平行四边形与特殊的平行四边形

1、精选优质文档-倾情为你奉上平行四边形的性质与判定一、总结平行四边形的性质与判定原理：性质原理判定原理 边1、 两组对边分别平行；2、 两组对边分别相等；1、 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2、 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；角3、对角相等；邻角互补；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；线4、对角线互相平分。5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。【问题1】我们学习平行四边形的性质是从哪几个方面来研究的？ 从“边、角、线”三个方面，其中“线”指的是对角线。【问题2】判定一个四边形是平行四边形必须有几个条件？ 必须具备两个条件；注

2、意判定原理5“对角线互相平分”也是两个等量。 图P-01二、总结与平行四边形相关的性质：（注意，以下性质只可用来指导解证题，在填空、选择题中可直接使用，但在解答题中不可直接当作原理使用）【平行四边形对角线相关性质】 平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的三角形；平行四边形的对角线将其分成四个面积相等的小三角形；相对的两个小三角形全等；相邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。 如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则ABO、ADO、CDO、CBO的面积相等。依据是每相邻两个三角形都是“等底同高”。 练习如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，若SABO=2，则SABD= ；SABCD=

3、如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则图中共有 对全等三角形。 如图P-01，已知，ABCD的周长为28，点O是对角线AC、BD交点，ABO的周长比CBO的周长多4，则AB= ，BC= 图P-02 如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，已知AB=8，BC=6，ABO的周长为17，则CBO的周长= 在平行四边形内，过对角线交点且两端点在平行四边形边上的线段一定被对角线交点平分；如图P-02，点O是对角线AC、BD交点，线段 EF过点O，则OE=OF；证AEOCFO即可练习如图P-02，ABCD中，EF过对角线交点O，若AB=5，BC=4，EO=3，则四边形CDEF的周长为 图P-03如

4、图P-03，ABCD中有圆O，请你画一条直线，将此平行四边形及圆O的面积分成相等的两部分。 若设平行四边形两条对角线长分别为2和2(>)，则此平行四边形每条边长的取值范围为<<练习如图P-01，若AC=8，BD=12，则 AB的取值范围是 三角形一边上的中线的取值范围为：大于另两边之差，小于另两边之和。 图P-04 如图P-04，已知D为ABC中BC边上的中点， AB=5，AC=7，求AD的取值范围。提示延长AD至E，使DE=AD，连结BE、EC，易证得ABEC；记住此法：倍长中线法，是常用的辅助线作法【四边形四边中点连线性质】 顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形

5、； 图P-05 如图P-05，连结AC，由三角形中位线原理可得：HG、EF都平行且等于AC，HG平行且等于EF，得平行四边形 注：此性质在学习了菱形、矩形后还有扩充。【等腰三角形与平行线相关性质】 从等腰三角形底边上任一点做两腰的平行线， 图P-06可得一平行四边形和两个小的等腰三角形，且平行四边形的周长等于两腰长之和；如图P-06，AB=AC，DEAC，DFAB 易得1=B，2=C，而B=C， 1=C，2=B练习如图P-06，ABC中，AB=AC=6，D是BC上 一点，DEAC，DFAB，求四边形AFDE的周长。 图P-07 一条角平分线与平行线相交时常会出现等腰三角形； 如图P-07，AB

6、CD，1=2，则易证 1=3，2=3，得等腰AED练习如图P-08，在ABCD中，AB=7，AD=3，DAB的的平分线交CD于E，交BC的延长线 图P-08于F，求CF长 如图P-09，ABC中，ABC与ACB的角 图P-09 平分线交于点F，DEBC且过点F 求证：DE=BD+EC【中位线相关性质】 三角形中位线原理： 三角形的中位线平行且等于第三边的一半； 三角形中位线原理推论：过三角形一边中点且平行另一边的直线必平分第三边。 图P-10 如图P-10，D、E分别为AB、AC中点，则有： DEBC，DE=BC；若已知D为AB中点， DEBC，则有：AE=CE练习证明三角形中位线原理推论 已

