邓泽华向量代数与空间解析几何课件

1、第七讲 向量代数与空间解析几何（数学一）考纲要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程及其求法.5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.6.会求点到直线以及点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.9.

2、了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.一、向量代数问题1向量的概念答相关内容有1.向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量.向量的大小称为向量的模，记作，向量的模.模为1的向量称为单位向量.与轴，轴，轴同向的单位向量分别记作，.若为非零向量，则是与同向的单位向量.任一向量，这是表示向量的一种重要方法.若向量与模相等、方向相同（经平行移动能够重合），则称向量与相等，记作向量.以为起点，为终点的向量.以原点为起点，为终点的向量称为点的向径，.2.向量的夹角、向量的方向角与方向余弦向量与的正方向的夹角，称为向量与的夹角，规定.向量与轴，轴，轴正方向（，）的夹

3、角称为向量的方向角，方向角的余弦称为向量的方向余弦.向量的方向余弦，.将向量单位化，可以求出向量的方向余弦.例题1.求质量为的质点对质量为的质点的引力.解 引力大小，与同方向的单位向量，则引力，其中.本题求引力的方法在用积分求连续体对质点的引力时很重要.2.已知两点和，求向量的模、方向余弦和方向角.解，与同向单位向量，方向余弦，方向角.问题2 向量的运算答 进行向量运算时，一要注意运算的可行性，二要掌握向量的运算律.设向量，.1.向量的加法由平行四边形法则或者三角形法则给出，其坐标运算为.2.数乘向量是一个向量，其模，其方向规定为：当时，与同向，当时，与反向，其坐标运算为.向量的加法和数乘统称

4、为向量的线性运算，它们的运算律（交换律、结合律、数乘对加法的分配律）和坐标运算与线性代数相同.3.向量的数量积，其中为向量与的夹角，其坐标运算为.向量的数量积的运算律（交换律，对加法的分配律）和坐标运算与线性代数相同.4.向量的向量积是一个向量，其模，其方向垂直于且符合右手规则，其坐标运算为.5.向量的混合积.向量的向量积、混合积的运算律可利用它们的坐标运算并结合行列式性质记忆，如，.进行向量运算时，尤其要注意向量运算和实数运算的差别：向量的向量积不满足交换律，即；向量的数量积和向量积不满足零因子律，即或者，或者；向量的数量积和向量积不满足消去律，即，.例题1.下列命题是否正确？；若，则或者，

5、若，则或者；若，则，若，则.若，且，则.解不正确，因为向量积不满足交换律，正确的是；不正确，因为数量积、向量积都没有零因子律：不能推出或者，不能推出或者；不正确，因为数量积、向量积都没有消去律：不能推出，不能推出.正确，因为，又，故，从而.2.设为单位向量，且，求. 解由题设知，向量构成一个边长为1的正三角形，故，类似可得，所以.3.设，则. 解.问题3 向量在几何上的应用答1.由数量积的定义知；.因此可以用数量积求向量的模（长度）；求两个向量的夹角；讨论向量的垂直关系.2.由向量积的定义知以向量为邻边平行四边形的面积；或者.因此可以用向量积求平行四边形的面积和三角形的面积；判断三点共线：三点

6、共线的充要条件是，求一个同时垂直于的向量.3.由混合积的几何意义知，混合积的绝对值等于以向量为共点棱的平行六面体的体积. 因此可以用混合积求平行六面体的体积和四面体体积；判断四点共面：四点共面的充要条件是.4.向量在平面、直线问题中有广泛应用：推导平面的点法式方程推导直线的点向式（对称式）方程求平面与平面的夹角（法向量的夹角）、直线与直线的夹角（方向向量的夹角）、直线与平面的夹角（方向向量与法向量夹角的余角）；讨论平面与平面、直线与直线、直线与平面的平行、垂直关系；推导点到平面的距离公式；推导点到直线的距离公式；求两条异面直线的公垂线的长；解决平面几何、立体几何问题，推导余弦定理.例题 1.若

7、且，则与的夹角.解，即故，.2.设，求与的夹角.【】解【求两向量的夹角】，两式相减，得，代入上式，得，3.若且与的夹角，求与的夹角；【】以与为邻边的平行四边形的面积.【】解设与的夹角为，则，由余弦定理，得，故，.以与为邻边的平行四边形的面积为.4.已知点和，试在轴上求一点，使的面积最小.解设为轴上任意一点，则，的面积的面积，当时，最小，故所求点为.5.证明三角形的三条高线交于一点.证 如图，已知，要证.，又，故，所以.二、平面与直线问题4 平面的法向量与平面方程答主要内容有1.平面的法向量 任何垂直于平面的非零向量.2.平面的方程平面的点法式方程 过点且法向量为的平面方程为；平面的一般式方程；

8、平面的截距式方程.3.求平面方程的方法利用平面的点法式方程，关键是找出平面上一点和平面的法向量，这是求平面方程的基本方法.利用平面的一般方程，这种方法主要用于求特殊位置的平面方程.利用过直线：的平面束方程，关键是由题设条件确定其中的参数.利用求点的轨迹的一般方法.例题1.经过点并且与直线：垂直的平面方程为.【】2.求与直线：和直线：都平行且经过坐标原点的平面方程.【】3.求经过点和直线：的平面方程.【】4.求经过直线：且与平面垂直的平面方程.【】5.设一平面通过从点到直线的垂线，且与平面垂直，求此平面的方程.解【求平面方程，利用平面束方程】先求垂线方程：直线的方向向量，通过点垂直于直线的平面方

