处理有关恒成立问题基本方法

1、处理有关“恒成立”的思路方法与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列， 不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我 们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了 保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而 且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合， 体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透 和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能 力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。一.恒

2、成立问题的基本类型按区间分类可分为：在给定区间某关系的恒成立问题；在全体实数集上 某关系的恒成立问题。二.处理恒成立问题的基本思路处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法变量分离思路处理；利用函数的性质，图象思路处理。若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求, 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为 函数的最值问题求解。在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用1 ,例2：若不等式x2+ax+1之0对一切x w (0,万成立，则a的取值范围为(A. 0 B. -2 C. -5D.-32. _1-x2 - 11

3、解析：由于x (0, - , a = X2xx1 115Y f(x) = x十L在(0, 1上单调递增，在x=l取得最小值5 x 2225二a之,故选C2方法2:利用函数的性质，图象其主要体现在：1,利用一次函数的图象性质若原题可化为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b(a 0 0).若y=f(x)在m,n内恒有 f(x)之 0(或f(x)工 0),则根据函数的图象可得：f(x)之0,x亡m,n恒成立uf(m)-0f(n)一0f(x)w0,x亡m,n恒成立uf(m)-0f(n)<02 ,利用二次函数的图象性质：a 0右 f(x)=ax +bx+c (a 0 0)大于

4、0怛成立 -:二 0若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达定理求解。例1: 函数f(x)是奇函数，且在-1,1单调递增，又f(-1)=-1 ,若f(x) < t2-2at+1对所有的a w -1,1都成立，求t的取值范围解析：不等式中有三个变元，通过逐步消元法处理。首先选定主元 x,f (x)在-1,1递增 *(* f(x) < t2-2at+1a三-1,1恒成立 u t2-2at+1 之 f (x)max： x = -1,1即t2-2at+1 至 1, a 三-1,1 上恒成立 u t2-2at 至 01 .不等式m2f(x)在区间D上恒成立二 m > f(x)

5、 max,x亡D或f(x)的上确界(若f(x)在x亡D的值域为a,b,则a称为f(x)的上确界，b称为f(x)的下确界)2 .不等式mw f(x)在区间D±恒成立 = m< f(x) min,x亡D或f(x)的下确界注释：1.不等式m之f(x)在区间D±有解u m > f(x) min,x亡D 或f(x)的下确界2.不等式mw f(x)在区间D上有解u m < f(x) max,x w D 或f(x)的上确界那么，如何求函数g(x)在区间D上的最大值(上确界)或最小值 (下确界)呢？通常可以采取利用函数的单调性，图象，二次函数在 区间上的最值，判别式法，三

6、角函数的有解性，均值定理，函数求导 例1:若函数f(x)=(x+1)ln(x+1),对所有的x >。都有f(x)之ax成立, 求实数a的取值范围解析：由f(x)=(x+1)ln(x+1) 一 ax,对所有的x 一。恒成立可得：(1) 当x=0时,a亡R(x+1)ln(x+1)(x+1)ln(x+1)(2) 当x>0时,a < v，设g(x)=-xx则问题转化为求该函数在开区间(0,“)的最小值(下确界)，又g? (x) =x-ln'x：,要想求由g? (x) = 0困难重重，可换元令x1h(x)=x-ln(x+1),. h'(x)=1- , x > 0,

7、故h'(x) > 0,则函数 h(x)x 1在(0, +与 为增函数，即h(x) > h(0)=0 ,从而g'(x) > 0,则函数g(x)在(0, +-)也为增函数，故g(x)无最小值.此时，由于g(0)无意义，g(x)(x+1)ln(x+1)x的下确界一时也难确定，但运用极限的知识可得g(x)>limg(x)，然而求此极 限又超生了所学范围，事实上采用洛比达法则可得limg(x)=limln(x+1) + 1 = 1,故x > 0时,g(x) > 1,因而a « 1。综合(1) (2)知a的取值范围为(-00 ,1-1,1恒成立

8、，即g(a)=-2at+tg(-1) - 0 g- 0- 0,-1,1-2t+t 2 一-2t+t 2 .恒成立00=t ( -二，2 U 0： U2,二)例2：若函数f(x)= Ja2 - 1)x2 + (a - 1)x + 2的定义域为 R, a 1求实数a的取值范围.2解析：该题就转化为被开万数(a2 - 1)x2 + (a - 1)x + a 1一 0在R±恒成立，注意对二次系数的讨论。解：依题意，当x R寸，。2 一 ,、(a2 - 1)x2 (a - 1)x 0恒成立，a 1a2 - 1 = 0T当a2 - 1 = 0时，即当时=a=1,此时a 1 = 0cc2(a2 -

9、 1)x2 (a - 1)xa2。当 a2a2一 1=0B寸，即当a>1- 1 <0a=1成立a21=1 a- 10a 90综上可得，f (x)的定义域为R寸,a1,9方法三：直接根据函数图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画由等式 或不等式两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得由结果例：设x w (0,4,若不等式 Jx(4 x) >ax 恒成立，求a的取值范围 解析：若设y1=Jx(4 一 x)则其图象为上半圆,设y 2=ax为过原点且斜 率为a的直线.在同一坐 标系中作出函数图象,如下右依题意,半圆恒在直线上时，只有a<0,即其取值范围为 a&

10、lt;0三.在恒成立问题中,主要是求函数的取值范围问题，其处理方法有以下几种1, 换元处理法例：对于所有实数x,不等式22, 4( a 1) ci2a,(a 1)x log 2 + 2xlog 2 + log 2 2 > 0恒成立,求 aaa 14a2的取值范围.2a2a解析：因为log 2 的值随a的变化而变化,t=log 2 -2a-,则a 1a 1上述问题实质是当 t取何值时，不等式(3-t)x2 +2tx-2t>0 恒成立它等价于，求解关于t的不等式组3一,° = t <0,0即 log 22a2选定主元法例:对满足不等式炉<23疹的一切实数a,不等式

11、(a-3)x<4a-2 都成立,求实数的取值范围.解析:按常规理解要解以x为主元,为a常数的一元一次不等式但比较烦琐,若选a为主变元则可利用函数的性质解由x的取值范围.由炉<2出5#:0<a<5设f(a)=(x-4)a-(3x-2),则由题意知，对任意的aw (0,5),都有f(a)<0恒成立,由一次函数的性质得f(0) ' 0f(5) < 0一、，i 2解之得 从而可知:a>- (n-1), < x < 933 .构造法ix2x3x(n - i)xnxa f例：设f(x)=lg 123I"(n1nf其中a为实数n为n任意

12、给定白自然数且n至2,若x亡(-0°,1时有意义，求a的取值范围.解析:本题即为对于x总(fl,1 x2x3x| (n - 1)"nxa0叵成立先变量分离得对a>-( 1 )x+( 2 )x+| +(上)x, (n之2) n nn对于x亡(-巴1恒成立1 、.2 、. n - 1 、.构造函数g(x)=-( )x+( )x+|l| +()x, (n . 2)n nn则问题转化为求该函数次-0°,1上的值域由于函数k vu(x)=-( 一)( k = 1,2| n - 1),x 乏(-0°,1上是单倜递增的， n1则g(x)在-巴1为单倜递增函数于是g(x)的取大值为g(1)=- -(n-1), 24.分类讨论若函数f(x)=Jkx 2 6kx + (k + 8)的定义域为取值范围是()由题意kx2 6kx +(k + 8)之0恒成立R,则的.若，符合题意若，kx 2 - 6kx + (k + 8)之