专题16坐标系与参数方程(解析版)

1、专题16坐标系与参数方程历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019参数方程2019年新课标1理科22解答题2018综合测试题2018年新课标1理科22解答题2017综合测试题2017年新课标1理科22解答题2016综合测试题2016年新课标1理科23解答题2015综合测试题2015年新课标1理科23解答题2014综合测试题2014年新课标1理科23解答题2013综合测试题2013年新课标1理科23解答题2012综合测试题2012年新课标1理科23解答题2011综合测试题2011年新课标1理科23解答题2010综合测试题2010年新课标1理科23历年高考真题汇编1 - t21 + t24t

2、,十，(t为参数).以1.【2019年新课标1理科22】在直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为2 p cos4皿p sin。+110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值【解答】解：(1)由1 - t2- 1*_Il L4t丁 -1 + 1 (t为参数)1 - t21 + t2y 2t2 1 +产y2x2 + =1两式平方相加，得 4(xW- 1),C的直角坐标方程为4( xw- D,由 2 P cos ,第 p sin 0 +110,得改 + 杂¥ + 11 = 0即直线l的直角坐

3、标方程为得2x + y+H=0.(2)设与直线2x + V5y+ll = 0平行的直线方程为2x + yl3y + m = G(2x + m = 0联立；"'J "，得 16x2+4mx+m2- 12=0.由= 16m2-64 ( m2 -12) = 0,得 m=z(4.产w.当m=4时，直线2x + /"+4=0与曲线c的切点到直线2xM&十ll = a的距离最小，为J2+32.【2018年新课标1理科22】在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 较+2

4、pcos 0- 3= 0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若。与C2有且仅有三个公共点，求 5的方程.【解答】解：(1)曲线C2的极坐标方程为 向2 P cos-93=0.转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x- 3=0,转换为标准式为：(x+1) 2+y2= 4.(2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2,则：该射线关于 y轴对称，且恒过定点(0, 2).由于该射线与曲线 C2的极坐标有且仅有三个公共点.所以：必有一直线相切，一直线相交.则：圆心到直线 y= kx+2的距离等于半径 2.|2-*| ?|2 + k| ,故:"+ k：或 J + M4=解得：k 3或0,当k=。时，

5、不符合条件，故舍去，4同理解得：k 3或04y =T+ 2经检验，直线 3 与曲线C2没有公共点.4y = | 刘 + 2 故Ci的方程为：X = 3cos& ,yn或访，（。为参数），直线lpr =口 + 的参数方程为=, （t为参数）.（1）若2= - 1,求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为的，求a.2 A pc - 3cos61"【解答】解：（1）曲线C的参数方程为iy="仞（。为参数），化为标准方程是：Qy2=1;a=- 1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0;+ y = I9 联立方程卜+_ 3 = Q ,21X =25

6、 24解得1 = 0或125 ,21 24所以椭圆C和直线l的交点为（3, 0）和（2, 2°）.（x = a + 4t（2） l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y- a - 4=0,椭圆C上的任一点 P可以表示成 P （3cosQ sin 0,长0, 2兀），所以点P到直线l的距离d为:3cos6 + 4s出9 - a - 4 |5sin(0 4- <p) - a - 4|3= =. =_d417J7 , 4满足tan ()4,且的d的最大值为短亍.当一a 4W0时，即a> 4时，|5sin ( 0 +州a 4| 4| 5 a 4|= |5+a+4|= 17

7、解得a=8和-26, a= 8符合题意.当a 4>0时，即av 4时|5sin ( 0 +州a - 4| w|5a 4|=|5 a - 4|= 17,解得a=-16和18, a=- 16符合题意.(x = acost4.【2016年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 壮=1十 口就比(t为参数，a>0) .在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： p= 4cos 0.(I)说明C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(n)直线C3的极坐标方程为 0= 00,其中0G满足tan ®=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3

8、上，求a.( x acost ( jc acost【解答】解：(I)由壮:1十口"叫得壮-1两式平方相加得，x2+ (y- 1) 2=a2.C1为以(0, 1)为圆心，以a为半径的圆.化为一般式：x2+y2 - 2y+1 - a2= 0.由 x2+y2= p2, y= psin,。得 p22psin。+伯2=0；2(n) C2: p= 4cos Q 两边同时乘 p得 p=4pcos£ x2+y2= 4x, 即(x- 2) 2+y2= 4 .由 C3： 0= co,其中 co满足 tan 0=2,得 y=2x, 曲线C1与C2的公共点都在 C3上， . y= 2x为圆C1与C

