第23课平面向量的数量积和平面向量的应用(提分宝典)

1、第23课 平面向量的数量积和平面向量的应用普查讲23 1平面向量的数量积1.平面向量的数量积及其运算律a.向量数量积相关概念、性质和运算律的辨析（2021改编，5分）给出下列说法：向量b在向量a方向上的投影是向量.若a b>0 ,则a和b的夹角为锐角；若 a b<0 ,则a和b的夹角为钝角若a, b共线，则ab=|a|b|.（a b） 七 a b c）.若 ab=0,则 a=0或 b=0;若 a ,£.故选B. 8(基底法)设BA=a, BC=b,二点D, E分别是边AB, BC的中点，DE=|aC=1(BC-1P13f 3 BA) = (ba).又; DE =2EF,

2、. DF =DE =(ba),=b2,则 a = b或a = b.在 ABC中，若晶bC<0,则 ABC为钝角三角形.其中说法错误的是.（填序号）答案：解析：错误：因为向量 b在向量a方向上的投影是|b|cos。，其中。为向量a与b的夹 角，所以向量b在向量a方向上的投影是数量.错误：若 a b>0,则a和b的夹角为锐角 或零度角；若a b<0,则a和b的夹角为钝角或平角. 错误：若a, b共线，则a b= 1a|b|. 错误：设向量a,b和b,c的夹角分别为 % 3,则向量（a b） 表示模为| （a b）|（= |a|b|c|cosa|,且与向量c共线的向量，而向量 a（

3、b c）表示模为|a-（b c） |= |a|b|c11cosq，且与向量a共线 的向量，所以（ab）c和a也c）不一定相等.错误：若ab=0,则当a, b都是非零向量时， 有ab;当a, b不都是非零向量时，有a= 0或b= 0;若a2=b2,即|a|2=|b|2,则|a| = |b|,方向无法确定.错误：在4ABC 中，若 AB BC<0,则|ab|bc|cos(市B）<0,所以cos(向.一.TT .、， , .一 一,B）<0,即cosB>0,又因为0VB<兀，所以0<B<，无法判断 ABC为钝角二角形.b.求向量的数量积的 3种常规方法(2)

4、(2016天津，5分)已知 ABC是边长为1的等边三角形，点 D, E分别是边AB, BC的中点，连接 DE并延长到点F,使得DE = 2EF,则AF BC的值为()51111A.-8%C.4D.万答案：B解析：(定义法)AF bC=(AD + dF) Bc= Ad BC+dF Bc,又 Ad bc =|ad|bc| 1.11313 w 1 3cos120 =2x 1x 2=4，DF BC= |DF |bc| cos60=4><1><2=8，,AFBC=-4 + 8 =AF = AD + DF = - 1a +(b-a) = - ？a+?b,AF BC= -、a + b

5、 b = - -a b+b2 =24444444-jX 1 x 1 x cos60 +x 12= 故选 B. 448 4 8(坐标法)以E为坐标原点，bC方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，易得 E(0,0), B 一/ 0 , C 2, 0 , A 0,当,D 乎. DE = 2EF, /. F 1,一当, - AF= 1 -芈，吃=(1, 0), 88，AF Bc= 1, 53 . C 10) = 11.故选 B. 888c.向量数量积几何意义的巧妙应用(3)(2019贵州模拟，5分)如图23-4,在直角梯形 ABCD中，AB = 4, CD = 2, AB / CD ,AB±

6、; AD, E 是 BC 的中点，则 AB AC+AE)=()图 234A.8B.12C.16D.20答案：D解析：过点C作CFAB于点F,过点E作£6，人8于点6,则AF = CD = 2. E是BC的中点，易得BG=BE = 1, BF BC 211 BG = 2BF=2(AB-AF) = 1,. AG = AB-BG = 3.由数量积的几何意义可得 Abac的值为|AB|与ac在AB上投影的乘积.又AC在AB上的投影为 AF=2,AB Ac=4X2 = 8.同理 Ab a! = 4X3=12,一 7 7 一 一 一.A B A C+A E)=A B A C+A Ba E=8+

7、12 = 20.故选D.d.公式(a =tb)2 = a2 ±a b+ b2 的应用提分军费金考点普查一轮救最-匏II#用书，内部蜜14 -请如夕(4)(经典题，5分)设向量a, b满足|a+b|= <10, |ab|=a，则ab=()A.1答案：AB.2C.3D.50 提分宝羲全考点普查一轮救蠡教师用书内部密科请勿外传解析：|a+b| = 10, |a-b| =乖，a2+2a b+b2= 10,a2 2a b+ b2=6,一 得a b=1.故选A.2.利用向量的数量积运算将向量等式数量化 a.直接平方法和移项平方法（2018宿州模拟，5分）已知 ABC的外接圆半径为1,圆心为

