随机事件的关系与运算

1、2021/4/21教材：教材：概率论与数理统计概率论与数理统计 第三版第三版 浙江大学浙江大学 盛骤等盛骤等 编编 高等教育出版社高等教育出版社教教 师：师： 杨晓霞杨晓霞办公室办公室: : 理学院理学院 203 203 电电 话话: 62338357: 62338357e-mail: 数理统计数理统计2021/4/22概率概率(或然率或几率或然率或几率) 随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家

2、B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了解决了“ 合理合理分配赌注问题分配赌注问题” ( 即得分问题即得分问题 ).概率论是一门概率论是一门研究客观世界随机现象数量研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.2021/4/23发展则在发展则在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利；而概率论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大工业第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产

3、生了运筹学、系统论、信息与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科数学分支学科.论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真正奠 对客观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率2021/4/

4、24统计方法的数学理论要用到很多近代数学统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系的数学分支学科，并无从属关系.2021/4/25本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经所有

5、科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中济的各个部门中. 例如例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与及预测都与概率论概率论紧密相关；紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到否在临床中应用，均要用到假设检验假设检验；2021/4/266. 探讨太阳黑子的变化规律时探讨太阳黑子的变化规律时,时间时间可夫过程可夫过程 来描述来描述;7. 研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以马尔马尔序列分析序列分析方法非常有用方法非常有用;4. 电子系统的设计电子系统的设计, 火箭卫星的研制及

6、其火箭卫星的研制及其发射都离不开发射都离不开可靠性估计可靠性估计; 3. 寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行实验设计实验设计和和数据处理数据处理；5. 处理通信问题处理通信问题, 需要研究需要研究信息论信息论；2021/4/27水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知的知装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8. 生物学中研究生物学中研究 群体的增长问题时，群体的增长问题时，提出了生灭型提出了生灭型随机模型随机模型，传染病流行问传染病流行问题要用到多

7、变量非线性题要用到多变量非线性生灭过程生灭过程；9. 许多服务系统，如电话通信、船舶许多服务系统，如电话通信、船舶识就是识就是 排队论排队论.2021/4/28领域领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题济的稳定增长等问题 , 都大量采用都大量采用概率概率统计方法统计方法. 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace)说说: “ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题 , 其中绝大其中绝大领域的趋势还在不断发展领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领在社会科学领多数在实质上只是概率的问题多数在实质上只是概率的问题.”目前目前, 概率统计理论

8、进入其他自然科学概率统计理论进入其他自然科学2021/4/29概率论与数理统计概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，性的一门学科，是重要的一个数学分支。是重要的一个数学分支。在生活当中，经常会接触到在生活当中，经常会接触到一一些些现象现象：确定性现象：确定性现象：在大量重复实验中其结果又具有在大量重复实验中其结果又具有统计规律性统计规律性的现象。的现象。随机现象：随机现象：在一定条件下必然发生的现象。在一定条件下必然发生的现象。在个别实验中其结果呈现出在个别实验中其结果呈现出不确定性不确定性；概率论与数理统计概率论与数理统计 在在经济、科技、教育

9、、管理和经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。军事等方面已得到广泛应用。退 出目 录前一页后一页2021/4/2101 1 随机事件的概率随机事件的概率2 2 等可能概型等可能概型3 3 条件概率条件概率4 4 独立性独立性第一章第一章概率论的基本概念概率论的基本概念退 出目 录前一页后一页2021/4/211一一 随随 机机 试试 验验二二 事件间的关系与运算事件间的关系与运算三三 频频 率率 与与 概概 率率 1 随随 机机 事事 件件 的的 概率概率第一章 概率论的基本概念退 出目 录前一页后一页2021/4/212 这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样这里试验的含义十分广

10、泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：其典型的例子有：1) 随机试验随机试验（Experiment ）第一章 概率论的基本概念一一 、 随随 机机 试试 验验1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录2021/4/213E1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面）、反面T（Tails）出现的情况。）出现的情况。E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。：抛一颗骰子，观察出现的点数。E4：观察某一电子元件的寿命。：

11、观察某一电子元件的寿命。 E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;2021/4/214这些试验具有以下特点：这些试验具有以下特点：第一章 概率论的基本概念2. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 3. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。试验的所有可能结果。1

12、. 可以在相同的条件下重复进行；可以在相同的条件下重复进行；1 随机事件的概率称具备上面三个特点的试验为随机试验。称具备上面三个特点的试验为随机试验。退 出前一页后一页目 录2021/4/215 2) 样本空间样本空间(Space)定义定义将随机试验将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合的所有可能结果组成的集合称为称为 E 的的样本空间样本空间， 记为记为 S 。样本空间的。样本空间的元素，即元素，即 E 的每个结果，称为的每个结果，称为样本点样本点。第一章 概率论的基本概念1 随机事件的概率要求：会写出随机试验的要求：会写出随机试验的 样本空间。样本空间。退 出前一页后一页目 录2021/

