六年级秋季班-第15讲：圆的周长和弧长(1)

1、圆的周长和弧长内容分析11 / 16圆的周长和弧长是六年级数学上学期第 4章第1节的内容，通过本讲的学习， 同学们需要掌握圆的周长和弧长的公式， 并熟练运用进行相关的计算.难点是圆 的周长和弧长公式在组合图形中的运用，以及在实际问题中的应用.知识结构圆的周长和弧长模块一：圆的周长知识精讲1、圆的周长通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母 表示， 读作“ pai” ；圆周率 是个无限不循环小数，3.14.圆的周长 直径=圆周率.用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：C d 或 C 2 r例题解析【例1】 想要求圆的周长，就必须知道（A

2、.圆心B.圆周率【难度】【答案】D【解析】C d或C 2r.【总结】考查圆的周长公式.）C.直径和半径【例2】是一个（）A.有限小数C.无限不循环小数【难度】【答案】C【解析】圆周率是一个无限不循环小数.B.无限循环小数D.混合循环小数【总结】考查圆周率基的概念.D.直径或半径【例3】 判定题：（1）大圆的圆周率大于小圆的圆周率.（）（2） 一个圆的半径扩大 2倍，它的周长也扩大 2倍.（）【难度】【答案】（1） X； （ 2）【解析】（1）圆周率是个定值；（2）由周长公式可知，当一个圆的半径扩大n倍时，这个圆的周长也扩大 n倍.【总结】考查圆周率及圆的周长公式.【例4】 求下列图中各圆的周长

3、.（ 取3.14）【难度】【答案】（1） 62.8cm； （2） 18.84.【解析】（1） C d 3.14 20 62.8cm;（2） C 2 r 2 3.14 3 18.84.【总结】考查圆的周长以及周长公式的计算.【例5】 车轮的直径是0.8米，那么它的滚动一周长为多少米？（ 取3.14）【难度】【答案】2.512米.【解析】3.14X 0.8=2.512m .【总结】考查圆的周长的在实际问题中的计算.【例6】 小智每天绕半径为 20米的花坛跑15圈，则小智每天要跑多少米？（ 取3.14）【难度】【答案】1884米.【解析】15X 2X 3.14X 20=1884 米.【总结】考查圆的

4、周长的在实际问题中的计算.【例7】 小方家挂钟的分钟长 24厘米，1小时后，分针的尖端所走的路程是多少厘米?10小时后呢？（ 取3.14）【难度】【答案】1小时后走过的路程为：150.72cm, 10小时后走过的路程为：1507.2cm.【解析】1小时后走过的路成为：2X 3.14X 24=150.72cm ,10小时后走过白路成为：150.72 X 10=1507.2cm .【总结】考查圆的周长的计算，分针走过1小时，针尖走过的路程即为一个圆的周长.【例8】填表：（取3.14）圆的半径2厘米2.5dm1.5m10m圆的直径4cm5dm3米20m圆的周长12.56cm15.7分米9.42m62

5、.8 米【难度】【答案】见表格.【解析】根据半径、直径、周长之间的关系计算.【总结】考查圆的周长、半径、直径之间的关系.【例9】 如图，是一个由半圆和一条直径所组成的图形，求这个图形的周长.（单位:厘米， 取3.14）【难度】【答案】25.7.【解析】10X 3.14 + 2+10=25.7 .【总结】考查半圆的周长的计算，直径的长度勿忘.【例10如图，大半圆的直径为长为.（ 取3.14）【难度】【答案】41.4cm.【解析】3.14 （15 5） 2 5 515厘米，小半圆的直径是大半圆的1 ,则该图形的周41.4cm .【总结】考查圆的周长的计算，注意本题中是半个圆.【例11如图是由直径分

6、别为 4厘米、6厘米和10厘米的三个半圆所组成的图形，则这个图形白周长为.（ 取3.14）【难度】【答案】31.4cm.【解析】3.14 （10 6 4） 2 31.4cm .【总结】考查圆的周长的计算，注意本题中周长是三个半圆的和.如图所示，试求金【例12】直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地的捆在一起,属带的长度.（ 取3.14）【难度】【答案】7.14m.【解析】3.14X 1+4=7.14m.【总结】本题中注意金属带的长度包含了4个直径.【例13】一个正方形的铁片里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是25.12厘米，那么正方形的周长比圆的周长多多少厘米？（ 取3.14）【难度】【答案