7、知： 求证： 证明： 三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三角形的全等，周长都等于原三角形周长的一半，面积都等于原三角形面积的1/4。 图P-11 如图P-11，D、E、F分别是ABC三边中点，则图中 四个小三角形都全等，且面积都等于ABC面积的1/4；周长都等于ABC周长的1/2；图中共有3个平行四边形。练习如图P-11，D、E、F分别是ABC三边中点， AB=6，AC=7，BC=10，则DEF的周长为 图P-12三、典型题例与解题思路 【例1】如图P-12，ABCD中，E、F为AC上两点， 且AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形思路分析 本类题型是在平行四边形中求证某四边形是平

8、行四边形，证题思路较有规律，都是先由原平行四边形得到一些条件，再证得其它条件，或由全等三角形或由平行四边形的判定原理得到所要求证的四边形是平行四边形。 在证本类题型时，首先要想清楚自己要选用哪种方法（原理）来证。几何证明题的方法往往有多种，不一定要是最简单的，但在找条件时不能乱，不要所有能用的不用的都写上去。以本题为例，我们要证BFDE，可以选用的方法有“两组对边分别相等”、 “两组对边分别平行”、 “一组对边平行且相等”、“对角线互相平分”等方法，选定一种后，就找对应的条件。 我们先看第一种方法：两组对边分别相等。要证DE=BF，BE=DF，我们可以用全等来证，先用AEBCFD得BE=DF，

9、再同理得DE=BF。解题格式 证： 有ABCD （已知）AB=CD，ABCD（平行四边形性质） 1=2 （两直线平行，内错角相等） 又AE=CF （已知） 在AEB和CFD中：AB=CD 1=2 AE=CF AEBCFD （SAS） BE=DF （全等性质） 同理：DE=BF 有DEBF （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）同题练习 用“一组对边平行且相等”来证： 用“对角线互相平分”来证： 同类练习 如图P-13，ABCD中，E、F分别为AB、CD中点，AF、DE相交于G，CE、BF相交于H。求证：四边形EHFG是平行四边形思路分析可以先用 来证DEBF，从而得DEBF；再同理证得 ；最

10、终用 的原理来证得。 图P-13 解题过程 如图P-14，ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，且DF=BE， 图P-14 求证：AF=CE思路分析可以用全等的方法证，也可以直接证AECF，从而得对边相等。解题过程 方法一：用全等的方法 方法二：先证AECF 求证：平行四边形一条对角线的两个个端点到另一条对角线的距离相等。 （要求画图，写出已知、求证并证明） 图P-15【例2】如图P-15，O是ABC内一点，D、 E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点 求证：四边形DEFG是平行四边形思路分析 此类题型是利用中位线原理来证题，要 证DEFG，只要证一组对边平行且相等就 可以了；我们可

11、以选定DE与FG解题过程 证： 在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点 DEBC，DE=1/2BC （三角形中位线性质） 同理：FGBC，FG=1/2BC FG=DE （等量代换）FGDE 有DEFG（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）练习求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 （写出已知、求证并证明） 菱形的性质与判定一、菱形的性质与平行四边形的性质比较平行四边形菱形变化情况边1、对边平行1、对边平行不变2、对边相等2、四边相等升级角3、对角相等3、对角相等不变线4、对角线互相平分4、对角线互相平分且垂直升级5、每条对角线平分每一组对角新性质二、菱形的性质与判定比较性质判

12、定边1、对边平行2、四边相等1、四条边都相等的四边形是菱形2、一组邻边相等的平行四边形是菱形角3、对角相等线4、对角线互相平分且垂直3、对角线互相垂直平分的四边形是菱形4、对角线互相垂直的平行四边形是菱形5、每条对角线平分每一组对角三、观察上表，你能发现什么特点？除了上表中的四种判定法之外，你还能找出哪些判定菱形的方法？所有这些方法，你能发现它们的共同点吗？你能不能用一句话说明，到底怎样判定菱形的？ 上表的特点是：判定菱形，只用到了边与线，而且用边来判定时只用到了“四边相等”的性质；用“线”来判定时只用到了“互相垂直平分”的性质。另外，如果已知的是四边形，就必须要有三个条件才能证得菱形，如果已

