高中数学球面距离的计算

1、球面距离的计算在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段劣弧的长叫做球面上这两点间的球面距离（也叫球面上的短程线或测地线）。如下图，球的半径为R，球面上有任意两点、，其中、分别为、两点的经度数，、分别为A、B两点的纬度数，过A、B两点的大圆劣弧所对的圆心角为，试证明A、B间的球面距离为：（角均为弧度）证明：如上图，与分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过B、D的大圆分别为A、B的经度圈，且经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，连结EB、AB，则在中，由余弦定理，得：又由余弦定理，得，比较上述两式，化简整理得：（角均

2、为弧度）所以（角均为弧度）所以A、B间的球面距离为：（角均为弧度）从上面的推导过程可以看出，求解A、B两点的球面距离，关键是要求出圆心角的大小，而要求，往往要先求弦AB的长，再利用余弦定理求出。所以求两点的球面距离，常常要先求这两点的弦长距离。应用球面距离公式的说明：（1）要注意经度和纬度的正负性：一般规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负；使用两点的球面距离公式时，要将经度和纬度的正负号代入公式计算。（2）两点的经度差的计算规则是：当两点同为东经或同为西经时，；当两点一为东经，一为西经时，或者。（3）当两点的经度相同时，即时，A、B间的球面距离为：（角均为弧度）（4）当两点的纬度相同时，

3、即时，A、B间的球面距离为：（角均为弧度）例1.已知、两地都位于北纬，又分别位于东经和西经，设地球半径为，求、的球面距离。例2.已知直线l平面，O为垂足，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=5，AB=6，AA1=8，Al，B1，则OC1的最大值为_ 变式训练： 1.在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为_2.已知球面上有A、B、C三点，BC=23，AB=AC=2，若球的表面积为20，则球心到平面ABC的距离为_3.（2006湖南）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图1，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是_4.（2006四川）

4、已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角B-OA-C的大小是_5.（2006陕西）水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面的距离是_6.（2007江西）四面体的外接球球心在上，且，在外接球面上两点间的球面距离是_7.（2007四川）设球的半径是1，、是球面上三点，已知到、两点的球面距离都是，且二面角的大小是，则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是_8.（2008重庆)如下图，体积为V的大球内有4

5、个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点。V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）A.V1=B.V2= C.V1> V2 D.V1< V29.（2011全国）已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为，则圆N的面积为_10.（2010全国）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为_ 11.已知地位于北纬、东经，地位于南纬、西经，设地球半径为，则、两地之间的球面距离为_12.用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢.现将半径为1的球体放置于蛋巢上，