7、】6.88厘米.【解析】已知正方形的边长即为圆的直径，则正方形边长为 25.12+ 3.14=8cm,所以正方形周长为：8X4=32cm,则正方形的周长比圆的周长多：32 25.12=6.88cm.【总结】本题中注意正方形的边长即为圆的周长，从而利用圆的周长公式计算.【例14如图，点。、点B在线段AC上，AB = 120米，BC = 70米，。是圆心.从A到C有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短.【难度】【答案】距离一样.【解析】AC: 190 +2 = 95;A一。一C: 95 +2X 2 = 95 ;A-B-C:120 +2+70+2 = 95 .【总结】考查圆

8、的周长公式在组合图形周长计算中的运用.【例15如图，一个半径1厘米的硬币沿着长方形纸板的边缘滚动，长方形纸板长30厘米，宽20厘米，当硬币滚回原来位置时，硬币的圆心经过的路程是 厘米.（取 3.14）【难度】【答案】106.28cm.【解析】虚线图形的周长即为银币圆心经过的路程：即：（ 30+20） X 2+2X 3.14X 1=106.28cm.【总结】本题在计算时注意四角是四段圆弧组成的.模块二：弧长知识精讲AB;例题解析1、弧和圆心角的概念如图，圆上a、b两点之间的部分就是弧，记作： Ab,读作：弧AOB称为圆心角.2、弧长公式设圆的半径长为r, n°圆心角所对的弧长是 1,那

9、么:【答案】3.【解析】顶点在圆心的角叫圆心角.【总结】考查圆心角的概念.【例17】下列判断中正确的是（）A.半径越大的弧越长B.所对圆心角越大的弧越长C.所对圆心角相同时，半径越大的弧越大D.半径相等时，无论圆心角怎么改变，弧长都不会改变【难度】【答案】C【解析】由公式可得 C正确.【总结】考查弧长的影响因素.【例18若一弧长是所在圆周长的 2 ,则它所对的圆心角是 度. 5【难度】【答案】144度.【解析】360o 2 144°. 5【总结】考查弧长公式的逆运用.【例19】一段圆弧所在的圆的半径是40厘米，这条弧所又的圆心角为 100弧的弧长.（结果保留）【难度】【答案】200

10、. 9【解析】100X 40兀+ 180 = 2009【总结】考查对弧长公式的理解以及利用公式进行计算.【例20】一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为 270。，求该弧所在圆的半径.3.14）【难度】【答案】4cm.【解析】18.84X 180+ 270+3.14 = 4cm.【总结】考查弧长公式的逆运用.A、B、C为圆心，18毫米为【例21如图， ABC的三条边长都是18毫米，分别以半径画弧，求这三条弧长的和.（ 取3.14）【难度】【答案】56.52毫米.【解析】180X 3.14X 18+ 180 = 56 .52 毫米.【总结】考查对弧长公式的理解以及运用公式进行计算.【例22】某建

11、筑物上的大钟，分针长 1.2米，时针长0.9米，试计算2小时分针和时针的针尖运动的距离.（ 取3.14）【难度】【答案】分针针尖2小时经过的路程为 15.072m、时针针尖2小时经过的路程为 0.942m.【解析】时针走两小时，走过的圆心角度数为60。，则时针针尖 2小时运动的距离为：60X 3.14X 0.9+180 = 0.942m,分针走一小时，走过的圆心角为360° ,则时针针尖 2小时运动的距离为：720X 3.14X 1.2 + 180= 15.072m.【总结】考查弧长公式的运用，注意时针针尖和分针针尖在不同时间走过圆心角不同.【例23】把直径为18厘米的圆等分成9个扇

