高三数学理一轮复习课后作业五十 立体几何中的向量方法

1、课后作业(五十)立体几何中的向量方法一、选择题1(2013·揭阳模拟)平面的一个法向量为n(1，0)则y轴与平面所成的角的大小为()A. B. C. D.2已知平面、的法向量分别为(2，3，5)，v(3，1，4)则()A BC、相交但不垂直 D以上都不正确图77153如图7715，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1，1，1)B(，1)C(，1)D(，1)图77164(2013·清远模拟)如图7716，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90°，F、

2、G分别是线段AE、BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为()A. BC. D5二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150° B45° C60° D120°二、填空题6在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_7(2013·惠州模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_8正四棱锥SABCD中，O为顶点

3、在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_三、解答题图77179(2012·辽宁高考)如图7717，直三棱柱ABCABC，BAC90°，ABACAA，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)若二面角AMNC为直二面角，求的值图771810如图7718，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值图771911(2013·潮州模拟)正ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB，AC于B1，C1，将AB1

4、C1沿B1C1折起到A1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰好是线段BC的中点M.(1)求二面角A1B1C1M的大小；(2)求异面直线A1B1与CC1所成角的余弦值解析及答案一、选择题1【解析】y轴的方向向量为m(0，1，0)，设y轴与平面所成的角为，则sin |cosm，n|，cosm，n，sin ，.【答案】B2【解析】，与v不是共线向量，又·v2×33×(1)(5)×4290，与v不垂直，平面与平面相交但不垂直【答案】C3【解析】M在EF上，设MEx，M(x，x，1)，A(，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，0)，(，

5、0，1)，(0，1)，(x，x，1)设平面BDE的法向量n(a，b，c)，由，得abc.故可取一个法向量n(1，1，)n·0，x1，M(，1)【答案】C4【解析】如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90°，F、G分别是线段AE、BC的中点以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，A(0，2，0)，B(2，0，0)，D(0，0，2)，G(1，0，0)，F(0，2，1)，(0，2，2)，(1，2，1)，|2，|，·2，cos， .直线AD与GF所成角的余弦值为.【答案】A5 【解析】如图所示，二面角的大小就是，22222(&#

6、183;··)2222·，·(2)262428224.因此·24，cos，60°，故二面角为60°.【答案】C二、填空题6 【解析】以A为原点建系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E(1，0，)，D(0，1，0)，(0，1，1)，(1，0，)，设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)，则n1(1，2，2)，平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.【答案】7 【解析】如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，A1(1，0，1)，B(1，2

7、，0)，(0，2，0)，设平面A1BC1的一个法向量为n(x，y，z)，由得，令y1，得n(2，1，2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为，则sin |cos，n|，即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.【答案】8 【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(a，0，0)，P(0，)，则(2a，0，0)，(a，)，(a，a，0)，设平面PAC的一个法向量为n，可取n(0，1，1)，则cos，n，n60°，直线BC与平面PAC所成的角为90°60°30°.【答案】30&

8、#176;三、解答题9【解】(1)证明法一连接AB，AC，由已知BAC90°，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB的中点又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.法二取AB的中点P，连接MP，NP.因M，N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，所以MN平面AACC.(2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示设AA1，则ABAC，于是A(0，0，0)

9、，B(，0，0)，C(0，0)，A(0，0，1)，B(，0，1)，C(0，1)，所以M(，0，)，N(，1)设m(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量，由得可取m(1，1，)设n(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，由得可取n(3，1，)因为AMNC为直二面角，所以m·n0.则3(1)×(1)20，解得(负值舍去)故二面角AMNC为直二面角时，为.10 【解】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)证明依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)则(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0

10、)所以·0，·0.即PQDQ，PQDC.又DQDCD，故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)依题意有B(1，0，1)，(1，0，0)，(1，2，1)设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n(0，1，2)设m是平面PBQ的法向量，则可取m(1，1，1)，所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值为.11 【解】(1)连接AM，A1G，G是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，A，G，M三点共线，AMBC.B1C1BC，B1C1AM于G，即GMB1C1，GA1B1C1，A1GM是二面角A1B1C1M的平面角点A1在平面BB1C1C上

11、的射影为M，A1MMG，A1MG90°，在RtA1GM中，由A1GAG2GM得A1GM60°，即二面角A1B1C1M的大小是60°.(2)法一过B1作C1C的平行线交BC于P，则A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角由PB1C1C是平行四边形得B1PC1C1BP，PMBMBP，A1B1AB12.A1M面BB1C1C于M，A1MBC，A1MP90°.在RtA1GM中，A1MA1G·sin 60°×，在RtA1MP中，A1P2A1M2PM2()2()2，在A1B1P中，cosA1B1P，异面直线A1B1与CC1所成角的余弦值为.法二A1M平面BB1C1C，BCGM，以点M为原点，MG，MB，MA1为x轴，y轴，z轴正方向