线性代数知识点总结第二章

1、线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节矩阵定义n 个数 aj i 1,2,L ,m； j 1,2,L ,n 排成aiia21Ma12a22Maia2n称为m行n列矩阵。简称m n矩阵，记彳Aamiam2amn的m行n列的数aiia12Laina2ia22La2nLLLLamiamiLamn表简记为aij m n aij，这m n个数称为A勺元素，简称为元。.下载可编辑.说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于 n的矩阵A。记作：A。行（歹U）矩阵：只有一行（歹U）的矩阵。也称行（列）向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

2、相等矩阵：AB同型，且对应元素相等。记作： A= B零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是 1,其它元素都是0,记作：国不引起混淆时，也可 表示为E ）（课本P2 A P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。矩阵的加法设有两个m n矩阵A第二节矩阵的运算aj和Bbij,那么矩阵A与B的和记作A B,规定为A Baii即a21b21La12am2bi2b22ain bn a2n b2n说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算

3、。（课本P33）矩阵加法的运算规律i A B B A;2 A B C A B Caila12La1n3设矩阵Aaj mn，记A （ aj）mna21La22LLLa2nL,A称为矩阵Aam1am1Lamn的负矩阵4A A0, ABA B。（课本 P33）数与矩阵相乘 数 与矩阵A勺乘积记作 A或A，规定为数 与矩阵A勺乘积记作 A或A，规定为ana12Lalna21a22La2nLLLLam1am1Lamn数乘矩阵的运算规律(设 A B为m n矩阵，,为数)1 A A ;2 AAA;A B 。（课本 P33）矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘设B (bj)是一个m s矩阵,

4、B (bj)是一个s n矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m n矩阵C(cj), 其中如,b2jsailai2Laisailbl jai2b2jLais bsjaik bkj, i 1,2,Lm,j 1,2, L , n ,Mk i并把此乘积记作C AB一、/在思1。A与B能相乘的条件是： A的列数=B的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB BA,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。3。对于n阶方阵A和B,若AB=BA则称A与B是可交换的。矩阵乘法的运算规律1 AB C A BC ;2 ABABCAB AC, B C A BA CAAmnEmmAmn5若A是n

5、阶方阵,则称Ak为A的k次哥，即Ak 14ALA,并且AmAk Am kAm k Amk m,k为正整数。规定：A0=E注意 矩阵不满足交换律，即 AB BA, AB k AkBk （但也有例外）（课本P36）0纯量阵矩阵 E称为纯量阵，作用是将图形放大 倍。且有（E）A A（ E） A, A为n阶方阵时，有（En）An An（ En）An ,表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。（课本P36）转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A ,1 4&1 2 2 T如 A, AT2 5。4 5 8- c2 8转置矩阵的运算性质1 AT T A；T T T2

6、 A B AB；3 A TAT;T T . T一，4 AB BA。（课本 P39）方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|A或det A （记住这个符号）注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质1 ATA -21A nA;(3) AB A B B A BA (课本 P40)aji i, j 1,2,L ,n那么A称为对称对称阵 设A为n阶方阵，如果满足 A=AT ,即aj阵。说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,如果ATA则称矩阵A为反对称的。即反对称矩阵A (

7、au)中的元素满足 a = - aji , i , j =1, 2, n伴随矩阵A的各个元素的代数余子式Aj所构成的如下矩阵性质AiA LAllA21A22LA2nLLLLAn1An2 LAn称为矩阵A的伴随矩阵。AA A AA E （易忘知识点）（课本P?）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节 逆矩阵 定义对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使得AB= BA= E则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。A的逆矩P$记作 A

8、 1 ,即A 1 Bo说明1 A , B互为逆阵，A = B12 只对方阵定义逆阵。3 .若A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的。11定理1 矩阵A可逆的充分必要条件是 A 0,并且当A可逆时，有 A 1 A （重要）（证明见课本P?）奇异矩阵与非奇异矩阵当A 0时，A称为奇异矩阵，当 A0时，A称为非奇异矩阵。即A可逆A为非奇异矩阵A 0。推论 若AB E（或BA=E），则B A 1 （证明见课本P?）（1）先求|A|并判断当|A| 0时逆阵存在;求逆矩阵方法（2）求A*；（3）求工 A* A 1。I A|更好的求逆矩阵的方法-chapter3初等变换法（A,E）逆矩阵的运算性质11若A可逆

9、，则A 1亦可逆，且A 1 A,1112若A可逆，数 0,则A可逆，且A -A 13若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且（AB） 1 B 1A 1。（以上证明见课本P43）1T4若A可逆，则AT亦可逆，且ATA 1 o15若A可逆，则有A 1 A。总结 逆矩阵的计算方法1待定系数法；2利用公式A 1 A ; 3初等变换法下一章介绍A第四节矩阵分块法矩阵分块 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。分块矩阵的运算规则加法 A与B同型，且A、B的分块方法相同，则 A与B的和定义为对应子块相加。数

10、乘 A （方）。AAAA1 A21转置设AA112 A3 MATAT2 a：2 。（先外转再内转）A21 A22 A23AT TA13 A23乘法 首先 AB有意义，其次 A的列的分法与 B的行的分法相同。设A为m l矩阵，B为l n阵,分块成B1Aa, A2,L At （即列向量组）,BB2 （即行向量组）MBnCii L其中Ai,A2,L ,At的列数分别等于Bij,B2j,L ,Btj的行数，那么AB MCsi LCirMCsrt其中 CijAkBkj i 1,L ,s; j 1,L ,r。k 1结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块对角阵（准对角矩阵）设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且A 一. .一、 一A2非零子块都是方阵，即A0 ，其中A i 1,2,L s都是万阵，则有：Asi） |A |a|A2L Asi。Ai2）若每个|A| 0，则A可逆，且有AA2 o,As_一 1111一A可逆Ai可逆 i1,2,L 透且A diagA1,A2,L,As(diag(A)表示对角阵A)（课本P?记 A(a) xX1ba11a12.anb1X2,b20a21a22.a2nb2,b,BMMMMMMXnbmam1am2. a