9、2的公共弦所在直线方程，一得：4x 2y+1 - a2 = 0,即为 C3 ,1 - a2= 0,a= 1 (a> 0).5 .【2015年新课标1理科23】在直角坐标系 xOy中，直线C1： x=- 2,圆C2： (xT) 2+ (y-2) 2=1, 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I )求Cl, C2的极坐标方程；71(n)若直线 C3的极坐标方程为 0 4(R),设C2与C3的交点为M, N,求ACaMN的面积.【解答】解：(I )由于 x= p cos,0 y= p sin, 0.- C1 ： x= - 2 的极坐标方程为 p cos甫-2,故C2： (x-

10、1) 2+(y-2) 2=1的极坐标方程为：(p cos6 1) 2+ ( p sin-62) 2= 1,2化间可得 p - ( 2 p cos 0 +4 p sJn +(4 = 0.n(n)把直线 C3的极坐标方程 0 4(R)代入圆 C2： (x 1)之+ (y 2) 2=1,2可得 p - ( 2 p cos 0 +4 p sin +4 = 0,求得 p1=2-J, p2=/，|MN|= | 1-泛广镜，由于圆C2的半径为1, C2MXC2N,1 1 1=,_ 7 7_ _ ?C2MN的面积为占？C2M?C2N 乙？1?1乙.工J2.2x y6 .【2014年新课标1理科23】已知曲线C

11、: "11 ,直线I:2-五(t为参数)(I )写出曲线 C的参数方程，直线I的普通方程.(n)过曲线 C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.22x y Hr =【解答】解：(I)对于曲线 C: 491,可令x= 2cos& y=3sin g(x = 2cos&故曲线C的参数方程为叫(。为参数).对于直线l : 3 = 2- 21，由得：t= x- 2,代入并整理得：2x+y-6=0;(n)设曲线 C上任意一点 P (2cosa 3sin卜d = 14mA田 + 35g日-6|p到直线1的距离为 5,d 2j5PA

12、二二二=|Ssm + a) 6|则 sin300 5,其中“为锐角.2 2一当sin (。+/=-1时，|PA|取得最大值，最大值为5 .275当sin (。+/=1时，|PA|取得最小值，最小值为 '.俨=4 + Scost7.【2013年新课标1理科23】已知曲线Ci的参数方程为8=5 + 5$用工。为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 p= 2sin 0(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(p邛0Wk2兀).X = 4 + 5c-, 片5 + 5星切工，消去参数t,化为普通方程(x-4) 2+ (y-5

13、) 2=25,即 C1： x2+y2 8x- 10y+16 = 0,(X = pCGsO将» 二 P5出。代入 x2+y2- 8x- 10y+16 = 0,2得 P - 8 P cost 10 p sin 0 +160.2 C1 的极坐标万程为 p 8 p cos 8 10 p sin 0 +160.(2) .曲线C2的极坐标方程为p= 2sin 9曲线C2的直角坐标方程为 x2+y2- 2y =0,>2 + y2-8x- 10y+ 16=。联立（/+/-Zy = O俨=1 俨=07171解得壮二1或3=2,衣, Ci与C2交点的极坐标为（4）和（2, 2）.X 2cos（p

14、y = 3siu（p （e为参数），以坐标原点为极点，x轴 的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2的坐标系方程是 p= 2,正方形ABCD的顶点都在C2上，且A, B, C,D依逆时针次序排列，点 A的极坐标为（2, 3）.（1）求点A, B, C, D的直角坐标；（2）设P为Ci上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.7157T47r Hr（2,（2, 一），（2, 一X （2,）【解答】解：（1）点A, B, C, D的极坐标为3636点A, B, C, D的直角坐标为%,（一51）, （T, -回、T）（x0 = 2costp 此二克叩，为参数）t= |PA

15、|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16 = 32+20sin2（f） sin2（f） 0, 1.tC32, 52f x = 2,cnsa9.【2011年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为壮二2十2目出川（ “为参数）m TT是C1上的动点，P点满足0P = 2"M, p点的轨迹为曲线 C2（I ）求C2的方程；7T（n）在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线9 3与C1的异于极点的交点为 a,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.x y【解答】解：（I）设P （x, y）,则由条件知 M （，/.由于M点在C1上，XZc

