方位角计算公式

1、一、直线定向 1、正、反方位角换算对直线卫方而言，过始点Z的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角 口也是上万的正方位角，而过端点F的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角b期则是的反方位角，同一条直线的正、反方位角相差即同一直线的正反方位角 = 3±1胆.（1-13）上式右端，若%<18。°,用号，若白胡之1匕。°,用“”号。2、象限角与方位角的换算一条直线的方向有时也可用象限角表示。所谓象限角是指从坐标纵轴的指北端或指南端起始，至直线的锐角，用 亮表示，取值范围为为了说明直线所在的象限，在 式前应加注 直线所在象限的名称。四个象限的名称分别为北东（ N6

2、、南东（SE）、南西（SW>北西（NW）。象限角和坐标 方位角之间的换算公式列于表1-4。表1-4象限角与方位角关系表象限象限角式与方位角图换算公式第一象限(NB=&第二象限(SE)厘目口 一支第三象限(svy=1*。+&第四象限（NW厘="口 一近3、坐标方位角的推算测量工作中一般并不直接测定每条边的方向，而是通过与已知方向进行连测，推算出各边的坐标方位角。设地面有相邻的达、3、U三点，连成折线（图1-17）,已知上B边的方位角值小,又测定了工3和3c之间的水平角产，求3。边的方位角啊。，即是相邻边坐标方位角的推算。水平角产又有左、右之分，前进方向左侧的水平角

3、为 隹，前进方向右侧的水平角 备。设三点相关位置如图1-17（白）所示，应有+龟+18T（1-14） 设三点相关位置如图1-17（外所示，应有的+星+13口. 究） =%十星1眦（1-15）若按折线前进方向将视为后边，鸟仃视为前边，综合上二式即得相邻边坐标方位角推算的通式：/卮+4±1匕。°（1-16） 显然，如果测定的是 刃3和田。之间的前进方向右侧水平角里,因为有血=3600 _ B自，代入上式即得通式叫？ =%s 户石±W（1-17）上二式右端，若前两项计算结果1S° IS。前面用“ + ”号，否则18丁前面用“”号。、坐标推算AXAB=DAB c

4、os a AB地面点的坐标推算包括坐标正算和坐标反算。坐标正算，就是根 据直线的边长、坐标方位角和一个端点的坐标，计算直线另一个端点 的坐标的工作。如图1所示，设直线AB的边长DABffi一个端点A的坐标XA YA 为已知，则直线另一个端点 B的坐标为：XB=XA + XABYB=YA + YAB式中, 标值之差。AYAB=DABsin a AB式中AX>AY均有正、负，其符号取决于直线AB的坐标方位角所在的象限,参见表1-5。表1-5 不同象限坐标增量的符号坐标方位角力及其所在象限之符号之符号A XAB AYABW为坐标增量，也就是直线两端点 A B的坐 由图1中，根据三角函数，可写出

5、坐标增量的计算公式为：。二绅（第一象限）2侬口（第+ 一+ + 一 十二象限）1吃” 第丁（第三象限）270°361（第四象限）2、坐标的反算根据工、B两点的坐标匕!、兀和工总、心，推算直线工B的水平距离门理与坐标方位角以5 ,为坐标反算。由图1可见，其计算公式为:tan-1工一“）(1-20 )(1-21 )注意，由（1-20）式计算“必时往往得到的是象限角的数值，必须参照表1-5表1-4,先根据 、 的正、负号，确定直线 且正所在的象限，再将象限角化为坐标方位角。例如 、均为一1。这时由（1-20）式计算得到的收血数值为g"，但根据 、A我 的符号判 断，直线为5应在第

6、三象限。因此，最后得 =45"+lE0D =22寸，余类推。表1-4象限角与方位角关系表象限象限角尺与方位角。换算公式第一象限(NB=田第二象限(SBS =1吕° 五第三象限(svy*1初+民第四象限(NVV口=充丁氏三、举例 1、某导线12边方位角为45。，在导线上2点测得其左角为250。，求a32解：1) 23边的方位角：根据公式叫=值后+与±1吕小因a 12=250° ,a 12 >180°,故计算公式中，1*丁前面应取“”号：a23= a 12+龟-1SQD=45° +250° 180°=115