8、点 O,且3OA + 4（OB +5OC=0,则4ABC的面积为（8 a.5答案：C6C.54D%解析：根据题意可得 |OA|= |OB卜 |OC|=1.由 3OA+4OB+5OC=0,得 3OA+4OB = - 5(50,两边平方，得 9+24OA OB+16=25, . OA OB=0,OAlOB.同理，3OA+5(5c=- 4(5b, 4Ob+5(5c = - 3(5A,两边分别平方，得 9 + 30 OA OC + 25 = 16 , 16 + 40 OB OC + 25 = 9 ,cos/ AOC = - - , cos/ BOC =54,，_，435.< 0</ AOC

9、< & 0</ BOC< 兀，'sin / A0C=5, s1n / boc = 5,abc= Saaob+ Saaoc+ S®c= ；X1X i + LxixixLxixix*6.故选 C. 225 25 5b.向量等式两边与同一向量作点乘（6）（2017江苏，5分）如图23 6,在同一个平面内，向量OA, Ob, OC的模分别为1,1,亚，oA与OC的夹角为 %且tan“= 7, OB与OC的夹角为45°若OC=mOA+nOB(m, nC R),则 m+ n =图 23-6答案：37,22解析：(法一)tana= 7, sin a= 1

10、。, cosa= 10.在6C = m5A+n6B两边同乘向量 OC,得 OC2= mOA 5C+nOB 5C,|oC|2=m|网园cos a+ n 同I向 cos45 ；即2=1m+n 在 6C = m(5A+ n6B 两边 5同乘向量5B,得5B 50 = m5A 5B + n5B2,|(5B|6c|cos45 = m|5A|(5B|cos( a+ 45°+n|6B|2,即 1 = mcos( a+ 45° > n. cos( a+45 ° 今 cos ocos45 sin osin45 =35, . 1 = 3m+ n.51-m + n= 2,5联立，

11、得35m + n= 1解得5m=4，m+ n= 3.7n=4'（法二）如图，建立平面直角坐标系，可得A(1, 0), 5A=(1, 0). . 5A与5C的夹角为口7/22. qa,且 tan a= 7,sin a= O-，cos a=右，点1的横坐标为 |oc| cosA5C= |oc| cos= 57 一 1 7纵坐标为 |50| sina60=|(5c| - sin=5，即 C 5, 5 ,:：提分宝典 ' 全考点普查一轮救案教师用书,内部资料-清匆9牌- 5C= 1 .5C 5,. cos/ A5B = cos( a+ 45羊 cos ocos45 ° sin

12、 «sin453，"A。*，-B -5 ，.-5B =5C = m5A+ n5B)1=m 3n,557 4 5=5n, - m + n= 3.5 m=4, 解得7 n=4'.、 .一一,兀（法三）过点C作CD/5B ,交5A的延长线于点 D,如图所本.OB/CD, /B5C = 4,兀a+4 . Z OCD / tana=7, .sina=', cosa=-, . sinZ CDO = sin(e aj)=sin7t, .兀 4 /,口 OCOD CD 0ri x/ 2 OD$访比0$7+8$08口7=£.在4(2口中，由正弦je理得 n/=/ c

13、cc =即方-=下"44 5sin Z CDO sinZ OCD sin a 4 Jg52= C,解得 OD = , CD = OD = -OA, DC = oB, '1- OC= OD+ DC = mOA+ nOB =-OA7724444410+ 钵，57n = -, m + n= 3.3 .平面向量数量积的应用a.平面向量的垂直问题(7)(2021 汇编，10 分)已知向量 a=( 4, 3), b=(6,m),且 a，b,贝Um=.(2019 北京)1已知非零向量 m, n满足4|m|= 3|n|, cos <m , n> =.若n±(tm+ n)

14、,则实数t的值为 o()(2016 山东)99A.4B.4C.1D.一44答案：8B解析：由向量 a=(-4, 3), b=(6, m), a± b,知 a b=-4X6+3m=0,解得 m=8.由 4|m|= 3|n|,可设 |m|=3k, |n|= 4k(k>0).n ± (tm + n), n t(n+ n)= n tm+ n n= t|m|n|cos < m , n > + |n|2= t R K q + (4k)2 = o4tk2+16k2=0,解得 t = 4.故选 B.b.平面向量模的相关问题(8)(2021 汇编，10分)已知向量 a=(2

