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文档简介

1、要求：前六个题每人选3个，第7题到第14题每人任选1个。第三章Poisson过程1、设是强度为的Poisson过程，令，其中L>0为常数，求的一维分布，均值函数和相关函数。2、设是强度为的Poisson过程，证明对于任意的，3、设有两个相互独立，强度分别为的Poisson过程，证明在过程中两个相邻事件间，过程出现k个事件的概率为4、设复合Poisson过程，证明也是平稳独立增量过程。5、对于齐次泊松过程，计算的联合分布。6、产生一个泊松随机变量。设随机变量列服从（0，1）上的的均匀分布，且相互独立：若,证明服从参数为的指数分布；若定义为满足下式之值：，其中利用证明服从均值为的泊松分布。7

2、、考虑一个从底层起动上升的电梯。以记在第层进入电梯的人数。设相互独立，且是均值为的泊松变量。在第层进入的各个人相互独立地以概率在第层离开电梯。=1，令为第层离开电梯的人数。求；的分布是什么？的联合分布是什么？8、考虑一个具有个面的骰子，且假定每掷一次只呈现其一面，第面以概率出现，。给定数，以记直到第面出现次时所需掷次数，。令,于是是对某个,第面出现次时所需掷次数.的分布是什么?诸独立吗?设抛掷是在参数为=1的泊松过程所产生的随机来到时刻进行的。以记直到第面出现次所需要时间，令， 的分布是什么?诸独立吗?导出的表达式。用导出的表达式。9、个体按照参数为的泊松过程进入系统。每个来到的个体相互独立地

3、经历系统的状态。以记一个体来到后经过时间处于状态的概率。以记在时刻处于状态的个体数。证明相互独立且服从均值为一个体从进入系统到时止处于状态的时间。10、证明非齐次泊松过程的增量服从均值为的泊松分布。11、一个二维泊松过程是在平面上随机发生的事件构成的过程，使得（i）对于任一面积为的区域，其中的事件数服从均值为的泊松分布；（ii）不相交的区域中的事件数是相互独立的。对此过程，考虑平面上任意一点，以记它与最近的事件间的距离，此处的距离是指通常的欧氏距离。证明 ；。12、设是复合泊松过程，计算。13、对一个条件泊松过程：（a） 解释为什么条件泊松过程有平稳增量但无独立增量。（b） 在已知,即过程直到时的历史资料条件下，计算的条件分布，并且证明它只依赖于。解释为什么会是这样的。（c） 在已知=的条件下，计算之后第一个事件发生的时刻的条件分布。（d） 计算（e） 以表示来到间隔，它们独立吗？它们同分布吗？14、考虑一个条件泊松过程，其中服从参数为与

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