12、形，每个扇形的周长是 厘米.（取 3.14）【难度】【答案】24.28cm.【解析】3.14X 18 +9+18=24.28 cm.【总结】考查弧长的计算，分成扇形后多了两个半径.【例24如图，圆心角为135。的扇形减去直径为 12厘米的半圆，所得到的阴影部分的周长为 厘米.（取3.14）【难度】【答案】59.1厘米.【解析】135X 3.14X 12+ 180+3.14X 6+12 = 59.1 厘米.【总结】考查弧长公式的计算.【例25如图，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？（ 取3.14）【难度】【答案】3.09cm.【解析】已知两段弧所对的圆心角的

13、度数均为故阴影部分的周长为：120X 3.14X 1+ 180+ 1=3.09cm.【总结】考查弧长的计算，注意阴影部分的周长包含BC的长.【例26如图，四边形 ABCD是长方形，长为10厘米，宽为6厘米，求阴影部分的周长.（取 3.14）【难度】【答案】33.12cm.【解析】90X 3.14X10+ 180+90X 3.14X6+ 180+4+4=33.12cm.【总结】考查组合图形的周长的计算.【例27】夏天到了，爸爸到商店买了 3瓶啤酒，售货员将3瓶啤酒捆扎在一起，如图所示，那么捆4圈至少用绳子 厘米.【难度】【答案】171.92厘米.【解析】（3X7+3.14X7） X4 = 171

14、.92cm.【总结】本题中一圈绳子的长度包含了一个直径为的圆的周长与3个直径的和.取 3.14)7厘米的【例28】求图中阴影部分的周长.（【难度】【答案】33.12.【解析】四条弧加起来正好是一个圆，故阴影部分的周长为：3.14X4X2+ 2X4=33.12.取 3.14)【总结】考查组合图形的周长的计算，注意该组合图形中包含了四条线段的长.23 / 16【例29如图，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长 600厘米的正方形，栓狗的绳子长20米.现狗从A点出发，将绳子拉紧顺时针跑， 可跑多少米？（取 3.14）【难度】【答案】69.08m.【解析】狗可以跑 4个二圆，4A第一个圆的

15、半径为20米，路程是：1x2 X20 = 101 八，X2 X 14 = 7411X2 X 8 = 441 八八_ X 2 X 2 =444第二个1圆的半径为20-6=14米，路程是：4第二个圆的半径为20-6-6=8米，路程是：420-6-6-6=2米，路程是:1 _第四个-圆的半径为4所以可以跑的总路程为：10 +7 + 4 + = 22 = 69.08 m.【总结】本题综合性较强，主要是分清每段圆的半径.【例30】等边三角形的边长是 3厘米，现将VABC沿一条直线翻滚 30次，如图所示, 求A点经过的路程的长.【难度】【答案】125.6cm.【解析】A点运动一次走过的路程是圆心角为120

16、度半径为3厘米的扇形的弧长，但连续运动两次之后，第三次 A点是不动的，因此 VABC每翻滚一次，就有一次固定 一， 1202不动，A点经过的路程的长为：3 2 30 - 40 125.6cm .3603【总结】本题综合性较强，一方面要分清楚A点的运动路径，另一方面要确定三角形在旋转时的旋转中心.【习题1】 下列结论中，正确的是（）A.任何一个圆的周长与半径之比不是一个固定的数B.任何两个圆的周长之比等于它们的半径之比C.任何两个圆的周长之比是一个固定的数D.称圆的周长与半径之比为圆周率【难度】【答案】B.【解析】圆周率是一个固定的数.【总结】考查圆的周长及圆周率的概念.【习题2】 圆的直径为3

17、0 ,则圆的周长为 .（结果保留）【难度】【答案】30 .【解析】C d 30 .【总结】考查圆的周长的计算.【习题3】 一个圆中，120°的圆心角所对的弧长是 15.072米，则这个圆的半径是 米.（取 3.14）【难度】【答案】7.2m.【解析】15.072X 180+ 120 + 3.14 = 7.2m.【总结】考查弧长公式的逆运用.【习题4】 一个半圆的周长是 17.99厘米，则它的直径为 厘米.（取3.14）【难度】【答案】7厘米.【解析】设周长为 d,则一d d 17.99,解得：d 7. 2【总结】考查圆的周长公式的逆运用，注意本题中周长还包含一条直径的长.【习题5】