7、76;2)求a 23反方位角:根据公式"仙=Q陛± 1目0",本例a 23V 180° ,故18T前面应取“ + ”号:a 32= a 23+ 瓯=295°当前位置：一一、水准测量内业的方法：水准测量的内业即计算路线的高差闭合差，如其符合要求则予以调整，最终推算出待定点的高程。1 .高差闭合差的计算与检核附合水准路线高差闭合差人为：工=E % （）（2-8）闭合水准路线高差闭合差为：工=2 %（2-9）为了检查高差闭合差是否符合要求，还应计算高差闭合差的容许值（即其限差）。一般水准测量该容许值规止为平地5=±40正mm山地造=-12

8、而 mm（2-11）式中，上一水准路线全长，以km为单位；"一路线测站总数。2 .高差闭合差的调整若高差闭合差小于容许值，说明观测成果符合要求，但应进行调整。方法是将高差闭合差反符号，按与测段的长度（平地）或测站数（山地）成正比，即依下式计算各测段的高差改正数，加入到测段的高差观测值中：'A/网=-Z二 （平地）去明，自二-（山地）式中，£工一路线总长；4第：测段长度（km）（工=1、2、3.）;£北一测站总数；竹一第工测段测站数。3 .计算待定点的高程将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差：hi 改=%+，卜 i i =1, 2, 3,据此，即可依次

9、推算各待定点的高程。如上所述，闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外，其余与附合路线的计算完全相同二、举例1.附合水准路线算例下图2-18所示附合水准路线为例，已知水准点 A、B和待定点1、2、3将整个路线分为四个测段。表2-2附合水准路线计算测段号点名测站数观测高差/m改正数/m改正后高差/m高程/m备注123456781BM18+一+123一一一234一一一345+一+BM220+一+辅助计算工=+，k=±12715= ± 54mm1）将点名、各测段测站数、各测段的观测高差 片、已知高程数填入表2-2内相应栏目2、3、4、7（如系平地测量，则将测站数栏改为

10、公里数栏，填入各测段公里数；表内加粗字为已知数据）。2）进行高差闭合差计算： E / （ 。11.）_ +（） +由于图中标注了测段的测站数，说明是山地观测，因此依据总测站数理计算高差闭合差的容许值为:启=土 126=± 122。= ±54mm计算的高差闭合差及其容许值填于表2-2下方的辅助计算栏3）高差闭合差的调整fhwfh容，故其精度符合要求。本例中，将高差闭合差反符号，按下式依次计算各测段的高差改正数：=一/，自二-（ £修一测站总数，垮一第7则段测站数）第一测段的高差改正数为：, 她 34 % .园二 x S/ 一二14mm同法算得其余各测段的高差改正数分

11、别为5、7、8mm依次列入表2-2中第5栏。注：1、所算得的高差改正数总和应与高差闭合差的数值相等，符号相反，以此对计算进行校核。如因取整误差造成二者出现小的较差可对个别测段高差改正数的尾数适当取舍1mm以满足改正数总和与闭合差数值相等的要求。-士2、若为平地，高差改正数按各测段长度比例分配：用公式，自=-" 计算，式中，££ 一路线总长；工一 第测段长度（km） （ =1、2、3）。4）计算待定点的高程将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差：hi 改=%+，卜 i i =1, 2, 3, 4据此，即可依次推算各待定点的高程。（上例计算结果列入表2-2之第6、