13、知的是平行四边形，那么就只要再有一个条件就可以了。 除了表中的四种方法，还可以这样判定菱形：例如，先用“两组对边分别平行”来证一个四边形是平行四边形，再证它的一组邻边相等，或证它的对角线互相垂直这样就有很多的方法了。如果用一句话来总结，那就是：只要能先证它是平行四边形，再证它一组邻边相等或对角线互相垂直就可以了！四、菱形中的重要解题性质 【菱形的面积与对角线关系原理】菱形的面积等于对角线乘积的一半 图L-01 如图L-01，菱形ABCD对角线相交于O，则 S菱形ABCD=ACBD【含60o或120o内角的菱形相关性质】菱形中若有一内角为60o或120o，则菱形被较短的对角线分成两个等边三角形；

14、较长的对角线等于边长的倍。如图L-01，BAD=60o，则有：等边ABD，等边BDC ，AC=BD=AB【菱形的一些基本性质】 菱形的四条边都相等，周长=边长4； 如图L-01，菱形被两条对角线分成的四个小直角三角形都全等； 图L-02 如图L-02，菱形四边中点连线所得四边形是矩形；证明：连结AC、BD，交点为O，AC交HE于P，BD交HG于Q由中位线原理可得HG和EF都平行且等于1/2AC， HG与EF平行且相等，有EFGH 又ACBD，ACHG，HGBD （垂直于平行线中的一条，必垂直另一条） HQO=90o，同理HPO=90o， 又POQ=90o，QHE=90o， 有矩形EFGH 四边

15、形ABCD对角线AC、BD相交于O，从以下条件中选取3条，可以判定四边形ABCD是菱形的方法共有8种：AB=BC，AB=CD，BC=AD，AO=CO，BO=DO，ACBD，ABCD，ADBC “四条边相等的四边形”或“一组邻边相等的平行四边形”、：“一组邻边相等的平行四边形”、：“对角线互相垂直的平行四边形” ：“对角线互相垂直且平分的四边形”五、典型题例与思路分析 证一个四边形是菱形，有两种思路：可以先由两个条件证得平行四边形，再加一个条件证得菱形；或者直接由三个条件证得菱形。 图L-03【例1】如图L-03，AD是ABC的一条角角平分线，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，求证：四边形

16、AFDE是菱形。思路分析本例明显可先证得AFDE，再加上一个条件“邻边相等”即可得菱形。证：DEAC，DFAB DEAF，DFAE 有AFDE AD是角平分线 1=2 DEAC 3=2 1=3 AE=DE 有菱形AFDE（一组邻边相等的平行四边形是菱形）同类练习如图L-04，ABC中，C=90o，AD是角平分线，EDBC，DFBC 图L-04 求证：四边形AEDF是菱形 图L-05如图L-05，ABC中，AB=AC，O是BC中点，OGAB于G，ODAC于D，DEAB于E，GFAC于F，GF、DE相交于P 求证：四边形ODPG是菱形 图L-06【例1】如图L-06，ABCD的对角线BD的垂直平分

17、线EF分别交AB、CD、BD于F、E、O 求证：四边形DFBE是菱形。思路分析本例很显然可以利用对角线互相垂直平分来证菱形，我们可以用全等来证得对角线互相平分。证： 有ABCD ABDC 1=2，3=4 EF垂直平分BD DO=BO DOEBOF OE=OF EFBD 有菱形DFBE（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）同类练习 图L-07如图L-07，过ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线分别交ABCD四条边于E、F、G、H四点 求证：四边形EFGH是菱形综合练习如图L-08，ABC中，ACB=90o，AD是角平分线，DFAB于F，CDAB于E，求证：四边形CDFG是菱形 图L-08提示

18、用全等可证CD=DF，CG=GF，再证3=4得CD=CG，即四条边相等如图L-09，E为四边形ABCD边AB上一点，且AED和EBC都是等边三角形，F、G、H、I分别是四边中点 求证：四边形FGHI是菱形提示连结AC和BD，先证AECDEB，得AC=BD；再由中位线原理可得HI=FG=1/2AC，EI=HG=1/2BD，即四条边都相等 图L-09如图L-10，ABEF，1=2，DC=DF，求证：四边形DCEF是菱形 图L-10 图L-11如图L-11，ABCD中，EFBD，BE=BG， 求证：E=F ABCD是菱形矩形的性质与判定一、平行四边形、菱形、矩形的性质比较平行四边形菱形矩形 边1、对