15、, 1), a b= 10, |a+b|= 5亚，则 |b| =.已知向量 a, b的夹角为60°, |a|=2, |b|=1,则|a+2bl=.(2017全国I )答案：52小2解析：a=(2, 1),|a|=22+ 1 =V5. / |a+ b|= 572, a b=10, /.|a+b| =a2+2a b2+ b2=5+20+ |b| =50,解得 |b| = 5.(定义法)一|a+2川2=代+2b)2=a?+4a b+4b2,且向量 a, b 的夹角为 60 , |a|=2, |b| =1 ,|a+2b|2=4 + 4X 2X 1 x cos60 +4= 12,|a+2b|=

16、2>/3.（几何法）设 6A=a, OB= b, OC = 2b,如图所示，则 a+2b = OA + OC= OD, .|a+2b| =易得 |6A|=2, |AD|=2, /A6D = 30。, |（6d|=2X2cqs30o = 273,，|a+2b|=2配长提分军费金考点普查一轮教里教师用书，内部密14 -请勿外帽c.平面向量的夹角问题（9）（2021汇编，10分）已知非零向量 a, b满足|a|=2|b|,且（a b），b,则a与b的夹角 为（）（2019全国I ）A 兀 A-6已知 全国m ）c 兀B.3a, b为单位向量，且a 作 0,若 c= 2a >/5b,贝U

17、cqsa, c>.（2019，_2答案：B23解析：因为（ab）,b,所以（ab） b= a bb2=0,所以a b= b2.设a与b的夹角为A,即a与b的夹角为3.故选B.小、a b |b|214二、【O（0w 陛兀）则 cos 9=而b| = 2|b|2=2'所以因为 c=2a 45b, ab=0, a, b 为单位向量，所以 a c= 2a2->/5ab=2, |c|2=4a2- 4加ab+5b2=9,所以 |c|= 3,所以 cqsa, c> =普=777； = |.'|a|C| 1 x 3 34 .利用极化恒等式巧求向量的数量积（10）（2016江苏

18、，5分）如图239,在 ABC中，D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点，BAcA=4, BFcF = 1,则BEcE的值是图 23-9解析：(基底法)根据题意，易得BA cA=(Bb+5A)<Cd + i5a)= 1BCAD gBC AD2 1|21111=|AD|2-4阿|2=4, BFCF=(BD + DF) CP + DF)= BC-3AD .一产-3AD =9,-4|bC|2=t 府745, 4|2=13.京 CE.BD+DE) .QD+DEx2_1 一 2 一 1一 2 4. > . 1. > .2 7产-3AD 一产-3AD =9|ad| -4|bc|

19、=8(极化恒等式法)根据题意,易得bACA=aB/=|阿2_力时=9|而|20网2=4,BF CF=FB FC=|fd |2-4|bQ|2=_ 1 |fd|2=|, |bc|2="2- - BE 廉=晶 EC= |ED|2-1|Bc|2 = 4|FD|2-4|Bc|24-随堂普查练23 I1.(2021 改编，5 分)已知 a=(2, 2), b=(-1, 3),贝 U (2a+3b) a=()A.8B.4C.-8D.-4答案：C解析：(法一).(2a+3b) a=2a2+3a b,且 a=(2, 2), b=(-1, 3), .a2=8, a b = -8.(2a+3b) a=-

20、8.故选 C.(法二). a=(2, 2), b=(-1, 3), 2a+3b= (1, 5). . (2a+3b) a= (1, 5)(22)=8.故选C.2.（经典题,5分）已知点A（-11), B(1, 2), C(-2, 1), D(3, 4),则向量 AB在CD方向上的投影为（A 3-2AA.2答案：AB山B. 23 15丁解析：-.A（-11), B(1, 2),C(-2, 1), D(3, 4), .-.AB = (2, 1), CD=(5, 5),匕提分军费金考点普查一轮救里教师用书，内部蜜14 -请如夕向量AB在CD方向上的投影为AB-CD =2*!5=乎.故选a.|cD|卡

21、522一、,4,c三一 一一 一3.(2017 天津，5 分)在 4ABC 中，/A=60, AB=3, AC = 2.若 BD = 2DC , AE=入 AO AB（入e R）,且AD AE = -4,则入的值为答案:311-一，一 一 一 一一 一一 一 1解析： BD = AD-AB, DC = AC - AD , BD = 2DC, . AD AB= 2（ACAD）, .1. AD=- 3- 2>> >12 2 2 7" 7-> 入-2 17s> 2 入9/ oAB+3AC, . AD AE= 3AB+3AC （入 AG AB） = -AB AC