12、7栏）。H1=HA+H政H2=H1+H效HB （算）=HB（已知）注：改正后的高差代数和，应等于高差的理论值（ HB-HA,即：Eh 改=HB-HA。如不相等，说明计算中有 错误存在。最后推出的终点高程应与已知的高程相等。2闭合水准路线算例闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外，其余与附合路 线的计算完全相同。计算时应当注意高差闭合差的公式为：f h =三h测。如图2所示一闭合水准路线，A为已知水准点，A点高程为，其观测成果 如图中所示，计算1、2、3各点的高程。将图中各数据按高程计算顺序列入表 2进行计算：表2水准测量成果计算表测段号点名测站数观测高差/m改正数改正后高差/mm

13、/m高程/m12345671BMA11一一128236347一一BMB32一0辅助 计 人=30mm 加=±12mmm ± 68mm计算步骤如下：计算实测高差之和测=£= = =30mm计算容许闭合差fh容=±126=± 68mm fh <fh容，故其精度符合要求，可做下一步计算。计算高差改正数高差闭合差的调整方法和原则与符合水准路线的方法一样。本例各测段改正数vi计算如下：=(fh/ En) Xn1=- ( 17/32) x 11=6mm，h2= (fh/ En) Xn2=- (17/32) x8=4mm 检核 E，h = -fh=-计

14、算改正后高差h改各测段观测高差hi分别加上相应的改正数后，hi,即得改正后高差：h1改引1+，h 1= +=h2改引2+，h 2=+= 注：改正后的高差代数和，应等于高差的理论值0,即：Eh改=0 ,如不相等，说明计算中有错误存在。高程计算测段起点高程加测段改正后高差，即得测段终点高程，以此类推。最后推出的终点高程应与起始点的高程相等。即： H1=HA+h=H2=H1+h效=+= HA (算)=HA。知尸计算中应注意各项检核的正确性。当前位置：一一B33-7刈回法观测顺序0F两个方向之间的水平角力，在。点安置经、经纬仪测回法测水平角设工、口、田为地面三点，为测定口刃纬仪（图3-7）,采用测回法

15、进行观测。1）上半测回（盘左）水平度盘读数：目标& %=0。02，06，目标 3 :'=68° 49' 18 ；2）下半测回（盘右）水平度盘读数: 目标 3 ：瓦=248 49' 30，目标工：% = 180。02' 242、填表与计算：1）将目标A、目标B水平度盘读数填入表3-1第4栏表3-1水平角观测手簿（测回法）测站目标竖盘位 置水平度盘读数0 ' 半测回角值0 ' 一测回角值0 ' 备注1234567左0 02 0668 47 1268 47 0968 49 18右180 02 2468 47 06248 49

16、302）计算半测回角，并将结果填入表 3 1第5栏：盘左：=60T49mo02- = 6847”2.盘右：七，_、：一注：计算角值时，总是右目标读数 由减去左目标读数送，若片 < ,则应加36。二3）计算测回角值尸，并填入表31第6栏。S五十鼻T注：1.同一方向的盘左、盘右读数大数应相差 1S°"；2 .半测回角值较差的限差一般为±40*；3.为提高测角精度，观测器个测回时，在每个测回开始即盘左的第一个方向，应旋转度盘变换手轮配置水180B平度盘读数，使其递增 并。各测回平均角值较差的限差一般为 ±2*。水平角取各测回角的平均值。二、经纬仪测竖直角

17、竖直角（简称竖角）是同一竖直面内目标方向和水平方向之间的角值 餐，仰角为正，俯角为负，其绝对值为0"911、竖盘构造经纬仪竖直度盘固定在横轴一端，随望远镜一道转动，竖盘指标线受竖盘指标水准管控制，当指标水准管气泡居中时，指标线应在铅垂位置。目标方向可通过竖直度盘（简称竖盘）读取读数（始读数），而水平方向的读数已刻在竖盘上。2、竖直角的计算公式图3-9所示竖盘按顺时针方向注记，且望远镜水平时竖盘读数为：盘左为 9T ,盘右为27。-盘左 一 一 （3-4）盘右 对-270-（35）其平均值为-（3-6）注：竖盘注记形式不同，计算公式也不同3、竖直角记录整理举例：设工点安置经纬仪观测3目

