实变函数练习及答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上实变函数练习及答案一、选择题1、以下集合，（ ）是不可数集合。所有系数为有理数的多项式集合； 中的无理数集合；单调函数的不连续点所成集合； 以直线上互不相交的开区间为元素的集。2、设是可测集，是不可测集，则是（ ）可测集且测度为零； 可测集但测度未必为零；不可测集； 以上都不对。3、下列说法正确的是（ ） 在可积在可积； 在可积在可积；在可积在可积；在广义可积在可积4、设是一列可测集，则有（ ） ； ； ； 以上都不对。 5、成立的充分必要条件是（ ）； ； 。6、设是闭区间中的无理点集，则（ ）； ；是不可测集； 是闭集。7、设，是上几乎处处有限的可测函数列，是上几

2、乎处处有限的可测函数，则几乎处处收敛于是依测度收敛于的（ ）必要条件； 充分条件；充分必要条件； 无关条件。8、设是上的可测函数，则（ ）是上的连续函数； 是上的勒贝格可积函数；是上的简单函数； 可表示为一列简单函数的极限。c二、填空题：1、设，如果的任何邻域中都含有的 点，则称是的聚点。2、设，若是有界 点集，则至少有一个聚点。3、设是上的可测函数，则是上的 函数。4、设在上，依测度收敛于，则存在的子列，使得在上， 敛于。5、设设,则_。6设P是Cantor集，则_。7、写出一个与之间一一对应关系式_ 。8.设，则 。 9、设是中有理数全体，则的闭包 为_。10、直线上的任意非空开集可以表示

3、成_的并集。三、判断题。1、与的势是不等的。( )2、设，为上一列有限的可测函数，若在上收敛于有限的可测函数，则在上依测度收敛于。( )3、若则。( )4、设在上可积,则在上必可积。( )5、若不是的聚点，则是的孤立点。( )6、设，则对上的任何实值函数都有。( )7、设在上可测，则由在上可积可以推出在上可积，但反之不对。( )8、若为上非负单调可测函数列，且，则。( )四、计算题与证明题1、证明：若，则。2、设是上的实值连续函数，是任意给定的实数，证明是开集。3、设，都是可测集，试证：。4、设在可测集上，且于，试证明：于.5、设,则在上几乎处处成立.6、叙述并且证明鲁津定理的逆定理.7、计算

4、。8、若且有关函数的积分存在，证明：。答案一选择题1B 2C 3A 4. B 5.D 6.A 7.B 8.D二填空题1.无穷多个 2.无穷 3.可测 4.几乎处处收敛 5. 6.1 7. 8. 9. 10.有限个或可列个构成区间三、判断题 1× 2. 3. × 4. × 5. × 6. 7、× 8.× 四、证明与计算1.证明：根据集合的性质有： 并且集合与，与是不相交的。由于，因此，由题设可知，于是。2、设，则存在中的互异点列，使得，因连续，所以，而，由极限的保号性，因此，故是闭集。由于，故是开集。 3、证明：由于，都是可测集，根据可测集的性质，和都是可测集。如果和中至少有一个为，则结论显然成立。设，。根据集合的性质可知而且上式右端三个集合是两两不相交的可测集，因此根据测度的有限可加性有所以成立。4、证明：因，则由黎斯定理，存在子列，使得于。令，则。对任意，有，且。由于是增加数列，故，因此在上恒有成立，故于.5、.证明: 由于,故对任何自然数,从而令,即得 .但是 故, 即 a.e.于E.6叙述：设是上a.e.有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且证明：是上的可测函数。证明：闭集在连续。令则在连续在F连续，又对，故，在连续，又，所以是上的可测函数，从而是E