第十九讲正态总体均值及方差的区间估计

1、第七章参数估计第十九讲正态总体均值及方差的区间估计1.单个正态总体方差的区间估计设总体 X N( , 2) , (Xi,X2 ,Xn) 为来自X的一个样本，已给定置信度(水平) 为1 ，求2的置信区问。第5节 正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计当2已知时，的置信水平为* 1的置信区间为：当2未知时,(5.1)的置信水平当已知时，由于Xi N( , 2),因止匕, XN(0,1) ( i 1,2, ,n )。为1 的置信区间为由2分布的定义知:SX t (n 1)n 1n (Xi )22i 12(n)，据2(n)分布上 分位点的定义，有:P 12 (n) n (Xi 2 )2

2、(n)122i 1从而n(Xi)2112_(n)2n(Xi )2i 1注意：当分布不对称时，如2分 布和F分布，习惯上仍然取其对 称的分位点，来确定置信区间， 但所得区间不是最短的。当 未知时，据抽样分布有:(n21)S222(n 1)类似以上过程，得到_ 2_ 2P (n 1)S2 (n 1)S1P 22#1)1T(n 1)2的置信度为1的置信区间为：(n 1)S2 (n 1)S2-2， 2(n 1) i (n 1) 22的置信度为1的置信区间为：(n 1)S2(n 1)S2:2(n 1),22(n 1)例2有一大批袋装糖果，现从中随机地取出16袋,称得重量(以克计)如下：506 508 4

3、99 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值 未知， 的置信度为1 的 置信区间为：22 J2(n 1)S (n 1)S2(n 1),22(n 1)此时，0.05， 0.025,1 0.975，22n 16,查表得 0.025(15)27.488,0.975(15) 6.262,由给出的数据算得s2 38.4667.因此，的一个置信度为0.95的置信区间为(4.58，9.60).2.两个正态总体均值差的区间估计设总体 X N（ 1，12）,

4、Y N（ 2，2）, 且X与Y相互独立，（Xi，X2 ,Xm）来自X的一个样本，（Yi ,丫2 , ,Yn）为来自Y的一个 样本，且设X,Y,Si2,S2分别为总体X与Y的 样本均值与样本方差，对给定置信水平1 ，求12的一个置信区间。（D当12, 2已知时，由第六章定理1知，_2_21-2X - N（ 1,），Y N（ 2,）， mn又X与Y相互独立，所以22X Y N（ 12,）,在实际中常遇到下面的问 题：已知产品的某一质量指标服 从正态分布，但由于原料、设备 条件、操作人员不同，或工艺过 程的改变等因素，引起总体均 值、总体方差有所改变，我们需 要知道这些变化有多大，这就需 要考虑两个

5、正态总体均值差或 方差比的估计问题。m n即(X Y)(2 N(0,1);所以可以得到12的一个置信水平为1 的置信区间为:(XY)z_2(2)当 122,但2未知时，由第六章定理4知:(X Y)(Sw m2)t(m n 2)其中Sw. sW , sW_ 2_ 2(m 1)S1 (n 1)S2从而可得：12的一个置信水平为1 的 置信区间为：X Y t_ (m n 2) Sw . m n2例2 :为比较I , H两种型号步枪子弹的枪 口速度，随机地取I型子弹10发，得到枪口 平均速度为x1 500(m/s),标准差S 1.10(m/s),取II型子弹20发，得到枪 口平均速度为X2 496(m

6、/s),标准差 s2 1.20(m/s),假设两总体都可认为近似地 服从正态分布，且由生产过程可认为它们的 方差相等，求两总体均值差12的置信度为0.95的置信区间。解：结合实际，可认为来自两个总体的样本 相互独立。因两个总体的方差相等，却未知, 所以12的一个置信水平为1 的置信区间为：X Y <(m n 2) Sw,1一 n,八2, 八2苴中 S S2(m 1)S1 (n 1)S2在该题中所得置信区间的下限大于0,在实际中我们就认 为1比2大(可信度为95% ;相反，若下限小于0,则认为与2没有显著的差别。I DwDw , Owm n 2止匕处，10.95, /2 0.025,m 1

7、0, n 20, m n 2 28,查表得 t0.025(28)2.0484 ,=2_ 2又 29 1.1019 1.2028,Sw 寂 1.1688, 故所求置信区间为：X1 X Swt0.025(28) ."。2104 0.93即3.07,4.933.两个正态总体方差比的区间估计设总体 X N( i，2),Y N( 2, 2)，且X与Y相互独立，(Xi，X2 ,Xm)来自X 的一个样本，(Yi ,丫2 , ,Yn )为来自Y的一个 样本，且设X,Y,Si2,s2分别为总体X与Y的 样本均值与样本方差，对给定置信水平i ，求12/ 2的一个置信区间。据抽样分布知：Sl2S22F(m

8、 1,n 1)1 / 2由F分布的上 分位点的定义知，S2/SoPFi Jm 1,n 1) 4 ?m 1,n 1) 21/221即PS2/S；2/ 2S2/S；P 1 /2F (m 1,n 1)F (m 1,n 1)-21 "21于是得12/ :的一个置信水平为1 的置 信区间为：S；/S2 S； / S2F (m 1, n 1), F1 (m 1,n 1) 21 2例3 :研究由机器A和机器B生产的钢管的 内径，随机地抽取机器A生产的管子18只, 测得样本方差s2 0.34mm2；抽取机器B生产 的管子13只，测得样本方差S 0.29mm2. 设两样本相互独立，且设两机器生产的管子