19、边平行2、对边相等1、 对边平行2、四边相等1、对边平行2、对边相等角3、对角相等3、对角相等3、四角相等（90o）线4、对角线互相平分4、对角线互相垂直平分5、对角线平分每一组对角4、对角线互相平分且相等二、矩形的性质与判定比较性质判定边1、对边平行2、对边相等角3、四角相等（90o）1、四个角都是直角的四边形是矩形2、一个角是直角的平行四边形是矩形线4、对角线互相平分且相等3、对角线互相平分且相等的四边形是矩形4、对角线相等的平行四边形是矩形三、平行四边形、菱形、矩形的判定方法比较平行四边形菱形矩形边1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等1、四条边都相等的四边形3、一组对边平行且相等2、

20、一组邻边相等的平行四边形角4、两组对角分别相等1、四个角都是直角的四边形2、一个角是直角的平行四边形线5、对角线互相平分3、对角线互相垂直平分的四边形3、对角线互相平分且相等的四边形4、对角线互相垂直的平行四边形4、对角线相等的平行四边形四、菱形、矩形的比较二者都是特殊的的平行四边形，菱形是将平行四边形的一组邻边相等，矩形是将其一组邻角相等；所以菱形的角方面没有变化，而矩形的边方面没有变化；菱形四边相等，矩形四角相等；菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线相等；二者都既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心都是对角线交点，对称轴都有2条，菱形的2条是对角线所在直线，矩形2条是对边的中垂线；菱形

21、四边中点连线所得是矩形，矩形四边中点连线所得是菱形；菱形对角线交点到四边距离相等，矩形对角线交点到四个顶点距离相等；二者的判定都可以先判定平行四边形再加一个条件就可以了。五、练习如图J-01，四边形EFGH是由ABCD四个内角的角平分线围成的 图J-01求证：四边形EFGH是矩形提示证1+2=90o，则AED=90o，同理得出另三个角都等于90o 图J-02求证：顺次连结矩形四边中点所得四边形是菱形。提示证四条边都等于对角线长如图J-03，O为菱形ABCD对角线交点，过O点作AD、AB的垂线，与四边分别相交于E、F、G、H求证：四边形EFGH是矩形提示 图J-03由菱形性质可知1=2，并由角平

22、分线原理知OH=OE；同理可得OE=OF，OF=OG，所以HF与EG相等且互相平分，得矩形求证：菱形对角线交点到四边的距离都相等；矩形对角线交点到四个顶点的距离都相等。如图J-04，矩形ABCD中，AC与BD相交于O，BEAC于E，CFBD于F图J-04 求证：BE=CF图J-05如图J-05，过矩形ABCD顶点A作AEBD，交CD延长线于E，猜想AEC的形状并证明如图J-06，点E是矩形ABCD中CD边上一点，F是AD边上一点，EFBE且EF=BE，已知矩形周长为22cm，CE=3cm，求DE长图J-06正方形的性质与判定一、 正方形的性质与判定比较性质判定边1、对边平行；2、四边相等；1、

23、一组邻边相等的矩形；角3、四角相等（都等于90o）2、一个角是直角的菱形；线4、对角线互相平分、垂直且相等 3、对角线相等的菱形；4、对角线垂直的矩形；5、对角线互相平分、垂直且相等的四边形二、正方形判定方法 简单地说，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形； 如上表中的判定原理14，都是这种方法； 判定正方形需要四个条件，比较平行四边形、菱形和矩形的判定，判定平行四边形只要两个条件，判定菱形和矩形都要三个条件； 也可以先判定一个四边形是平行四边形，再加一个条件判定成菱形（或矩形），最后再加一个条件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。三、平行四边形、菱形、矩形与正方形性质比较平