9、程为，即，由解得垂足为，从点到直线的垂线的方向向量为，垂线方程为，即设过垂线的平面束方程为，即，要它与平面垂直，只要它们的法向量垂直，即，故所求平面方程为.6.求通过点和且与面成角的平面方程.解【求平面方程，利用截距式方程】设所求平面方程为，其法向量，它与面的法向量成角，故，解得，代入平面方程并化简得或者.问题5 直线的方向向量与直线方程答 主要内容有：1.直线的方向向量 任何平行于直线的非零向量2.直线的方程直线的点向式（对称式）方程 过点且方向向量为的直线方程为；直线的参数式方程 ；直线的一般式（面交式）方程 3.求直线方程的方法利用直线的点向式（对称式）方程，关键是找出直线上一点和直线的

10、方向向量，这是求直线方程的基本方法.利用直线的一般方程，关键是找出直线所在的两个平面.例题1.经过点并且与平面：垂直的直线方程为.【】2.求过点且平行于平面，又与直线相交的直线的方程.【】解设所求直线的方向向量为，则垂直于平面的法向量，又所求直线在过点与直线的平面上，该平面的法向量，故所求直线方程为.3.求经过点并且与直线：垂直相交的直线方程. 【】问题6 如何求平面与平面的夹角、直线与直线的夹角、直线与平面的夹角？如何讨论平面与平面、直线与直线、直线与平面的平行、垂直关系？答 平面与平面的夹角定义为它们的法向量的夹角；直线与直线的夹角定义为它们的方向向量的夹角；直线与平面的夹角定义为直线的方

11、向向量与平面的法向量的夹角的余角，并规定这些夹角取值范围为.平面与平面平行的充要条件是它们的法向量平行，平面与平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直；直线与直线平行的充要条件是它们的方向向量平行，直线与直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直；直线与平面平行的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行.综上所述，平面与平面、直线与直线、直线与平面的夹角、垂直、平行问题均转化为它们的法向量和方向向量的夹角、垂直、平行问题例题1直线与直线的夹角为.【】解 直线的方向向量，直线的方向向量，故这两条直线的夹角.2直线与平面的位置关系是.【垂直】解

12、 直线的方向向量，平面的法向量，故直线垂直于平面.问题7 如何求点到平面的距离？如何求点到直线的距离？答 1.点到平面的距离.2.点到直线的距离公式，其中为直线上一点，为直线的方向向量.其几何意义是以为邻边的平行四边形的高.例题1.求点到平面的距离.解 由点到平面的距离公式，得.2.求点到直线的距离.三、曲面与曲线问题8 何谓旋转曲面？如何求旋转曲面方程？答旋转曲面是曲线绕定直线旋转所形成的曲面，该曲线称为旋转曲面的母线，定直线称为旋转曲面的轴.求旋转曲面方程的方法有：利用已知结论：面上的曲线绕轴旋转所得旋转曲面方程为，面上的曲线绕轴旋转所得旋转曲面方程为.例如面上的曲线绕轴旋转所得旋转曲面方

13、程为，绕轴旋转所得旋转曲面方程为.利用求曲面方程的一般方法.例题1.求直线在平面上的投影直线的方程,并求绕轴旋转一周所成曲面方程.解的方程为，过的平面束方程为，即，令，即法向量，得，故，所以投影面方程为，故投影直线的方程为过曲面上任一点作垂直于轴的平面，交轴于，交于，由，得，又解得，代入，得旋转曲面方程.2.求直线：绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程.【】3.设，则线段绕轴旋转一周所成曲面与所围立体体积为.解 直线的方向向量，方程为，即旋转曲面垂直于轴的截面面积，所求旋转体体积.问题9 何谓柱面？母线平行于坐标轴的柱面方程有何特点？答柱面是直线沿曲线平行移动所形成的曲面，该曲线称为柱面的准线，该

14、直线称为柱面的母线.母线平行于轴的柱面方程为，方程中不含.问题10 曲线与曲线在坐标面上的投影答空间曲线可以看作两个曲面的交线.1.曲线方程曲线的一般方程曲线的参数方程2.空间曲线在坐标平面上的投影空间曲线的方程为，由曲线方程消去得到投影柱面方程，从而得到在面上的投影方程例题求空间曲线在面上的投影.解 由方程组得，解得，（舍去），投影柱面为，投影曲线为问题11 二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面和椭圆锥面）答考纲要求了解常用二次曲面的方程及其图形（用截痕法）.椭球面的标准方程：；抛物面的标准方程：（时为椭圆抛物面，时为双曲抛物面）；双曲面的标准方程：（单叶双曲面），（双叶双曲面）；椭圆锥面的标准方程：.例题1.方程表示何种曲面？答当时，表示单叶双曲面；当时，表示圆柱面；当时，表示圆锥面.2.求直线绕轴旋转所得旋转面的方程，它表示什么曲面？解 设为旋转面上任一点，过该点作轴的