广东省高中数学必修一第2章2.2.4-第1课时-均值不等式

1、精选优质文档-倾情为你奉上2.2.4均值不等式及其应用第1课时均值不等式学 习 目 标核 心 素 养1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件(难点)2会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小(重点)1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养2通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养.1算术平均值与几何平均值对于正数a，b，常把叫做a，b的算术平均值，把叫做a，b的几何平均值2均值不等式(1)当a0，b0时，有，当且仅当ab时，等号成立；(2)均值不等式的常见变形当a0，b0，则ab2；若a0，b0，则ab2.1不等式a212a中等号成立的条件是()Aa±1

2、Ba1Ca1 Da0B当a212a，即(a1)20，即a1时“”成立2已知a，b(0,1)，且ab，下列各式中最大的是()Aa2b2B2C2abDabDa，b(0,1)，a2a，b2b，a2b2ab，又a2b22ab(ab)，2aba2b2ab.又ab2(ab)，ab最大3已知ab1，a>0，b>0，则ab的最小值为()A1 B2 C4 D8Ba>0，b>0，ab22，当且仅当ab1时取等号，故ab的最小值为2.4当a，bR时，下列不等关系成立的是_；ab2；a2b22ab；a2b22ab.根据ab，成立的条件判断，知错，只有正确对均值不等式的理解【例1】给出下面三个推

3、导过程：a，b为正实数，22；aR，a0，a24；x，yR，xy0，22.其中正确的推导为()ABC DBa，b为正实数，为正实数，符合均值不等式的条件，故的推导正确aR，a0，不符合均值不等式的条件，a24是错误的由xy0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合均值不等式的条件，故正确1均值不等式 (a0，b0)反映了两个正数的和与积之间的关系2对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是正数(2)“当且仅当”的含义：当ab时，的等号成立，即ab；仅当ab时，的等号成立，即ab.1下列不等式的推导过程正确的是_若x1，则x22；若x0，则

4、x24；若a，bR，则22. 中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x时，即x1时，x2等号成立，因为x1，所以x2，中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件利用均值不等式比较大小【例2】(1)已知a，b(0，)，则下列各式中不一定成立的是()Aab2 B.2C.2 D.(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则pa2b2c2与qabbcca的大小关系是_(1)D(2)a2b2c2abbcac(1)由得ab2，A成立；22，B成立；2，C成立；，D不一定成立(2)a，b，c互不相等，a2b22ab，b2c2>2bc，a2c2>2ac.2(a2b2c2)>2(abbcac)

5、即a2b2c2>abbcac.1在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件2运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即ab2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是ab；a2b22ab成立的条件是a，bR，等号成立的条件是ab.2如果0ab1，P，Q，M，那么P，Q，M的大小顺序是()APQM BMPQCQMP DMQPB显然，又因为，所以.故MPQ.利用均值不等式证明不等式【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且abc1，求证：>9.思路点拨看到>9，想到将“1”换成“abc”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明证明a，b，cR，且

6、abc1，33322232229.当且仅当abc时取等号，>9.本例条件不变，求证：>8.证明a，b，cR，且abc1，1>0，1>0，1>0，··8，当且仅当abc时取等号，8.1条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系2先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法3已知a，b，cR，求证：a

7、4b4c4a2b2b2c2c2a2.证明由均值不等式可得a4b4(a2)2(b2)22a2b2，同理，b4c42b2c2，c4a42a2c2，(a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b2c22a2c2，从而a4b4c4a2b2b2c2c2a2.4已知a1，b0，1，求证：a2b27.证明由1，得b(a1)，则a2baaa6(a1)727，当且仅当a1时，即a1时，取等号1应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有.对于“当且仅当时，成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当ab时，；另一方面：当时，也有ab.2应用均值不等式证明不等式的关键在于进行

8、“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构.1思考辨析(1)对任意a，bR，a2b22ab，ab2均成立()(2)若a0，则a22.()(3)若a>0，b>0，则ab.()提示(1)任意a，bR，有a2b22ab成立，当a，b都为正数时，不等式ab2成立(2)只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a22成立(3)因为，所以ab.答案(1)×(2)×(3)2设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()Aab<0B0<<1C.< Dab>abCa>b>0，由均值不等式知<一定成