高考数学专题复习讲练测——专题三_三角函数_专题复习讲练_3_解三角形的综合问题

1、§3解三角形的综合问题一、复习要点本节复习的重点是：如何把三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理、勾股定理及面积公式与其他三角函数公式配合运用，解答三角形的综合问题.这类试题在历年高考中时有出现把方程观点和三角式的恒等变形方法结合运用，是解答这类问题的策略之一把边和角的已知关系式相互转化，是解答这类问题的策略之二巧用内角和定理，是解答这类问题的策略之三例如，（），（），（）2（2），（）2（2），（）2（2）等二、例题讲解例1（1）在中，（3），求证2；（2）在C中，成等差数列，求证B60°讲解：（1）本题是由三角形角的一种特殊性，推证边的一种大小关系.要完成证明，应先吃透条

2、件，寻找沟通目标与条件的渠道由（3）（23），（）2；根据目标不等式的形状，想到用正弦定理可把目标与条件沟通，即用正弦定理可把边的不等式转化为关于角的不等式，从而与条件相衔接，分析归纳后得证法如下：由正弦定理和（3），A+B+C推知22（23）（2）（32）22（6）2（6）1最后一不等式是显然成立的，故有2（2）本题是由三角形边的一种特殊关系，推证角的一种大小关系问题.先理解条件，成等差数列，即2；再寻找目标与条件的联系：由于目标不等式是三角形一个内角的变化范围，故用余弦定理能把目标与条件联系起来得证法如下：，成等差数列，2，且由余弦定理，得（）（2）（）2）（2）（3（）28）（628）（

3、12）60°又0，且余弦函数在区间0，上单调递减，故得60°例2在ABC中，若（sin）（）（12）（12），试证明ABC为等腰三角形或直角三角形； 讲解：思路1要证明三角形为等腰三角形，须由条件推得两边相等或两角相等；要证明三角形为直角三角形，须由条件推得三边满足勾股关系或一角等于90°这就需要运用恒等变形的方法和方程观点对条件等式进行转化注意到条件等式右端若用二倍角公式，条件即化为更均称的形式（）（）（）观察此式，易从左端想到正弦定理，而从右端想到余弦定理；左右两端分别用正余弦定理变形，即可以从边的关系方面把左右两端沟通，有希望解出勾股关系或边的相等关系进一步

4、分析后，得证法如下：根据二倍角公式，由条件得（）（）（）等式左右两端分别用正、余弦定理，得（）（2）（2）（）·（），（）（）（）（）·（）1）0由（）（）0，得；由（）（）·（）10，得，即（）（）0或故三角形为等腰三角形或直角三角形思路2变换到（）（）（）时，左端用正弦定理即为（）（），而此表达式的形式又容易使我们想到余弦定理2，2，故而此式（）（）（）（），从而有（）（）（），（）（），即22，22或22，即或（2）可知此三角形为等腰三角形或直角三角形 例3已知的三个内角A、B、C满足2，（1）（1）（）求（）2）的值（1996年高考题）讲解：这是一道三角形

5、中的条件求值问题根据题目的条件与目标结构特点，解答本题的基本想法可以是：将其他已知条件代入条件方程式（1）（1）（），然后运用恒等变形方法和方程观点进行转化，从中解出目标（）2来由中，260°，120°；代入条件方程式，整理，得2观察并朝着目标方向思考，想到用和差化积公式可把方程左端转化为2（）2·（）2，目标出现了，而右端用积化和差公式可转化为（）（）；且二倍角公式能把左边（）2与右边（）相沟通，又左边（）2与右边（）能求出，故（）2可由解二次方程求出.整理得解法如下：由题设条件知，60°，120°（）2， （1）（1）2将上式化为2利用和差

6、化积及积化和差公式，上式化为2（）2（）2（）（）将（）260°（1/2），（）（12）代入上式，得（）2（2）（）将（）22（）21代入上式并整理，得4（）22（）230，（2（）2）（2（）23）0，2（）230， 2（）20从而得（）22若运用变量替换法，还可以有如下解法：由题设条件知60°，120°设（）2，则A2，可得60°，60°（1）（1）（）化为（60°）（60°）2（60°）（60°）又（60°）（12）（2），（60°）（12）（2），（60°）（60&#

7、176;）（14）（34）（34），代入上式并整理，得4230，（2）（23）0230，20故（）2（2）三、专题训练 1若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（） A（0，（2）B（1， C（12），（2）D（12），（2）2ABC中，cos2cos2是B的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件3等腰三角形腰长为2，底边的中点到腰的距离为（2），则三角形外接圆半径为（）（23）42或（2）4或（43）4设1（2），在中，（2），则的变化范围是区间（）（0，（3）（4），（3）（3），（2）（0，（2）5操场上有一旗杆OP（如图3-5），为

8、了测得它的高度，在地面上取一基线20米，在A处测得P点的仰角30°，在B处测得P点的仰角45°，又测得150°，则旗杆的高_米 图3-56如图3-6所示，货轮在海上以40km/小时的速度沿着方位角（从指正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为140°的方向航行，为了确定船位，在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点与灯塔A的距离是_km（结果可以保留根号）图3-67设C中角A、B、C所对边长分别为、，关于直线0与0的位置关系有以下四个判定：可以是相互平行的位置关系；可以是重合的位置关系；可以是相互垂直的位置关系；一定是相交但不垂直的位置关系其中正确判定的序号是_（把你认为正确判定的