高三数学数列的极限

1、高三数学试题及高考分析本周复习内容：数列的极限本周复习重点：数列的极限运算，数列及其极限的综合问题<一>关于数列极限的运算1运算法则：an=A, bn=B. (1) (2) (3) 注意：运算法则只可应用于有限个数列的运算当中。2几个基本数列的极限 (1) c=c (2) (3) qn=0 (0<|q|<1)3数列极限运算的几种基本类型：(1) 关于n的分式型 (2) 关于n的指数型(3) 无穷多项的和与积 (4) 无穷递缩等比数列<二> 本周例题例1求下列数列的极限：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (a,b>0

2、)分析：求数列的极限首先应判断属于哪一种基本类型，然后考虑如何转化哪一种基本数列的极限解决问题。解: (1) (2) =.(3) = = =(4) = =或另解：原式= (5) 分析：应能够很快地由数列的通项可识别出此数列为公比为(-)的无穷递缩等比数列。 。(6) = =注：数列不存在极限，不能直接用运算法则，因此变形后化为基本数列的极限解决。(7) = 当0|a|<3时，=. 当|a|>3时，=. 当a=3时，=。 当a=-3时，=（极限不存在）。 综- ，(8) =(9) a>b>0时，=。 当b>a>0时，=。 当b=a>0时，=。综上：=小结

3、：求数列的极限难点问题有几类，<i> 无穷多项的和与积；如上例中第(3),(4),(5),(7),(8)，不能直接用极限的运算法则，先要将所给形式变形，化简，如(3)是约分化简，(4) 是转化为两个等比数列的和，(5) 的关键是能够判断其为无穷递缩等比数列，(7) 则是光用等比数列求和公式化简，(8)却应用的是特殊数列求和的基本方法裂项求和达到化简的目的。<i i >关于n的指数型数列的极限，若含有参数的幂的形式（关于n的），则需要讨论，以确保符合条件0<|q|<1，才可应用来解决问题。例2. (1) 已知 求a, b.(2) 已知, , 求：。(3) 已知

4、： , 求a.解：(1) 即有：，则有(2) , , .又 , , .又 =,由，得 ， =6。(3) , 当|a2|>4时，= 不存在，当0<|a2|<4时，=，当a2=4时，=， 有：a2=4, 即a=±2.小结：本例中几问共同特点是已知数列的极限，反过来求式子中待定的系数。解决的方法仍是化归为求数列的极限问题。如(1)中，已知一个关于n的分式型的极限，实际上考察了对关于n的分式型极限求法的掌握情况。应使学生明确形如：的极限问题关键看分子，分母中关于n的项的最高次项的系数，如果不能确定其系数时，即需要讨论。例3(1)在等比数列 an中，a1>1，且前n项和

5、Sn满足，求a1的取值范围。(2) 数列an, bn均是公差不为0的等差数列，且，求。解：(1) an为等比数列，又a1>1,且 , 因此an为无穷递缩等比数列，设 an公比为q. , 1-q=a12, 0<|q|<1, 0<|1-a12|<1,解得：a.(2) 设 an公差为d, bn公差为d', , , na2n=na1+(2n-1)d, .小结：数列的极限与等差，等比数列的知识的结合是经常考察的问题，尤其要注意对于无穷递缩等比数列的识别，及求和公式的正确运用。例4已知数列an前n项和为Sn, 此无穷数列对于不小于2的正整数n, 满足1-Sn=an-1

6、-an.(1) 求a1, a2, a3. (2) 证明an为等比数列。(3) 设，求(b1+b2+bn)的值。解：(1) S2=a1+a2, 1-(a1+a2)=a1-a2, 解得:, S3=a1+a2+a3, 同理解得：, .(2) <方法1>,由a1,a2,a3推测 (nN).用数学归纳法证明 当n=1时，上式成立假设当n=k(k1, kN)时，成立。欲证当n=k+1时，成立， 1-Sk+1=ak-ak+1, 1-(Sk+ak+1)=ak-ak+1, 1-Sk=ak.(I)同理，1-Sk+1=ak+1.(II)(II)-(I)得：1-Sk+1-(1-Sk)=ak+1-ak -ak+1=ak+1-ak, 2ak+1=ak, , n=k+1时，命题也成立。由对于 nN, 均成立。<方法2> 当n2时，1-Sn=an-1-an.1-Sn+1=an-an+1.-得：Sn+1-Sn=an-1-2an+an+1, an+1=an-1-2an+an+1, ,即 ， an为等比数列。(3) (b1+b2+b3+bn)=.小结：数列，极限，数学归纳法常常将几个知识点综合起来考察，因此需要清理解决问题的方法及知识体系，这是提高能力的关键。<二> 本周参考练习：(1) an为等比数列，a1=-1，前n项和为Sn,