22、-AB2 + yAC2, '.'Z A= 60 , AB=3, AC=2, . AB AC=3X 2Xcos60°= 3, Ab2=9, A&2=4,，防壶=口入一5=4,解 33付入=行4 .(2019 天津，5 分)在四边形 ABCD 中，AD/BC, AB= 273, AD=5, Z DAB =30°, 点E在线段CB的延长线上，且 AE=BE,则bD AE =.答案：1解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2<3,0), D(5cos30 ,° 5sin30 °=)少23, 5

23、,所以 BD =*，5 .由AD/BC,点E在线段 CB的延长线上，且AE = BE,得/ BAE=/ABE=/ DAB = 30°, 则 E(5,1),所以 EBD AE=当,| 监,-1) = '3-|=- 1.D.35 .(2018天津，5分)如图2310所示，在平面四边形 ABCD中，AB, BC, AD，CD , /BAD= 120°, AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，则 AE bE的最小值为()21A. 16答案：A解析：（法一）因为 ABBC, AD ± CD , Z BAD =120°, AB=AD=1, Al=AD +

24、Dl, BE =AE - AB = AD + DE - AB,所以 AE BE= (AD+ DE) AD + DE AB) = |AD|2+ AD DE AD AB+ DE AD + |DE|2 1DE AB= 1 + 0- |Ad| |Ab|cos120 *0+ |DE|2-DE AB= 1 + 0+1 X 1 X 尹 0+|DE |2- DE AB = 2+|DE|2-De AB.因为 DE LAD, / DAB = 120°,所以DE与AB的夹角为30°,p 一 3RDE|+2。Q所以 AE bE=2+|DE|2DE AB=2+ |DE|2 |DE| |AB|cos3

25、0 = |dE|2一根据二次函数的性质，可知当|51|=时，Ae展有最小值，最小值为21入 , 气.答案选A. £提分宝典金考点普查一轮救案教师用书内部蜜鞫-第匆夕牌（法二）如图，连接CA.因为 ABXBC, AD LCD, AB = AD,所以 CABA CAD.因为/ BAD =120°,所以/ DCB = 60°,所以/ ACD=30° .又因为 AD LCD, AD=1,所以 CD = 43.以D为坐标原点，DA, DC分别为x轴，y轴建立坐标系，则 D(0, 0), A(1 , 0).因为/ BAD =120°,所以B 2,坐.设 E

26、(0, t), 0wtw 弧则AE = (1 , t), BE= -2, t当，匕L r、13,33 "J3 3所以 AE BE = 2+t t- =t2 一争+ 2，所以当t=¥时，AE BE有最小值，最小值为16.6 .(2018 北京，5分)设向量 a=(1, 0), b=(-1, m).若 a，(ma b),则 m=.答案：1解析：a=(1, 0), b=(1, m),则 mab=(m+1, m).由 a，(mab)可得 a ma b)=0,则 1 x (m+1)+0x (m)=0,解得 m=- 1.7 .(2019浙江，6分)已知正方形 ABCD的边长为1,当每个

27、 始=1, 2, 3, 4, 5, 6)取遍±1时，|?1AB+尬BC+为CD+ %DA+*AC+为BD|的最小值是 ,最大值是 .答案：0 2 5解析：因为四边形ABCD为正方形，所以 AB+AD = AC, Bd = ;aD-Ab, ab Ad = 0,一一一 一一一一 一 一一一一 三所以为AB+；2BC+ 为CD+加DA+尢AC+；6BD=4AB+ 万AD为AB>AD+AB + AD）+ ?6（aD AB）=（为一为十 代一乃AB+ （加一加+ 为+ ）AD.又正方形ABCD的边长为1,所以要使i?iAb+ 症C+为CD+加DA+尢AC+ ；feBD|最小，只需要 为一

28、九十上一飞=万一%-一r一一 7-Y -+ 为+ ?6= 0,可取 入 1=1, ？2=1,用=1）丸=1）用=1）沦=1,此时 | 川AB + ?sBC+ 加CD +%DA+ 为AC+ ?6BD |min = 0.易知 |%AB+ 加BC+ 为CD+ %DA+ 为AC+ BD |2 = |（九一为十 后一？6）AB+（?2 R+ 后 +?6）AD=（4一为+?5一？6）2+（?2%+?5+?6）（?1 一为）+（?5 启）之十 （加 一）+（*+?6） .由"i=1, 2, 3, 4, 5, 6）只能取 ±1 得为一为=2, 0 或一2.当 左一K=2 时，片+ 为=0,

