高二研究性学习

1、高二（2）数学（1）关于高一数学中分期付款问题高一数学教材中的研究性学习是关于分期付款问题，这个问题在生活中有比较现实的意义，而且研究好了这个问题，对学习等比数列以及等比数列的求和公式的应用可以起到巩固的作用。一、问题的背景故事背景：一外国老太太与一中国老太太的比较：一外国老太太到了快要死去时叹了口气说，我终于还够了买房子的钱，而中国老太太到了快要死去时叹了口气说，我终于攒够了买房子的钱。那么问同学们，你们赞同于哪一种生活方式呢？这个问题提出来之后，大家讨论的结果是，这个故事反应的是两个国家人们消费观念的不同，同样的结果是老太太辛苦一辈子挣得一座房子，但两者的生活质量却有着很大的不同，国外比较

2、早实行分期付款的消费方式，而且信用体系比较完善。现实背景：据统计现在上海以及一些大城市的年轻人越来越多的“负”翁出现，年轻人消费观念正发生着巨大变化，一般的工薪阶层兴起买房热和买车热，他们敢于用明天的钱享受今天的生活。在我们身边，你们可以调查一下是不是也有很多青年人是采用分期付款的方式买的房子和汽车呢？那么，如果是你有了一定的经济能力后也采用分期付款的方式，那么你能不能算一算你每一期将会付多少款呢，会不会影响到自己的生活质量呢？通过这个问题的故事背景，使学生对分期付款问题产生了比较浓厚的兴趣，使我们对问题的展开奠定了良好的基础。单利与复利 例1、 按单利计算，如果存入本金a元,每月的利率为0.

3、8%,试分别计算1月后,2月后,3个月后，12个月后的本利和是多少？ 解:已知本金为a元, 1月后的本利和为a(1+0.8%) 2月后的本利和为a(1+2*0.8%) 3月后的本利和为a(1+3*0.8%) 12月后的本利和为a(1+12*0.8%)一般的，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为n，本利和y随存期n变化的函数式为y=a（1+n*r）。例2、 按复利计算，如果存入本金a元,每月的利率为0.8%,试分别计算1月后,2月后,3个月后，12个月后的本利和是多少？解:已知本金为a元, 1月后的本利和为a(1+0.8%) 2月后的本利和为a(1+0.8%)2 3月后的本利和为a(1

4、+0.8%)3 12月后的本利和为a(1+0.8%)12一般的，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为n，本利和y随存期n变化的函数式为3、分期付款例3、购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买1个月后第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少?(精确到1元)解法1 ：设每月应付款x元，购买1个月后的欠款数为5000·1.008-x，购买2个月后的欠款数为( 5000·1.008-x)·1.008-x 即 5000

5、83;1.0082-1.008x-x购买3个月后的欠款数为(5000·1.0082-1.008x-x)·1.008-x 即 5000·1.0083-1.0082x-1.008x x 购买5个月后的欠款数为：5000·1.0085-1.0084x1.0083x-1.0082x-1.008x x由题意 5000·1.0085-1.0084x1.0083x-1.0082x-1.008x x=0 即 x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.0085这就是说，每月应付款1024元 。解法2 ：设每月应付款

6、x元 ，那么到最后1次付款时（即商品购买5个月后）付款金额的本利和为：（x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x）元；另外，5000元商品在购买后5个月后的本利和为 5000·1.0085元。根据题意， x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.0085解法3：从贷款时（即购买商品时）的角度来看第1个月偿还的x元，贷款时值 ： 第2个月偿还的x元，贷款时值： 第5个月偿还的x元，贷款时值：贷款5000元购买商品时值5000元。由此可列出方程：（2）研究向量在物理中的应用教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的

7、合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用. 教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：一、复习引入：1. 讲解习案作业二十五的第4题.2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？二、讲解新课：例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；

8、在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：(1)q为何值时，|最小，最小值是多少?(2)| |能等于|吗?为什么?探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|10 km/h，水流速度|2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？（

9、3）导数及其应用的研究【知能目标】1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。教学重点和难点教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理教学难点

10、：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用基础回顾1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x,那么函数y相应的有增量 = ；比值 叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的 ,当x0时，有极限，就说y=f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x) 在点x0的导数（瞬时变化率），记作 或 ，当x变化时，f ¢ (x)便是x的一个函数，称之为f(x)的导函数（简称导数），记f ¢ (x)=y ¢= 2、用定义求导数的一般步骤：（1）求函数的增量y= (2) 求平均变化率（3）取极限，得导数f ¢ (x)= 3、导

11、数的几何意义：f ¢ (x0)是曲线y=f(x)在点P（x0，f (x0)）处的切线的 即 4、几种常见函数的导数C¢= (xn) ¢= (sinx) ¢= (cosx) ¢= (ex) ¢= (ax) ¢= (lnx) ¢= (logax) ¢= 5、导数的四则运算 若y=f(x),y=g(x) 的导数存在，则f(x) ± g(x) ¢= f(x) g(x) ¢= ¢= 6、复合函数y=f(g(x)（其中u= g(x)）的导数yx¢= 7、函数的单调性与

12、其导函数的正负如下关系：在开区间（a,b）内，如果 ，那么函数在这个区间内 ，如果 ，那么函数在这个区间内 ，反之？求可导函数y=f(x) 的单调区间的步骤：（1）求f ¢ (x) (2)解不等式f ¢ (x)>0(或f ¢ (x)<0)(3)确认并写出单调区间8、极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x0附近所有的x都有 ，则称f (x0)是f(x)的一个极大值；如果对x0附近所有的x都有 ，则称f (x0)是f(x)的一个极小值。可导函数点x0处的导数为0是f(x)在x0处取得极值的 条件9、求函数y=f(x) 极值的步骤：（1）确定函数的定义

13、域 (2) 求方程f ¢ (x)=0 （3）解不等式f ¢ (x)>0(或f ¢ (x)<0)顺次将函数的定义域分成若干小开区间(4)判断 f ¢ (x)=0的根的两侧f ¢ (x)的符号，确定是否为极大值、极小值。10、在闭区间a,b上连续的函数f(x)必有 和 求在闭区间 a,b上的连续函数y=f(x)最值的步骤：（1） （2） 三、巩固练习1、 函数f(x)可导，则= 2、 已知f(x)=x2+2x f ¢ (0),则f ¢ (2) = 3、 函数f(x)=x32x2+x6的单调区间为 （4）论证方法的研究

14、综合法和分析法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想.（答案：若，且，则 ）2. 已知，求证：.先完成证明 讨论：证明过程有什么特点？3. 提问：基本不等式的形式？ 4. 讨论：如何证明基本不等式. （讨论 板演 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：(1).出示例1：已知a,

15、b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） 板演证明过程（注意等号的处理） 讨论：证明形式的特点(2).提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.(3) .练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.(4) .出示例2：在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为ABC等边三角形. 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？