18、两只蚂蚁分别沿着边长为 10米的正方形和直径为 10米的圆的路线爬行， 如 果同时以同样的速度从一点出发，那么谁先回到起点？【难度】【答案】沿圆形路线爬行的蚂蚁先到起点.【解析】因为4X10 > 10 ，所以沿圆形路线爬行的蚂蚁先到起点.【总结】考查圆与正方形周长的计算在实际问题中的运用.【习题6】如图是由两个正方形和两个扇形的组合图形，则阴影部分的周长是 厘米.（取 3.14）【难度】【答案】33.98厘米.【解析】90X 3.14X10+ 180+90X 3.14X4+ 180+2+6 + 4=33.98 厘米.【总结】考查组合图形的周长的计算，注意周长包含了好几部分.【习题7】一个

19、自行车轮子的直径为0.8米，能滚动25圈/分，要通过一座长 502.4米的大桥，需要多少分钟？【难度】（ 取3.14）【答案】8分.【解析】502.4+ （ 25X 3.14X0.8） = 8 分.【总结】自行车的轮子滚动一圈，实际上就是直径为0.8米的圆的周长，然后转化为路程与速度的问题.【习题8】 如图，圆A的半径为圆B半径的1，圆A从图上所示位置出发，沿着圆3滚动，那么至少要滚动多少圈才能回到原处？【难度】【答案】4.【解析】设小圆半径为 x,则大圆半径为3x,则圆心的路程为：8 x,故圆A滚动的圈数为： 殳32 x【总结】考查圆的周长的计算及运用，本题中只要看点A运动的路程即可.【习题

20、9】地球的赤道是个近似的圆形，赤道的半径约6378.2千米，假设有一根绳子沿地球赤道贴紧地面绕一周，现在将绳子增加6.28米，使绳子与地面之间有均匀的缝隙，请问缝隙有多宽？ 一只高4厘米的蜗牛能否从该缝隙间爬过？（ 取3.14）【难度】【答案】1m,能.【解析】6378.2千米=6378200米，绳子增加6.28米后的周长为：2 3.14 6378200 6.28 6.28 6378201米，增加后的半径为：6.28 6378201 3.14 2 6378201 米，增加的半径长度为：6378201 6378200 1米，即缝隙宽为1米.因为1米大于4厘米，所以该蜗牛能从该缝隙爬过.【总结】本

21、题综合性较强，注意认真分析题目中的条件，进行计算.【习题10】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形,绳长是8米.当绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的图形的总周长为多少米?【难度】【答案】50.24m.【解析】120X 3.14X2+ 180X2+300X3.14X 8-180 =50.24m.【总结】本题中小狗运动的路程是三段弧长的和，解题时注意分析.【作业1】 两个圆的周长比为 1 : 3,则半径比为 【难度】【答案】1:3.【解析】周长比等于半径比.【总结】考查圆的周长与半径的关系.【作业2】 把一张圆形纸对折，再对折，再对折，得到一个扇形，那么它的圆心角是【难度】

22、【答案】45.【解析】360° +2+2+2=45° .【总结】考查圆的对折引起相应圆心角的变化.【作业3】 在一个周长为31.4厘米的圆中，108°所对的弧长为 厘米.（ 取3.14）【难度】【答案】9.42厘米.【解析】108+360X 31.4 = 9.42厘米.【总结】考查弧长的计算.取 3.14).【作业4】 如图，计算环行跑道的周长（单位：米;【难度】【答案】451.2米.【解析】3.14X 80 + 200 = 451.2 米.【总结】考查环形跑道周长的计算.【作业5】 用一根31.4分米的铁丝围成一个正方形或者围成一个圆，则围成的正方的边长与围成的圆的直径哪个大？大多少？（ 取3.14）【难度】【答案】圆的直径大，大 2.15dm.【解析】正方形边长为：31.4+4=7.85dm,圆的直径为：31.4+3.14=10dm,故圆的直径大，大：10 7.85=2.15dm.【总结】考查圆的周长的计算.半为半径在正三角形内作【作业6】 如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，边长的弧，若正三角形边长