29、 | XAB+ 加BC+ 为CD+ 瓦DA+ %AC+ 为BD|2=（4 为）+22+ （加一 %）2,要使该式取得最大值，则 加一为=2,尬一 %= ±Z此时最大值为20;当为=0时，用+为=±Z及aB+4bC+右cD+加dA+相aC+为bD|2=（4劝2+（加均 ± 2要使该式取得最大值，则 为一2=±2,注一入4=后+ ?6= ±2,此时最大值为 20;、一一一,f 一 f一 f一 f _ f_ f C 一C当25-后=2时，后+后=0, |XAB+ 尬BC+?3CD+MDA+ 用AC+?6BD|2=（加一湖一22+ （不一 %）2,要使

30、该式取得最大值，则为一2=2,及一R=±2,此时最大值为20.综上，| 为aB+ 加bC+ 为cD+ 加dA+ 为aC+ ；6BD|max=V20=2V5.8 .（2017山东，5分）已知e1, e2是互相垂直的单位向量，若 J3e1一e2与e1+丘的夹角为60。，则实数 入的值是.卜氏心 3答案：二 3解析：氏是互相垂直的单位向量，|e1|=|e2|=1, e1 e2= 0,，（V3e1一 e2） e+汜2）=3e1+ （3 入-1）e1 e2 遥=3 X, |/3e1 一 e2| = （3e1 e2），3e1 2j3e1 e2 + e2 = 2,|e1+ 同=7(ei+ /)2

31、=，e2+ 2 制 e2+ 猿e2 =5+ 於一e2与 ei+ Q2的夹角为 60°, Gj3ei - 02) e(+ 阖=|/3e1 回回+ ?e21cos60 二 4不"?,y/3 X= <1+6,解得入=岑.9 .(经典题，5分)平面向量a=(1, 2), b=(4, 2), c=ma+b(mCR),且c与a的夹角等 于c与b的夹角，则m=()A. - 2答案：DB. 1C.1D.2解析：（定义法）c与a的夹角等于c与b的夹角,c a c b,即面=而(12),长提分军费金考点普查一轮救最-匏附用书，内部密14 -请如夕H专2m+ 2). .同=寸12+22 =

32、© |b| = "42 + 22 = 275,5m+8 8m+ 20b=(4, 2), c= ma+b,c= (m+4 c a= (m+4,2m+2) 2)=5m+8,c b=(m+ 4,2m+2) 屋)=8m+20, 率 = ?乖解得m= 2.故选D.（几何法）设6A=a, OB=b, OC=c,其中O为坐标原点，如图所示.; Bc=6c-ob = c-b=ma=mOA(m>0),OA/ BC,/ BCO = / AOC.又c 与 a 的夹角等于 c与 b 的夹角, ./AOC = /BOC, ./ BOC = /BCO, BO= BC,即 |Ob|= |Bc|,|

33、OB| = |mOA卜m|OA|，.W2+ 22 =m，12 + 22,解得 m=2.故选 D.10 .(经典题，5分)在正 ABC中，D是BC上的点，AB=3, BD = 1,则AB AD =答案：1f解析：(基底法),AS = AB+BD,AB aD = AB AB + BD)=AB AB+AB BD= |aB|2+AB BD. AB = 3, BD=1, Z ABD =60° , .AB Bd = 3X 1Xcos(180。 60° >-1 .AB Ad=|Ab|2+Ab 晶=9 3= 15.（坐标法）以BC的中点O为坐标原点,向量BC的方向为正方向，建立平面直

34、角坐标系,如图所示.曰/日八 3 3c 3易得 A 0,，一，B 2，.AB= 33 , AD2，2AB AD= -2,呼.一 3八1八,c 2, 0 , d 2，0 ,-1 2，2 ，1 _ 33 =152 , 2 云 I 一1一 （极化恒等式法）设8口1 15E,则AB AD=|ae|2一_4|BD|2 过点 A 作 AOLBC 于 O,则|AE|2=|AO|2+|OE|2=32 |2 + 12=31, Abad=|aE|2-；|bD|2=31-普查讲23 n平面向量的应用5.平面向量在几何问题中的应用a.利用向量的运算解决线段的长度问题一一一4,一，一一，c一,，一（11）（经典题，5分