16、osa2y .5 = 2 + 2sina j x = 4cosa 所以"即7 = 4 +缶/3从而C2的参数方程为x = 4cosaU = + 4$切。(a为参数)(n)曲线 Ci的极坐标方程为 p= 4sin 8曲线C2的极坐标方程为 p= 8sin 97TH射线0 3与Ci的交点A的极径为 仍= 4sin3 ,7TH射线0 3与C2的交点B的极径为 很=8sin3.所以 |AB|= | 2 pi| = 2寸，工=1 + ECOS.fx COS&10.【2010年新课标1理科23】已知直线c4 y = tstg(t为参数)，C2% = 5MH (。为参数)，7T(I)当a

17、3时，求Ci与C2的交点坐标；(II)过坐标原点 。做Ci的垂线，垂足为 A, P为OA中点，当a变化时，求P点的轨迹的参数方程，并 指出它是什么曲线.7T【解答】解：(I)当a 3时，Ci的普通方程为C2的普通方程为x2+y2=1.丁二叔X- 1)联立方程组| /十/二1 ,1价(-K - 1解得Ci与C2的交点为(i, 0) 22 .(n ) Ci的普通方程为 xsin or ycos a- sin 后 0.则OA的方程为xcosa孚sin后0，2联乂可得 x= sin a, y= - cos a sin aA 点坐标为(sin2 a, cos a sirj) ,a,1 Mx sm a21

18、 g为参数）y sinacosa2故当a变化时，P点轨迹的参数方程为：1 1（第）2+ / = 一P点轨迹的普通方程1 1（一,。） 一故P点轨迹是圆心为 4,半径为4的圆.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：极坐标方程与直角坐标方程的转化，极坐标几何意义的应用，参数方 程与普通方程的互化，参数方程的应用。历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点 为：极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的应用.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的应用为重点较佳 .最新高考模拟试题x = 3 2

19、cos -1,在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（口为参数），以直角坐标系的原点 。为极y = 1 2sin ;点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；互冗（2）设曲线li的极坐标方程为 日=一（P之0）,曲线12的极坐标方程为 日=一（P之0）,求三条曲线C, li, 63I2所围成图形的面积【答案】（1） P=4sin（e+土）；（2）曲十3【解析】22（i）由条件得圆c的直角坐标方程为（xJ3）十（y1）=4, 得 x2 十 y2 -23Xx _2y =0，将 x = PcosH , y = Psin6 代入, 得 P2 -2用Pcos8 -2 PsinQ =0

20、,即 P = 2J3cos0 +2sin6 ,则 P=4sin |6 +- i, 3所以圆C的极坐标方程为 P = 4sin 19 l'（2）由条件知曲线li和12是过原点O的两条射线，设li和12分别与圆C交于异于点。的点A和B,将0 =二代入圆C的极坐标方程，得6A'4, i,所以 OA = 4； ,6n将9 =一代入圆C的极坐标方程，得3B 2x31 3，所以 OB 2.3.由（1）得圆C的圆心为 C （省,1）, 冗其极坐标为C 2,6故射线11经过圆心C,JI JI JEJI所以 /COB = 1 - = , /ACB = 2/COB =1. 3 6 6311 _所以

21、 S应OB = OC OB sin/COB = OA OB sin 一 = v3 , 2461 122扇形CAB的面积为Scab =1 22 =2，2 332 二故二条曲线C, * 12所围成图形的面积为 Sob + Scab =迎十 一. 3x = 1 cost2.在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为 L (t为参数). y 二43 sint（I ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程;（n）若射线9=豆与C有两个不同的交点 M、N ,求OM +ON的取值范围.【答案】(I) P2-2(cos8+singP + 3=0 () (2百4【解析】 解：(

22、I )曲线C的直角坐标方程为(x 1)2 +(y 括2 =1 ,即x2 + y2 2x2j3y + 3 = 0 ,又 x2 十y2 = P2, x = Pcos8, y = Psinl,所以曲线C的极坐标方程为 P2 -2（cos0 +V3sin0）P+3 = 0 .(n )联立射线 6 与曲线 C ,得 P2 -2(coso(十 J3sinct)P+3 = 0 ,设 M(P1P), N(P2,«),|OM | |ON |= R ：2 = 2(cos ：. 3.、一 J ，nsin a) =4sin I a + I,6又圆心c（i,J3）的极坐标为，冗 I冗冗2,- I,所以a的取值

