重庆科创学院微分方程电子教案第31节

1、重庆科创职业学院授课方案（教案） 课名：高等应用数学（下） 教师： 乔旭安 班级： 编写时间： 课题：6.3二阶常系数线性微分方程（一）授课时数2节教学目的及要求：1、掌握二阶常系数线性非齐次微分方程解的性质与通解结构2、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，3、掌握当与是两个不相等的实根教学重点：1、二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，2、当与是两个不相等的实根教学难点：当与是两个不相等的实根教学步骤及内容 ： 一、二阶线性微分方程解的结构形如的方程，称为二阶线性微分方程.当时，方程(1)成为称为二阶线性齐次微分方程，当时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程。当系数、

2、分别为常数、时，则称方程为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程为二阶常系数线性非齐次微分方程。旁批栏：即满足方程,所以它是方程的解。这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解的线性组合 仍是方程的解。那么，是不是方程的通解呢？例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程容易验证：都是它的解。由定理1 知 也是它的解。但这个解中只含有一个任意常数，显然它不是所给方程的通解。旁批栏：二、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构定理 设， 是二阶常系数线性齐次微分方程的两个解，则 也是方程的解，其中是任意常数。证 因为都是方程的解,所以问题：方程两个特解满足什么条件时，为任意常数才是方程的通解？由例1分

3、析可知，如果方程的两个特解之间不是常数倍的关系，那么它们线性组合得到的解为任意常数就必定是方程的通解。定义 设与是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数 或存在不全为零的常数，使得对于该区间内的一切 ，有成立，则称函数与在该区间内线性相关，否则称与线性无关。旁批栏：定理 如果函数与是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则为任意常数就是方程的通解。例验证与都是微分方程的解，并写出它的通解。解所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程对及分别求导，得及把它们分别代入方程左端，得故与都是原方程的解。常数与是线性无关的两个特解，由定理得原方程的通解为，其中是任意常数。旁批栏：三、

4、二阶常系数线性非齐次微分方程解的性质与通解结构二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为常数它所对应的齐次方程为定理 设是二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解，是方程所对应的齐次方程的通解，则是方程的通解。证由于是方程的解，而是方程所对应的齐次方程的通解，所以有及把代入方程的左端，得即满足方程，从而是方程的解。又因为是方程所对应的齐次方程的通解，其中已含有两个独立的任意常数，所以中也含有两个独立的任意常数，从而它是方程的通解。例1求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解。解易验证：是所给方程的一个特解，且所给方程对应的齐次方程的通解为旁批栏：，由定理可知，是所给方程的通解。定理 设分别是二阶常系数

5、线性非齐次微分方程的特解，则是微分方程 的特解，其中p，q是常数。证 由假设有和把代入方程的左端，得是方程的一个特解。四、二阶常系数线性齐次微分方程的解法（一）是方程的解，把及代入方程，整理后得因故得称一元二次方程为二阶常系数母性齐次微分方程的特征方程。特征方程的根为。旁批栏：与是两个不相等的实根于是与都是方程的解，且常数即与线性无关，因此方程的通解为为任意常数小结：通过对二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构的了解，要求学生掌握二阶常系数线性非齐次微分方程解的性质与通解结构，从而进一步掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法（一）四、作业布置： 二（1，3，5）板 书 设 计一、二阶线性微分方程