35、）在平行四边形 ABCD中，AD = 1,/BAD = 60 ,E为CD的中点.若AC BE =1,则AB的长为.,1答案：2解析：（基底法）根据题意，易得 AC=AB+AD, Be=Bc + Ce=-2Ab + >ad, .-.AcebI = （AB + AD） -2AB+Ab =-2aB. 1 =4二.AB的长为.+2aBaD + aDi2=-21AB|2+T1AB11ABi cosbad + |ad|2 =-1|同2+2|同360,1=2|研+4|阿+1=1,即 |ab| |ab|-2 =0,解得画卜 10（舍去）或 |a b|=2,，一，1 AB的长为工（坐标法）以a为坐标原点，

36、AD的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图所示.设AB=2a,则 A(0, 0), B(a, V3a), C(1 + a, V3a), D(1, 0), E 1+|,当a , . ->AC=(1 + a,7e-B?a3.AC BE=(1 + a,加a)a- 2a- 2-1乎a = 1,解得a= 0（舍去）或a 提分宝蓑-至考点普查一轮救案教师用书内部蜜科-濡匆夕牌b.利用向量的运算判断三角形和四边形的形状(12)(经典题，7 分)在 ABC 中，AB= c, BC= a, CA = b，且 a b= b c=c a,试判断 ABC 的形状.答案：等边三角形解：由题意易得a, b,

37、 c均为非零向量a b= b c,，b (a c)= 0.(1分)又= a+b+c =0, - b = (a + c), (a+ c) a( c)= 0, 1- a2 c2= 0,即 |a|2 |c|2= 0, . . |a|= |c|.(5 分) 同理可得|a|=|b|, . . |a|=|b|=|c|, . ABC是等边三角形.(7分)变式思考：在四边形 ABCD 中，Ab= a, BC=b, CD=c, DA=d,且 a b= b c= c d = d a,试判断四边形ABCD的形状.答案：矩形解：a b= b c, c d= d a, b s(- c)=0, (a- c)d=0.由题意

38、易得 b, d, (ac)均为非 零向量，(a c)，b, (a c)±d, b/ d,即 BC/AD.同理可得 all c,即 AB/CD, 四边 形 ABCD 是平行四边形.又 (a-c)±b, all c, .-.a±b, c±b,即/ ABC= / BCD = 90°, 四边形ABCD是矩形.c.利用向量的运算研究三角形的四心问题(13)(2021改编，5分)已知点O, N, P, M在 ABC所在平面内，且16A| = |向=|oC|, na+ Nb+Nc = 0, fa )bPb cpc :1, |Bc|Ma+|Ac|iMb + |

39、Ab|Mc = 0,则点 o, n, P, M依次是 ABC的()A.重心、外心、垂心、内心B.重心、外心、内心、垂心C.外心、重心、垂心、内心D.外心、重心、内心、垂心答案：C解析：|oA|= |OB|= |oC|,即点o到 ABC三个顶点的距离相等，.点O是4ABC的夕卜心.设 AB, AC, BC 的中点分别为 D, E, F, / NA+NB + Nc= 0,INC= - (INA+NB)=2ND, . CN=(cD.同理可得 尿=3第，尿=3晶，点N为三条中线 CD, AF, BE的 交点，即点 n是 abc的重心. PApb=Pb PC,，PB ra-PC) = 0,.-.Pb C

40、a= 0, - pbica. 同理可得PAXBC, PCAB, 点P是 ABC的垂心.设与向量AB, AC方向相同的单位向 量分别为 ei, e2, |BC|=a, |AC|=b, |Ab|= c,则 aF/IA+bMIB+cMC = alMA+b(IMA + Ab) +3,力 ,、.Y .f bcc(MA + AC)=(a+b+c)MA+bAB+cAC=(a+ b+c)MA+bce+bce2= 0, = AM = a + b+c& + 一c.-e2= -c(ei+e2),，AM与ei+e2共线. ei与e2分别是与Ab, AC方向相同的单 a+b+c a+b+c位向量，ei + e2

41、与/ BAC的平分线的方向向量共线，点 M在/ BAC的平分线上.同理可 得，点M在/ ABC的平分线上，点M在/ ACB的平分线上，点M是4 ABC的三条角平分 线的交点，即内心.故选 C.d.利用向量的运算解决几何图形的面积问题(i4)(20i9浙江西湖区校级模拟，i4分)在4ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b,一一.A A ,A A"/2_c,已知向量 m= sin2, cos , n = (cos, - cos2),且 2mn+|m|=, AB AC = i.(I )求角A的大小；(n )求4 ABC的面积.答案：(I垮5)呼解：（I ）二.向量m =A si