23、范围是-<a <-,362所以Kd，"iW十6穴2月4吁+6>4,所以OM +ON的取值范围为（2 73,4.3.选彳4-4：坐标系与参数方程:在平面直角坐标系x°y中，已知曲线C的参数方程为x = cos ,*(日为y = sn参数），直线l的参数方程为/24二一2 二 t,13（t为参数），点P的坐标为（2,0 ）.y 二t13（1）若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且PM =2MQ ,求动点M的轨迹方程.(2)设直线l与曲线C交于A, B两点，求 PA PB的值.【答案】(1) ,+2 1 +y2 =4 (2) 33,9【解析】(1)设 Q

24、(cos"sin8 ), M (x, y ),则由 PM = 2mQ,得(x+2,y ) = 2(cos6x,sin日y),3x 2 =3cos/即3y =2sin -.消去6,得，x+2 I +y2 =4 ,此即为点 M的轨迹方程.39225 一(2)曲线C的普通万程为X2+y2 =1 ,直线l的普通方程y= (x + 2),125512设 a 为直线l的倾斜角，则 tana = 一 , sinct = 一 ,cosa = ,12131312 x=2 t,则直线l的参数方程可设为(t'为参数)，13y =-t132 48代入曲线C的普通方程，得t'2 一22t

25、9;+3= 0,13248 s 276 八由于= I I 12 =>0，,13169故可设点A,B对应的参数为甘，t2,则 |PA PB =t； t2 =tt2 =3.4.在直角坐标系xoy中，曲线Ci的参数方程为x=1 一场10.10y =3 t10(t为参数)，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P = 8sinH+6cos8 .(1)求C2的直角坐标方程;(2)已知P(1,3 ), Ci与C2的交点为A,B,求PA -PB的值._ _22【答案】(1) (x3) +(y4) =25； (2) 20【解析】(1)由 P=8sin日+6cos日，得 P

26、2 =8Psin8+6PcosH , 2222x2 +y2 _6x-8y =0,即(x-3) +(y-4) =25.c、儿310；J。；c / 3.10,10,(2)设 A 1 11,3 +11 I, B 1 -12,3 +121010101022 一代入(x-3) +(y-4) =25,x=1 一晅10c 10 +y = 3 110得t2 +J10t _20=0,则ti,t2是该方程的两个实数根,.甘2=<0,故 PA PB =堞2 =20.x = 1 t cos;5,在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为i（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正y =tsin ;半轴为极轴建立极坐

27、标系，曲线 C的极坐标方程为 P=2sin 9 ,直线l与x轴交于点p ,与曲线C交于两点 M , N .（1）求曲线C的直角坐标方程；11(2)求 2+2"的取值范围.PMPN【答案】(1) x2 y2 -2y =0 (2) (2,6【解析】解：(1)由 p= 2sin 0,得 J=2fsin。，把 2 = x2+y2, y = psin 0代入，可得 x2+y22y=0.，曲线C的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0；x = 1 tcos-（2）将直线l的参数方程iy =tsin：代入圆的方程，得 t2+ (2cosa- 2sin a) t+1 = 0.由= ( 2cosa- 2

28、sin a) 2 - 4>0,得 sin2 a< 0,t1 +t2 = 2cos c+2sin a, 11t2 = 1.1.1 二 I t22 二。1 t2)2 0|PM 2 |PN |2112t222 2 t"22 = 24sin智.sin2 a< 0.-. 2 4sin2a (2,6_2_2|PM |PN |的取值范围是（2, 6.6.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为J_x = 1 cos-（a为参数），以O为极点，x轴的非负半轴 y = sin ;为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 Pisine+cose3(1)求C的极坐标方程和直线l的直角坐标方

29、程;(2)射线日=81 G1 !-, I i与圆C的交点为O, M ,与直线l的交点为N ,求OM <! 6 3L范围.【答案】(1)圆C的极坐标方程为 P = 2cos 0 .直线l的直角坐标方程为x + '3 y _ 1 = 0 .3【解析】(1)圆C的普通方程是(x1)2+y2=1,将 x = Pcose , y = Psin H 代入上式：(Pcos日-1)2 + P2sin2e =1 ,化简得：P = 2cos6所以圆C的极坐标方程为 P = 2cosH.直线l的极坐标方程为P i sin日+cos63二1 ，将 x = PcosH , y = Psin 8 代人上式，