18、标、C目标的竖角，观测值如下:目标8：盘左：竖盘读数为工（设为*丁3T12升）；盘右：竖盘读数为五（设为27r22'54”）。目标C:盘左：竖盘读数为 上（设为99° 41' 12）；盘右：竖盘读数为 五（设为260° 18' 00）。1）将竖盘读数填入下表3 4第4栏。表3-4竖直角观测手簿测站目标竖盘竖盘读数半测回竖角指标差一测回竖角备注位置0 ' 0 ' 0 ' 12345678左82 37 12+7 22 48右277 22 54+7 22 54+ 3+7 22 51左99 41 12-9 41 12右260 18 0

19、0-9 42 00-24-9 41 36注：盘左视线水平时，竖盘读数为 90° ,视线上斜读数减少。2）计算半测回角，并填入表3-4第5栏中。 盘左 % 二殁-£（3-4） 盘右 % =火-270”(3-5)3）计算指标差x,填入表34第6栏指标水准管气泡居中时，指标线如果偏离正确位置,则指标线的偏离角值称为竖盘指标差x。指标差有两种计算方法：（上十 R） - 360'（3-12） 方法 2:2（3-13）栏。-（3-6）% 一%方法1:* =24）计算一测回角，填入表3-4第7注：1、指标差K对盘左、盘右竖角的影响大小相同、符号相反，采用盘左、盘右取平均的方法就可

20、以消除指标差对竖角的影响。2、对同一架经纬仪而言，观测不同目标算得的竖盘指标差理应大致相同。该例两个指标差值之所以相差较大，说明读数中含有 较多的观测误差。当前位置：一一一、基本计算对精度要求较高的钢尺量距，除应采用经纬仪定线、在钢尺的尺头处用弹簧秤控制拉力等措施而外，还应对丈量结果进行以下三项改正：1、尺长改正设钢尺名义长为片，在一定温度和拉力条件下检定得到的实际长为 4 ,二者之差值即为一尺段的尺长改正(4-5)2、温度改正受热胀冷缩的影响，当现场作业时的温度9与检定时的温度砧不同时，钢尺的长度就会发生变化，因而每尺 段需进行温度改正M：(4-6)W>5 似料我业式中 匚=；口2二-

21、c,为钢尺的膨胀系数。加倾斜改正2fl 。设一尺段两端的高差为期，沿地面量得斜距为1 ,将其化为平距厘（图4-6）,应因为孙）,即有= ®又因“九甚小，可近似认为,所以有(4-8)以上三项之和即为一尺段的改正数&(4-9)4、尺长方程式尺长随温度变化的函数式称为尺长方程式：:(4 二 二 (4-7)式中)一温度为七度时钢尺的实际长度；口一钢尺的名义长度；等式右端后两项实际上就是钢尺尺长改正 和温度改正的组合。5、相对误差需要进行往返丈量，取其平均值作为量距的成果。为了检核和提高精度，一般口 _ 住十一.(4-3)与- 2并以往、返丈量结果的相对误差来衡量其成果的精度。1%-纬

22、1口地相对误差:二、举例例1:钢尺丈量AB的水平距离，往测为，返测为；丈量 CD的水平距离，往测为，返测为，最后得 DAB DCD 及它们的相对误差各为多少哪段丈量的结果比较精确口堪 _ %+A解：1)水平距离，由 呵 工 得：AB: DAB= (+ ) 12 =CD DCD= (+ ) 12 =I .在一廖火2）相对误差，由登二I At-白嗨I得:AB: KA氏一/=1/3128CD KC氏一/=1/2634KA女KCD故AB的丈量结果比较精确。例2: 一钢尺名义长=30m实际长4=,检定温度J=2Tc,作业时的温度和场地坡度变化都不大，平均 温度£=271C,尺段两端高差的平均值

