高三数学复习向量

1、2012高三数学复习 向量一向量的概念1.定义既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模即有向线段的长度.2.表示方法:用字母表示如等.用有向线段表示如,等.用坐标表示在平面直角坐标系中,设向量的起点O为原点,终点A坐标为,则的坐标为,记为=.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为.向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线

2、向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线.共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.例.判断下列命题是否正确：（1）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；（ ）（2）若，则；（ ）（3）与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（ ）（4）单位向量都相等；（ ）（5）任一向量与它的相反向量不相等； （ ）（6）四边形ABCD是平行四边形的充要条件是； （ ）二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=记=(x1,y1),=(x1,y2)则

3、=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积记则·=x1x2+y1y2注意：向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。 D E C A B 例。1.如图，在五边形ABCDE中，a ，b ，c ，d ，试用a ，b ， c ， d表示向量和.=a+b+d=-a-b-c-d D C E F A B 2.（1）在四边形ABCD中，若，则此四边形是梯形（2）已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：.3.已知,则实数x=_6_.4.已知则_,(-2,-6)_,(4,-2)与的

4、夹角的余弦值是_.5在中,若,则=.； 6.边长为的正三角形中，设，则=提示：，. 7.已知平面上三点满足则的值等于提示: 为直角三角形, , 和夹角的余弦为,和夹角的余弦为,8.已知的三个顶点及平面内一点，且，则点与的位置关系是在边上 提示:由题设得, 在边上.9.已知为平面上四点，且，则点在线段上提示:,这表明点在直线上, , 和同向, , .10.平面直角坐标系中, 为坐标原点, 已知两点, 若点满足, 其中且, 则点的轨迹方程为.提示：设,则, , 消去得.11.在中,设,又向量,若,.则点过的 心证明: 和分别是上的单位向量, 以和为边的四边形为菱形,的终点在的平分线上. 可为正,负

5、或零,表示点在的平分线所在直线上12.如图，在直角ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。解：(二)运算律加法：(交换律); (结合律)实数与向量的乘积：设、为实数; ;两个向量的数量积:·=· ()·=·()=(·);(+)·=·+·两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，例如(±)2=(三)重要结论平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，叫做的线性组合。叫做表示该平面内所有向量的一组

6、基底;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.即如果且,那么.当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面向量的坐标表示.(2).平面向量的坐标运算：设=,=，则+=-=，=·=设A，B,则即向量坐标等于终点坐标减去起点坐标两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量,则(x1,y1)=(x2,y2)，三点A、B、C共线的充要条件：(M为任意点)=；两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，则两个向量数量积的重要结论： 即 (求线段的长度);(垂直的判断); (求角度)。叫做向量在方向上的投影（如图）.数量积的几何意义

7、是数量积等于的模与在方向上的投影的积.如果,则,三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为、,则ABC的重心的坐标是“按向量平移”的结论：点按向量=平移后得到点向量=按向量=平移后得到的向量仍然为=三角形五“心”向量形式:设角所对边长分别为，则为的外心为的重心为的垂心为的内心为的的旁心典型例题1 在OAB中，C是AB边上一点，且(>0)，若a，b，试用a，b表示. 2.设点P是线段上的一点，、的坐标分别为，(1) 当点P是线段上的中点时，求点P的坐标；（）(2) 当点P是线段的一个三等分点时，求P的坐标（）3.已知a，b，当a+2b与2ab共线时，值为4.与向量a = (12，5)

8、平行的单位向量为 或5.已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 与方向相反的单位向量是(0,1)6.在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，则·=±27.设向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围是.t0且t8.已知ab，|a|2，|b| 3，且向量3a+2b与kab互相垂直，则k的值为9.已知向量a（3，4），b（2，x），c（2，y）且ab，ac则|bc|=10已知，则ABC的形状一定是直角三角形11.如图，在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，若，则与的夹角等于12已知向量a，b，c满足|a|=1，|a-b|=|b|，（a-c）·（b-c）=0，若对每一个确定的向量b，|c|的最大值和最小值分别为m，n，则对于任意向量b，m+n的最小值是_.13如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为；14.若把圆按向量平移后,恰好与直线相切,则实数的值为_. 或提示:圆的圆心为,半径为,圆按向量平移后,圆心为,由题意得,.15.证明：对于任意的，恒有不等式证明：设，则,而即，得16