13、4/216E1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面）、反面T（Tails）出现的情况。）出现的情况。E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。：抛一颗骰子，观察出现的点数。E4：观察某一电子元件的寿命。：观察某一电子元件的寿命。E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;S1

14、: H , T S2 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 S3 : 0,1,2,3S4 : t | t 0 S5 : ( x , y ) | T 0 x y T1 S6 : HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH, TTT S7 : 0, 1, 2, 3 2021/4/217随机事件随机事件 : 称试验称试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集为的子集为 E 的的随机事件，记作随机事件，记作 A, B, C 等等；等等；基本事件基本事件 : 由一个样本点组成的单点集；由一个样本点组成的单点集；必然事件必然事件 : 样本空间样本空间 S 本身；本身；不可能事件不可能事件

15、 : 空集空集。3) 随随 机机 事事 件件我们称一个我们称一个随机事件发生随机事件发生当且仅当当且仅当它所包它所包含的一个样本点含的一个样本点在试验中在试验中出现。出现。第一章 概率论的基本概念1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录2021/4/218例如：例如：S2 中中第一章 概率论的基本概念事件事件 A=2,4,6 表示表示 “出现偶数点出现偶数点”;事件事件 B=1,2,3,4 表示表示 “出现的点数不超过出现的点数不超过4”.1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录2021/4/2191) 包含关系包含关系 二二 、 事件间的关系与运算事件间的关系与运算SABBA 第一章 概

16、率论的基本概念如果如果A发生必导致发生必导致B发生，则发生，则BA1 随机事件的概率.,ABBABA 且且2）相等关系）相等关系 退 出前一页后一页目 录2021/4/220SAB3) 和（并）事件和（并）事件 BA第一章 概率论的基本概念事件事件 发生当且仅当发生当且仅当 A, B 至少发生一个至少发生一个 . BA.中中至至少少发发生生一一个个表表示示 AA1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录2021/4/221第一章 概率论的基本概念4) 积（交）事件积（交）事件ABBA SAB事件事件 发生当且仅当发生当且仅当 A , B 同时发生同时发生.BA.同同时时发发生生表表示示所所有有

17、 AA1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录2021/4/222第一章 概率论的基本概念考察下列事件间的包含关系：考察下列事件间的包含关系：ABBAAB ABAABB BABA1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录2021/4/223 5) 差事件差事件BA SABBA第一章 概率论的基本概念ASBA ABBA 发生当且仅当发生当且仅当 A 发生发生 B 不发生不发生.BAABA 1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录2021/4/2246) 互不相容（互斥）互不相容（互斥） BA7) 对立事件对立事件 （逆事件）（逆事件）SBABA SAAB 第一章 概率论的基本概念SBA请注意

18、互不相容与对立事件的区别！请注意互不相容与对立事件的区别！1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录2021/4/225第一章 概率论的基本概念例如，例如，在在S4 中中事件事件 A=t|t 1000 表示表示 “产品是次品产品是次品” 事件事件 B=t|t 1000 表示表示 “产品是合格品产品是合格品” 事件事件 C=t|t 1500 表示表示“产品是一级品产品是一级品”则则BA与与CA与与CB 表示表示 “产品是合格品但不是一级品产品是合格品但不是一级品”; BCCB 表示表示 “产品是一级品产品是一级品” ;表示表示 “产品是合格品产品是合格品”.是是互互为为对对立立事事件件；是是互互

19、不不相相容容事事件件；1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录2021/4/2268) 随机事件的运算规律随机事件的运算规律幂等律幂等律: :AAAAAA ,交换律交换律: :ABBAABBA ,第一章 概率论的基本概念 结合律结合律: : CBACBA 分配律分配律: : CABACBA De MorganDe Morgan（德摩根）定律（德摩根）定律: :1 随机事件的概率 CBACBA CABACBA 退 出前一页后一页目 录BAABBABA ,.,kkkkkkkkAAAA 可可推推广广2021/4/227第一章 概率论的基本概念1 随机事件的概率例例1：设设 A, B, C 为三个随

20、机事件，用为三个随机事件，用A, B, C 的运的运 算关系表示下列各事件算关系表示下列各事件.（1）A 发生发生.AABC CBACAB.CBA(2) A 发生，发生，B 与与 C 都不发生都不发生.CBA(3) A ,B , C 都发生都发生.ABC(4) A ，B , C 至少有一个发生至少有一个发生.CBA退 出前一页后一页目 录2021/4/228第一章 概率论的基本概念1 随机事件的概率(5) A ，B , C 都不发生都不发生.CBA(6) A ，B , C 不多于一个发生不多于一个发生.CBA(7) A ，B , C 不多于两个发生不多于两个发生.CBA.CBA (8) A ，B , C 至少有两个发生至少有两个发生.BCACBACAB.BCACAB .CBACBACBACBACBACBABCACBACABABC退 出前一页后一页目 录20