42、”,Acos2,且2m，An = （cos,n+|m|等,A A c2A -2Zsin,cos2 2cos22 + 1 =,sinA- cosA=¥，. . sin Aj =2.（5 分）,0<a< 4<a4<学555 Tt 八 A 1=6， A，.（7 分）（n ） . AB AC = 1 ,，之 一1 一一一一 11|AB|AC|cosA= 1 , 庄ABc = 2|AB|AC|sinA= |AB|AC|cosA 'tanA = 2tanA.（10 分）“5兀 .“.5兀. 兀，兀 a=, .tanA=tan-=tan 4+6 =,兀， 兀tan4

43、+tan6. 兀1 tan- 431- 1X 3=2+y3,匕提分军费金考点普查一轮救里教师用书，内部密鞫-请如夕c 12+73八 Saabc= 2tanA= 12-（14 分）（15）（经典题，7 分）在四边形 ABCD 中，AB = DC=（1, 1）, -BA + Bc = -3-BD, |bA|bC|bD|则四边形ABCD的面积为多少？答案：3解：.->ab=5C = （1 , 1）, 四边形ABCD是平行四边形.1 一 1 一 y3 BA+BC=lBD,|bA|bC|b5|17 I 1 飞BA+BC =|bA|bC|3 一y/3 一 八BA+3一BC, （2 分）|b5|b5|

44、1.3 一 ± 3CAI-|bA| |b5| ba|bc| |b5|（3分），00,且4。, |ba| |bd|bc| |bd|BA|= |BC|, |叫=3|bA|,四边形ABCD是菱形.Ab|2+Iad2 |BD|2i.COsA= -2|AB| |AD| =2' (5 4)sinA= 2,S 四边形 abcd = ；x (#)2 x sinA x 2 = *3.(7 分)e.利用向量的运算解决解析几何的问题一y2 x2(16)(2019湖南雁峰区校级月考，12分)如图2315,曲线C由上半椭圆Ci:上+ = 1(a>b>0, y>0)和部分抛物线 C2：

45、 y= x2+1(yW0)连接而成，C1，C2的公共点为 A, B,其 ，一 .、3中C1的离心率为.图 2315(I )求a, b的值；(II)过点B的直线l与C1, C2分别交于点P, Q(均异于点A, B),若/ FAQ为钝角，求 直线l的斜率的取值范围.答案：(I )a=2, b=1(n) 8, 一 83解：(I )由题图及上半椭圆y2 C%2+x2X2= 1(a>b>0 ,y> 0)和部分抛物线C2：y=-x2+1(y<0)的公共点为 A, B,知A, B两点在x轴上，A(-b, 0), B(b, 0).将B(b, 0)代入抛物线方程，得b2+1 = 0,.

46、.b=1 或 b= 1(舍去).设C1的半焦距为c,由e=c=乎及a2c2= b2= 1,解得a= 2.(3分) a 22(阴由(I )知，上半椭圆C1的方程为+x2=1(y>0), B(1, 0).易知直线l与x轴既不重合也不垂直，故可设其方程为 y= k(x1)(kw 0).将其代入C1的方程中，整理得(4+k2)x2-2k2x+ k24=0,2 k2由韦达7E理得 xb + xP = 4 + k2.(6分)k2- 4k2+4'8k4+k2 .一 一. k2 4 . .Rk .又B(1，0),所以即:百，从而yp=k(xp-1)= 一即点p的坐标为同理，得点 Q的坐标为(一1

47、 k, 2k k2). (8分) 由(I )知点A的坐标为(一1, 0),ll,、,2k28k>所以 AP=证，而，AQ=(k，-2k-k2)-由/ PAQ为钝角可得 降/<0,且靠与AQ不共线，即 启记，石Rfk，-2k- k2）<0 , 口 8k ,22k22k2 ,8k2- 2 ,且一4 （k） w（ 2kk2） 42,所以不 Yk）+ -472 +2kk2）<0,且 k2 + 2k+ "0,即3k+ 8<0,且k2+2k+”0,解得k<-8,所以直线l的斜率的取值范围是（巴3-8）. （12 分）随堂普查练23 n1 .（经典题，7分）如图

