在坐标表象中处理一维线性谐振子问题

1、初中物理题目在坐标表象中处理一维线性谐振子问题作者单位：响水滩乡中心学校作者姓名：宁 国 强2012年9月28日在坐标表象中处理一维线性谐振子问题响水滩中心学校宁国强摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。关键词：一维线性谐振子；坐标表象；一、 能量本征值、本征函数的求解取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维线性谐振子的势 能为V（x）=2x2（ 1）2其中是谐振子的质量，是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为(2)体系的能量本征方程（亦即不含时Schr?di nger方程）为n2»dx2+寸曲2?單（X ）=E

2、屮（X）(3)屮闍1 一惟凋H子桂廉克舞婷降严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：(4)将方程（3）无量纲化，为此，令(6)这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看在 > _：时的渐进行为。当很大时，与2相比可以略去，因而在时，方程可近似表示为=0d2-'）二：时，它的渐近解为2/2。因为波函数的标准条件要求当时'-：应为有限， 所以Le '/2不满足边界条件 式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即e'/2。方 程（6）在为有限处的根据以上讨论，可令方程（6）在为有限处的解有如下形式：2讣 Ae

3、 2 H（8）式中A为归一化系数，（8）代入式，得d2H7-2 #H一 i 日二 o(9)用级数解法，即把H展开成的幕级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项，才能在）二:：时使为有限，而级数只含有限项的条件是'为奇数： - 2n T， n =0,1,2|川|。代入 中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为En # n 1 ， n =0, 1,12川（10）2因此，线性谐振子的能量只取分立值（如图2所示），两相邻能级间的间隔为，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。("Ki罔 2 vWXRTftta当 = 2n 1时，方程（6）的级数解退化为下述厄密多项式:nn 2 d

4、2HnG)-1)，工ne-(11)可以证明，厄密多项式满足正交性公式：，:HmH ne'd二 2nn!°n(12)归一化的谐振子能量本征函数为J a2x2'n X 叭e 2 Hn : x， n =0,1,12川(13)归一化常数An = 一12/ T2nn!(14)线性谐振子的能量本征函数满足以下正交归一关系:'- m（X）n（X）二：:m（X）n（X）dX mn(15)二、能量本征态下力学量平均值的计算利用厄密特多项式的递推公式及（13）（ 14）式可以导出下列非常有用的公式:1炉n X 一nd Xn 1 X(16)(17)/ n X 二長nf- n X 2

5、nn X 厂2； n 2 xn 1d*n XdX(18)d 2.2d；2X =、n n 仁 X - 2 n n X n 1 n r n q x利用（16）之（19）及t n（x）的正交归一关系（15）式，可方便地计算出在n（x）态下以下各力学量的平均值:? = ' n X,XX =0？)=(屮 n(X),?(X)=-i 方芦二'-'n x，/- n x 二十 2n 1 二 nd屮 n(X) dX /f * 1 Mn+ - I 2 丿-0V X , ?2n Xn X , 一请£（X）=(20)(21)(22)(23)(24)(25)在上述结果基础上，容易求出' （X）态下谐振子的平均势能和平均动能为V