数列知识点梳理

1、精选优质文档-倾情为你奉上数列知识点梳理一、数列的相关概念(一)数列的概念1数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记.2数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3数列可以看做定义域为（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。(二)数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。(三)数列的分类1 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。2 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。3 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。递增数列的判断：

2、比较f(n+1)与f(n)的大小（作差或作商）(四)数列通项与前项和的关系1 2二、等差数列的相关知识点1定义：。当d>0时，递增数列，d<0时，递减数列，d=0时，常数数列。2通项公式： d=，d= 是点列（n，an）所在直线的斜率.3前n项的和： 是等差数列。4等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5、等差数列的判定方法(nN*)(1)定义法: an+1-an=d是常数 (2)等差中项法:(3)通项法: (4)前n项和法:6性质:设an是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq 特别地，当时，则有(2) an,an+m,

3、an+2m组成公差为md的等差数列.(3) Sn, S2n-Sn, S3n-S2n组成公差为n2d的等差数列.(4)若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 均是等差数列，公差分别为：(5)若等差数列、的前和分别为、，且，则 .如设与是两个等差数列，它们的前项和分 别为和，若，那么_，_（6）的最值：法1、可求二次函数的最值；法2、求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值.例：若是等差数列，首项，则使前n项和 成立的最大正整数n是 （答：4006）7知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,8、巧设元：三数:, 四数：9、项数为偶

4、数的等差数列，有，项数为奇数的等差数列，有， ，.例、项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.10、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.三、等比数列的相关知识点（类比等差数列）1、定义：（为常数，）或 2、通项公式：=（）= 3、前项和：（要注意q的讨论）（q1）4、等比中项：成等比数列，或.只有同号两数才存在等比中项，且有两个，如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_5、等

5、比数列的判定方法(nN*)(1)定义法: an+1/an=q是常数 (2)等比中项法:(3)通项法: (为非零常数). (4)前n项和法: 6、性质：是等比数列（1）若，则 特别地，当时，则有 例：在等比数列中，公比q是整数，则=_（答：512）； 各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。（2）an,an+m,an+2m组成公比为 的等比数列.（3）仍为等比数列,公比为. 例、在等比数列中，为其前n项和，若，则的值 为_（答：40）（4）若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；公比分别为：7知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,8、巧设元：三数:,

6、 四数：9、非零常数列既是等比数列，又是等差数列.故常数数列是此数列既成等差数列又成等比数列的 条件. 例、设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 10、正数列成等比，则数列成等差数列；若数列成等差，则数列成等比数列；例、已知且，设数列满足，且，则. （答：）11、 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时， .12.会从函数角度理解和处理数列问题.四、求通项1、等差、等比数列公式法； 2、形如 an+1-an=f(n) 形式，求法：累加法；3、形如an+1=an·f(n),

7、求法：累乘法；4、形如an+1=Aan+B (AB0), 求法：构造法例、已知，求；已知求5、 形如 (k0)形式，求法：m=1时求倒数；另外可能周期数列或构造法例：已知，求（答：）；已知数列满足=1，求（答：）6、已知Sn,求an ， 求法：阶差法. 即利用公式 =注意：一定不要忘记对n取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n2的关系式，从而决定能否将其合并。例、已知的前项和满足，求（答：）； 数列满足，求（答：）7、 已知 求 ，用作商法 .例、数列中，对所有的都有，则_（）五、数列求和的常用方法：1、公式法：（等差、等比数列直接用公式） 常用公式：1+2+3 +n = 例、等

8、比数列的前项和S2，则_（答：）；2、等差数列的绝对值的和 （已知等差数列前n项和为） 当a1>0,d<0时，若ak0,ak+1<0,则:S=|a1|+|a2|+|ak|+|ak+1|+|an|= 当a1<0,d>0时，若ak0,ak+1>0,则:S=|a1|+|a2|+|ak|+|ak+1|+|an|=3、分组求和法： 例、求数列 的前n项和4、 并项求和法 例、（答：）5、倒序相加法： 例、求证： 已知，则_6、裂项相消求和,常见类型； ； 例、求和： （答：）；在数列中，且S，则n_（答：99） 7、错位相减法: 适用于其中 是等差数列，是各项不为0的等比数列。 例、为等比数列，已知，求数列 的首项和公比；求数列的通项公式.（答：，；）； 8、 通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再以上求和法求和。 例、求和： （答：）六、等比数列的前项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中