fmin =1+lna=0,故f (x )=0仅有一个头根x =lna=0,不晒足条 a件.1、一,a a 2右 0 <a <1贝ufmin=1- +ln a <0汪息到lna >0 .f (-1 尸f +- +1 ->0 .a'e e e3 . 1故f