48、23 17,在平行四边形 ABCD中，已知 AD=1, AB=2,对角线 BD = 2,求对角线AC的长.图 23-17答案：,6解：（基底法）设Ab=a,A6=b,则BD = AbA6 = ab,AC = Afe+AS = a + b.（2 分）. |AD| =|a|= 1, |Ab|= lbl= 2, |BD |= |a-b|=2, |bd|= |a- b| = ：a2- 2a b+ b2 =4卜|2- 2a b+ |b|2 =，5 - 2a b =2, - a b = .（5 分）. |AC| = |a+ b| =，a2+ 2a b+ b2 =4、?+ 2a b+ |b|2 = 5+2X

49、1 = 76.（7 分）（极化恒等式法）aD aB=4（aB + AB）2_（aD_AB）2=4（aC2_bD2）=4（|aC|2_|bd|2）, （2 分）又AD AB=2（/AD+>AB）2-Ab2-AB2=2（AC2-Ab2-AB2）=1（|yAC|2- |ad|2- |Ab|2）, （4） 4（|aC|2-|bd|2）=1（|aC|2-|ad|2-|ab|2）,|ac|2=2|ad|2+2|aB|2-|bd|2=6,|aC卜乖.（7 分）2 .（2018 四川模拟，5 分）在 4ABC 中，若 AB2=AB AC+BA BC+CA CB,则 ABC 是（）A.直角三角形B.锐角三

50、角形C.钝角三角形D.等边三角形答案：A解析：由AB2=AB Ac+Babc+Ca CB,得AB AC AB2+ BA BC+CA CB=AB ACAB）+ BC BA+Afe） = BCAB+BCBC = BCAC=0,，ac，bc, .abc 是直角三角形.故选A.3.(2019吉林期末，5分)已知A, B, C是平面上不共线的三点， O为八ABC所在平面内 一点，D是AB的中点，动点 P满足OP=3(22?)OD + (1+2»OC( K R),则点P的轨迹一 定过 ABC的.(填内心、外口、垂心或重心 )答案：重心 r 1 r 一 、4 1 1> 17 >11解析

51、：.动点 P 满足OP = §(2 2?)OD + (1+2 4OC(入C R),且3(2 2 2) + 3。+ 24=1, .P, C, D三点共线.又 D是AB的中点，CD为 ABC的AB边上的中线，点 P的轨 迹一定过 ABC的重心.4.(经典题，5分)已知O是 ABC内部一点, 60°,则 OBC的面积为()AiB.2C.当322答案：A解析：1. Oa+ Ob+Oc = 0,Oa+ Ob=-Oa+Ob + Oc = 0, Ab Uac2,且/ bac =2OC, O为 ABC的重心， OBC的面长提分军费金考点普查一轮教案教师用书，内部密科-请如夕H专|aB|aC

52、|=4,S一一、，_ _一一 ，- 1,_cl I I I_积为 ABC 面积的 3.AB AC =2, Z BAC = 60 ,|ab|AC|cos60 =2,aabc= 2|Ab|Ac| ' sin BAC = 2*4X =3, . Saobc =半.故选 A.5.（2018济南模拟，7分）已知点D为 ABC中AC边的中点，且/ A= 60 °, BC = 2, BD BC=3,求 ABC的面积.答案：3._ 、 - r 1 1 1解：,点 D 为 AC 边的中点，.BD = 2（BA+BC）, . .BD BC = 2（BA+BC） bcbabc + 2Bc2=2e3A

53、 BC+2=3,BA BC= 2.（2 分） Ba Bc= |bA|bC|cosC abc=2|bA|cos/abc,|Ba|cosZ ABC=1,即向量BA在BC方向上的投影为 1.过点A作AEBC于E,则BE =1.（4 分）又BC=2, .点E为BC的中点，.ABC是等腰三角形. 又BAC=60°,.ABC 是等边三角形，（6分）1 Saabc = gx 2 x 2 x sin60 =m.（7 分）6.(2019四川校级月考，5分)已知双曲线C: £一、ab2Fi,F2, P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点,1(a>0, b>0)的左，右焦点分别为Q位于第一象限，且3Qp=PF2,A.8答案：BB.2C.V13+2D.713-2解析：由题意得,双曲线在第一、三象限的渐近线为by=-x,故设点q的坐标为bma(m>0).又 F1 = ( c, 0)F2= (cbm a0),Q F2= c mbmaqFi QF2=0c m,bm一 cm, abma=m2 c2+b2m2 c2m22 2a2 a2c2= 0=a.设 P(X0y0),X0 mbm y0T aPF2=(cx0, y。).由 3QP=PF2,得 3 x。一 mbmy a = (c x0