9、 的内径分别服从正态分布N( 1，12)和222.N ( 2, 2),这里1 , 2 , 1 , 2均未知,求方 差比12/ 2的置信度为0.90的置信区间.解：记机器A生产的钢管为总体X,机器B生产的钢管为总体Y,由题意知，X N( 1, 2), Y N( 2, 22),且来自 X 与Y的两个样本相互独立，因此，12/ 2的一个置信水平为1的置信区间为2 / 2Si /S22 / 2Si /S2,F （m 1, n 1） F1 （m 1, n 1）21 2此处，10.90, 0.05,1 0.95,22m 18,n 13,查表求 F0.05（17,12） ?能够得到数据F0.05（15,12

10、） 2.62,Fq.05（20,12） 2.54,采用线性插值方法有20 1517 152.54 2.62F0.05（17,12） 2.62得 F0.05（17,12）2.59又由F函数的性质F (m,n)1 /日彳寸F1 （n, m）F0.95（17,12）11F0.05（12,17）2.38于是所求置信区间为0.34/0.29 0.34“ ,2.382.590.29即0.45, 2.79由于:的置信区间包含1,在实际中我 们认为12, 2两者没有显著差别。(课间休息)4.(01)分布参数的区间估计问题：设有一容量n 50的大样本，它来自（01）分布的总体X, X的分布律为f（x;p）px（

11、1p）1x,x 0,1 ,(独立同分布的中心极限定理)(林德伯格一勒维定理)设XX2, ,Xn,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方其中p为未知参数。现在来求p的置信水平差：E(XJ, D(Xi)2i 1,2, ,n,则nX i nlim Fn(x) lim P =xnn. n总体X,由中心极限定理知nXi np i 1.np(1 P) 于是有nX np.np(1 p)近似 N (0,1)Z /2nX np.np(1 p)Z /2(x)中心极限定理的另类描述： 均值为，方差为2 0的独立同 分布的随机变量X1, X2, ,Xn,的 算术平均值X ,当n充分大时近似 地服从均值为，方差为2

12、 /n的正 态分布.为1 的置信区间。易知(01)分布的均值和方差分别为P, 2P(1P).设大样本Xi,X2, ,Xn来自(01)分布的区间为z /2nXnp_z /2等价于. np(1P)-2nX np np(1 p)z 2 ,将不等式化简，n2X2 2n2Xp n2p2 nz2 2 p nz2 2 p2 nX2 2nXp np2 zj2 P z2 2 p2n z22 p2 2nX z2/2 p nX2 0 以p为自变量的函数2222y n z /2 P 2nX z p nX 对应于一个开口朝上的抛物线。设该抛物线与坐标横轴p轴的交点分别为P1, P2 (5 P2),则y 0等价于P1 P

13、 P2。以随机变量X表示某件产品是否是一一级品(X=1表示产品是一一级从而得到p的一个置信水平为1 的置信- 2b . b 4ac2a222其中 a n z /2 , b 2nX z /2 , c nX。例4:从一大批产品中任取100件产品进 行检验，发现其中有 60件是一级品。试求 这批产品的一级品率 p的置信度为95%的 置信区间.解：产品的一级品率p是(01)分布的参数， 且样本的容量较大，因此，一级品率p的一 个置信水平为0.95的置信区间为bb2 4ac2a其中 a n z2/2 , b 2nX z2/2 , c nX2。 此处，10.95, /2 0.025, n 100,X 段

14、0.6 ,由P61页查表得100zo.0251.960,于是，a 103.48, b 123.84, c 36一级品率p的一个置信水平为0.95的置信区间为(0.50,0.69).5.单侧置信区间定义对于给定值 (01),若由样本Xi,X2, ,Xn确定的统计量 _ _(X1，X2, ,Xn),对于任意满足P1,则称随机区间(一)是的置信水平 为1 的单侧置信区间称为的置 信水平为1 的单侧置信下限.品，X=0表小广品不是一级品), 则X服从(01)分布，分布律 为 P X x px(1 p)1 x 请大家思考如何从正态分布表中 查Z0.025的值.在某些实际问题中，例如，对于设 备、元件的寿

15、命来说，平均寿命长 是我们希望的，我们关心的是平 均寿命的“下限”；与之相反，在 考虑产品的废品率p时，我们常 关心参数p的“上限”，这就引出 了单侧置信区间的概念.又如果统计量 (X1,X2, ,Xn), 对于任意满足P一 1，则称随机区间(，j是 的置信水平 为1 的单侧置信区间称为的置 信水平为1 的单侧置信上限.正态总体均值与方差的单侧置信区间设正态总体X的均值是，方差是2(均为 未知)，X1,X2, ,Xn是一一个样本，给定置信 水平1 ，求 的单侧置信下限和 2的单侧 置信上限。X由Lt(n 1)有，S/ . nP t (n 1)1S/ . nS即 P X t (n 1)1二 n于是得的一个置信水平为的单侧置信区间S t (nn1),的置信水平为1的单侧置信下限为St (n 1).n2又根据(n-2)的单侧置信上限为 (n 1)S22.12 (n 1)例5 :设从一批灯泡中，随机地取5只作寿命试验，测得寿命（以小时计）为1050, 1100, 1120, 1250, 1280,设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95