24、行四边形菱形矩形正方形边1、对边平行1、对边平行1、对边平行1、对边平行2、对边相等2、四边相等2、对边相等2、四边相等角3、对角相等3、对角相等3、四角相等3、四角相等对角线4、对角线互相平分4、对角线互相平分且垂直4、对角线互相平分且相等4、对角线互相平分、垂直且相等对称性5、中心对称图形，对称中心是对角线交点5、中心对称图形，对称中心是对角线交点5、中心对称图形，对称中心是对角线交点5、中心对称图形，对称中心是对角线交点6、轴对称图形，两条对角线所在直线是对称轴6、轴对称图形，两条对边的中垂线是对称轴6、轴对称图形，两条对角线所在直线、两条对边的中垂线共是4条对称轴四、例题与练习【例】如

25、图Z-01，RtABC中，ACB=90o，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F，求证：四边形CFDE是正方形。思路分析如前所述，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。本例我们可以先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；或先证它是菱形，再证它有一个直角。 图Z-01证法一：先证矩形，再证一组邻边相等证： DEBC，DFAC，ACB=90o，ACB=CFD= CED= 90o， 有矩形CFDE（三个角是直角的四边形是矩形） 又CD平分ACB，DEBC，DFAC DE=DF（角平分线上的点到两边的距离相等） 有正方形CFDE（一组邻边相等的矩形是正方形）证法二：先证菱

26、形，再证一个内角为90o证：DEBC DEB=90o，又ACB=90o， ACB=DEB DECF 同理DFCE 有CFDE又CD平分ACB，DEBC，DFAC DE=DF（角平分线上的点到两边的距离相等） 有菱形CFDE又DEB=90o 有正方形CFDE（一个角是直角的菱形是正方形）练习如图Z-02，矩形ABCD中，AE平分DAB，交CD于E，EFAB于F 图Z-02 图Z-01 求证：四边形AFED是正方形提示用“一组邻边相等的矩形是正方形”如图Z-03，在正方形ABCD中，AE=BF，AF、ED相交于G 图Z-03 图Z-01 求证：AF=DE 求证：AFDE提示证ABFDAE（SAS）

27、证2+3=90o：由得1=3；1+2=90o 图Z-04 图Z-01 如图Z-04，正方形ABCD对角线相交于O，E为AC上一点，过A作于G，AG交BD于F，求证：OE=OF提示证AOFBOE（AAS） 如图Z-05，若点E在AC的延长线上，AGBE交EB延长线于G，AG交DB延长线于F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？请证明你的结论 图Z-05 图Z-01【实践题】只给你测量长度的工具，怎样测出一个矩形的物件是否合格？图J-11【实践题】不用任何工具，怎样检验一张纸片是正方形？ 图Z-04 图Z-01【专题一】纸片折叠题型此类题型的关键在折叠前后的等量关系，要能找到哪些线段和角是不变的，它

28、们是题中的隐含条件，要注意应用。如图ZD-01，将ABCD纸片沿EF折叠，使C点正好落在A点，D点落在G点，求证：ABEAGF 图ZD-01 判断四边形AECF是什么形，并证明提示折叠之后的等量关系要清楚：D=G，BAD=BCD，AG=CD，AE=EC再由ABCD得D=B，AB=CD；最后证1=2，三个条件就具备了AE=EC，AEEC，可证AECF，由可知AE=AF，所以可得它是 图ZD-02如图ZD-02，将一矩形纸片沿GF折叠，使点C与A重合，点D落在E处，找出并证明图中的全等三角形如图ZD-03，两张宽度相同的小纸条叠放在一起，围成一个四边形ABCD，判断这个四边形的形状并证明提示宽度相同，即高相等，利用面积法可证得AB=AD；而ABCD的证明就 图ZD-03如图ZD-04，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，C点落在F处，BF交AD于E。已知AB=4，BC=8，求DE长 图ZD-04提示设DE=，则AE=8-；易证1=3得BE=DE=，在RtABE中，用勾股定理列出方程即可解得如图ZD-05，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠后，点B到达的位置，C与AD交于点E，求证：DAC 图ZD-05提示易证等腰ACE与等腰BDE，则1=2，4=5，又由于AEC=BED，则1=2=4=5，得证平行。 图ZD-06如图Z