23、期=+ ,量得某段距离往测长 办注=,返测长”跑=,求其改正后平均长 度及其相对误差。解：一尺段尺长改正温度改正倾斜改正A=_ 230 0=_A/r_x (25 8- 20.0)x30 0 _三项改正之和往测长口袋的改正数及往测长221.756 门的力注= 30.0 xulu 立=+ 门柱= 221.756 + 0.C26 = 221.782 m返测长加的改正数及返测长_ 221.7CM一工二二+,为一一-%改正后平均长：n 221782+ 221.730 D =2=相对误差： 221,782-221.730 _ 1 -221.756-4260例3:从A点测设长度为的水平距离 AR初设B点后，

24、测得温度t=23C,AB两点的高差h=,已知尺长方 程为lt=30 +X 10-5(t 20° C)X 30m,问需沿地面测设多少长度解：1)AB段三项改正尺长改正 以= -X30=-温度改正 端= X 10- 5(23 0 C 20° C) X =倾斜改正= -(2X = - 三项之和(即AB段的改正数)：尺=4+% + %= + +( )=需沿地面测设的长度 DAB = DAB- &】=-(- =二：当前位置：一一一、基本计算1、观测值中误差的计算设在相同条件下对某量进行了 n次观测，得一组观测值L1、L2、Ln, x为观测值的算术平均值，匕表 示观测值改正数，

25、即则中误差2、相对中误差的计算所谓相对中误差（简称相对误差）就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D）之比，并将分子化为1表示:3、算术平均值及其中误差计算设对某量进行M次等精度观测，观测值为4 d =1、2H）,Zj + Zj + + £ 器 1其算术平均值为或：一 题 一万烟 H =算术平均值中误差mx e（其中m为观测值的中误差）4、观测值函数中误差计算观测值的倍数函数、和差函数、线性函数的中误差计算如下表所列函数名称函数式函数中误差计算式倍数函数=-走入回丁 士上加1r 上=*和差函数线性函数向土M为土土耳小二、举例例1:对某段距离进行了六次等精度测量，观测值列于表

26、（5-3）,试求算术平均值及其中误差、相对误差和 观测值中误差。表5-3距离测量成果计算表观测次数观测值L/mv/mm1、算术平均值工二因二 X&36022、观测值中1 2 3 4 5 6+7 1 +4 49 1 16 10036 3610 +6 6误差："1 =± 3、v=0vv=238算术平均值中误差：人二土2'& =± 4、算术平均值的相对中误差 K=1/124400解：其计算步骤为1.计算算术平均值Xx = = 348,3606(2)计算观测值改正数吗%=4.天仁=1、2即) 本例计算为=0,说明检核通过。再计算各乙之平方，得”=2

27、38(注：检核：计算1,看其是否为00如果由于凑整误差使算得的打为一微小数值，也应视为计算无误±±6.9mm (4)计算算术平均值中误差(3)计算观测值中误差,牌,6.9- ±-t=±- = tzZ.8'''=''mm (5)计算算术平均值的相对中误差3世36/。82g曲4。注：因本例为距离测量，所以需进行相对误差的计算，否则，该项计算免去。例2:观测一四边形的三个内角，中误差分别±4，±5，±6 ；则第4个角的中误差为多少解：第4各角计算式可写为x4 =360x1x2 x3刑丁二士朋

28、/ 送+尢9曜;线性函数中误差计算公式 工 丫'朝*必可得：m4«（42+52+62） 1/2= ±9二：当前位置：一一一、基本计算导线内业计算包括角度闭合差的计算和调整、方位角的推算、坐标增量闭合差的计算和调整及未知点的坐 标计算。1、角度闭合差的计算和调整1）角度闭合差计算：a）附合导线：CD的方位角推算值任a与其已知值%0若不等，其差值即称为角度闭合差 力。(6-3)b）闭合导线闭合导线角度闭合差为所有内角观测值之和与闭合内边形内角和理论值m仃之差,即为=工月-1(«-2)xl80n(6-8)2）角度闭合差的调整（其如果4小于限差，说明观测成果符合要

