人教版九年级数学上册《半角模型专题探究》优质课教案_10

1、半角模型专题探究授课人:教学目标学生经历猜想、观察、发现、证明、归纳等数学活动， 对半角模型的特征能准确的识别，同时对解决此类问题的 方法能快速准确的选择，并能灵活应用模型去解决问题， 使数学核心素养自然生成并得到发展！教学重点识别半角模型的特征.教学难点准确灵活运用截长补短法和旋转法解决半角.教学过程:基本模型（1）正方形内含半角已知：如图，在正方形 ABCD中，E、F分别是 BC、CD上的点，且/ EAF =45 .求证：EF=BE+DF.带领学生分析题中的已知条件，引导学生寻找半角模型的特点，对于求证的结论，属于线段的和差问题，应先用截长补短法，或旋转法，学生独立完成.请学生到前面讲解.

2、学生A:补短法学生B；旋转法对于学生在叙述过程中出现的问题需要及时纠正，对于学生可能会犯的错误要特别注意，如旋转的三要素，三点共线的证明.之后通过课件演示动画，展示两种解决方法，使学生能更直观的体会两 种方法的优缺点.变式（1）:已知：如图，在正方形ABCM, E、F分别是CB DC的延长线上的点, 且/EA已 45 ° .猜想：线段BE,DF,EF之间有什么关系并证明.将基本模型（1）进行变式，首先让学生猜想结论 继续探究解决方法.学生A:截长法.学生B:旋”专注.通过两道题的训练，学生能够体会，解决此类半角问题，采用截长补短法或旋转法.但对于半角模型的特征还没有明确掌握 变式（2

3、）已知：如图，在正方形 ABCDfr, E、F分别是BC CD延长线上的点, 且/EA已 45 ° .猜想：线段BE,DF,EF之间有什么关系.通过上面两道题的解决，变式学生可以轻 松的猜想出结论.基本模型（2一等腰直角三角形内含半角如图，已知 RtA ABC 中，ZBAC= 90 ,AB=AC ,点 D、E 在斜边 BC 上，且 /DAE=45探究BD、DE、EC三条线段之间的数量关系，并 对你的猜想给予证明.此题的结论与上一题不同，不是线段的和 差类型，因此需要学生先思考解决方法，画 出辅助线，推理后才能得出结论.止匕题结论：bd2+eC=dE学生用旋转法解决问题.此题的结论是勾

4、股定理形式的，所以也要让学生知道并 非所有的半角模型题的结论都是线段的和差形式.变式：如图，当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，其他 条件不变，上题中的结论是否发生改变？请说明你的猜想 .通过选用相同的旋转法，学生发现此题的 结论没有变，仍与原模型相同.通过前面两种基本模型题的探究，学生发现了我的研究的都是 90°夹45°的题型，现面我们再来探究一下其它度数的半角模型.基本模型（3正三角形内含半角如图，已知：在等边 ABC的两边AB AC上分别有两点 M N,D为AABC#一点, 且/ MDN=60 ,/ BDC=120 ,BD=DC. 求证：BM+CN=

5、MN分析已知条件，此题是120°夹60°问题，而且题 中也有一组有公共端点的线段，因此此题仍可以 使用截长补短法或旋转法解决.让学生自由选择方法解决此题，发现多数学生采 用的仍是旋转法，因为他们发现旋转法可简化证 明步骤，但仍需注意要证明三点共线.由于时间有限，课堂上我们不能把所有的半角模型题都练到 ，但通过前面几道题 的探究此时请学生来总结：1 .“半角模型”的特征：共端点的等线段共顶点的倍半角2 .解决“半角模型”的方法：截长补短法旋转法对于半角模型题我们知道了它的特征和解决方法，下面我们再来看看这种题的结 论还能那些.探究此图结论：正方形 ABCDfr, E、F分别在边BC CD上且/ EAF