29、求，但是需要调整。即将角度闭合差按相反符号平均分配于各角 分配值即称原角度观测值之改正数）注：分配值一般取整至秒，并使其总和与角度闭合差二者绝对值相等。3）根据改正后的角值，重新计算各边的坐标方位角。根据改正后的角值，重新计算各边的坐标方位角。、最后算得的电和已知值蠲中应完全相等，可作为检核。4 = %+龟±1初4=%备±1初注：上二式右端，若前两项计算结果1吕1WT前面用“ + ”号，否则18T前面用一号。2、坐标增量闭合差的计算合调整1）坐标闭合差计算 il坐标增量闭合差是末端已知点坐标的计算值 飞、人和已知值股、%之差（分别称为纵坐标增量闭合差 人和横坐标增量闭合差

30、力）：a）附合导线jf-i 工二（一七二SM -（xc -（6-4a）,电】fy = y'c-yc = ZAXi- -yp一（6-4b）b）闭合导线闭合导线的起、终点为同一点，故将公式（6-4）式右端之第2项均改为0,即为闭合导线坐标增量闭合差。2）闭合差调整a）根据工、3计算导线全长闭合差了和全长相对闭合差K:-r ；（6-5）M="二Z ' Z ' （6-6）如果长小于限差，说明观测成果符合要求，但亦需要调整b）将纵、横坐标增量闭合差人、力反号,按与边长成比例分配于各边的坐标增量中其分配值（即原纵、横坐标增量值之改正数 产、。按下式计算:式中，A为第&qu

31、ot;条边边长。注：纵、横坐标增量改正数之的总和应分别等于纵、横坐标增量闭合差，而符号相反，用于检核3）计算待定导线点坐标坐标增量闭合差调整后，根据起始点的已知坐标和经改正后的坐标增量计算各待定导线点的坐标 注：最后算得的末端点式、尸坐标应和其已知值完全相符合，再次检核。二、举例例1已知四边形闭合导线内角的观测值见下表，试进行角度闭合差计算和调整，并推算出各边的坐标方位点观测值（右角）（,）改正数（）改正后角值（，）坐标方位角 （，）1112 15 23123 10 21267 14 12354 15 204126 15 25f B 二 加 = 土 60,原二 土解：1）计算角度闭合差E p

32、i=360 0 00' 20(n=4)力2叱（一）x1*20-二 -120f B<f B允，精度符合要求2）调整角度闭合差将角度闭合差按相反符号平均分配于各角： 20 /4= 5。计算改正后角值各内角值 Bi' = B i + （ 5）3）推算各边方位角因角度观测值为右角，故应用公式胃曲=0用一#岩上 131T推算各边方位角。计算时应注意公式右端，若前两项计算结果 比0 1gly前面用“ + ”号，否则181r前面用“一”号。已知 a 12=100° 00' 00故 a 23= a12+02'=100°00'0067°

33、 14' 07 +180° =212° 45' 53a 34= a23+B3'=212°45'5354° 15' 15 +180° =158° 30' 38a 41= a 34+B4'=158°30'38126° 15' 20 +180° =212° 15' 18a 12= a 41+ 01'=212°15'18112° 15' 18 +180° =100

34、6; 00' 00a 12推算结果与已知值a 12=100° 00' 00相同，说明计算无误。如下所示，计算成果填入表中。点观测值（右角）B i（，）改正数改正后角值B i '（，）坐标方位角 （，）1112 15 23-5112 15 18100 00 00267 14 12-567 14 07212 45 53354 15 20-554 15 15338 30 384126 15 255126 15 2032 15 18360 00 20-20360 00 00100 00 00小乎(”2) * *20 7=±6。落= ±120当前位置：一一 一、基本计算 1、坐标反算用I 坐标正反律如图，已知A B两点坐标伯:，确定直线长度和方向根据A、B两点