30、得：x+，3y_1 = o,3，直线l的直角坐标方程为x+y-1 =0.3(2)设M ( Re ),因为点M在圆C : p =2cosH上，则有匕=2cos4 ,设N(P2,a1),因为点N在直线l: PliasinH+cos日=1,则有 I3J：213 sin 1 cos1311所以 |OM| |ON|十2 ,isin. cos.32近tan4+1,3f-或颁an 4收二333tan 4+1 2,ON的取值1,3r ,2倒3 一，一J3,即倒|OM | |ON| 3,tan -1 ' 13故|OM |ON |的范围为1,3.7.选彳4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，

31、以。为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为x. 211 xP = 2sin9+2acos0(a >0)；直线l的参数方程为.直线l与曲线C分别交于2 , ( t为参数)2y = t2M、N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若点P的直角坐标为(-2,0), PM |+| PN =5衣，求a的值.【答案】(1)曲线C的直角坐标方程为(xa)2+(y1)2 =a2+1,直线l的普通方程为xy + 2 = 0.(2)a = 2【解析】(1)由 P =2sin 8+2acosH(a >0),得 P2 =2 Psin日+2Pacos日(a a

32、0),所以曲线C的直角坐标方程为x2 + y2 =2y+2ax,即(xa)2+(y1)2 = a2+1 ,由直线l的参数方程得直线l的普通方程为x-y+2 = 0.(2)将直线l的参数方程x = -2 -2t,2代入x2_ .2 + yT2+ y =2y+2ax,化简并整理，得 t2 -(3:2 、2a)t 4a - 4 = 0.因为直线l与曲线C分别交于M、N两点，所以 =(3 J2 +J2a)2 4(4a+4) > 0 ,解得a#1,由一元二次方程根与系数的关系，得t+t2=3+&a, t42=4a +4,又因为a>0,所以短2 >0.因为点P的直角坐标为(-2,

33、0),且在直线l上，所以|PM |十|PN |=t1|十同=3贬十缶 =5夜，解得a = 2,此时满足a >0,故a = 2.1 x = cos28.曲线Ci的参数方程为2(中为参数)，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系y-sin :2 2中，曲线C2的极坐标方程为 Pcos2 0 =3sin日.(1)求曲线Ci的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)若直线l : y =kx与曲线Ci, C2的交点分别为 A、b ( A、B异于原点)，当斜率kwt，、6时，求1OA +舟的最小值.【答案】(1) Ci的极坐标方程为P = sin日；曲线C2的直角坐标方程2 2.2x =

34、3y . (2)(1)由题曲线的参数方程为jx = 1 cos :2y =- - sin :2 2(中为参数)，消去参数,21 2122可得曲线C1的直角坐标方程为 x +(y)=，即x +y y=0,24则曲线G的极坐标方程为P2 -Psin9 =0,即P=sin8 ,又因为曲线C2的极坐标方程为Pcos2 日=3sin 日，即 P2 cos2H =3Psin 日，x = :cos根据 n 凸，代入即可求解曲线C2的直角坐标方程x =3y.y = :一 sin -(2)解法1：设直线l的倾斜角为0JIx tcos：则直线l的参数方程为(a为参数,y =tsin：把直线l的参数方程代入曲线Ci

35、的普通坐标方程得:t2tsina = 0 ,解得t1把直线l的参数方程代入曲线C2的普通坐标方程得:t2cos= 3tsina ,解得t13sin 工2cos 二=t23sin 二2cos 二OB|2cos 二3sin 二2sin ;)'；k 史，的,即tana R国，回,JiMsin 世sin工2sin ;-2.12sin : -2.2,=0, t2 =sina , ，OA =|t2 = since ,.、屋一当且仅当= 2sin a ,即sin a = 时去等,1故0A +厂一的最小值为 |ob|解法2:设直线|的极坐标方程为日=o( <a < 代入曲线C1的极坐标方程

36、，得 P sin a，二|oA = s =sina把直线l的参数方程代入曲线 C2的极坐标方程得：pcos2e =3sin a ,3sin -3sin -=sina +OB2cos -3sin + 2sin a),曲线C1的参'；k W 一,3J3,即 tana c , J33*兀1.3,一 Wsin u W ,2sin 二 一 2当且仅当sin 二sin 二1=2sin 支，即 sin a =sin 二时去等故OA +OB的最小值为2.239.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是«y = 4sinx = 2 4cos:(a为参数)，把曲线C向左平移2个单0(位，再把图象

37、上的每一点纵坐标缩短为原来的一半(横坐标不变)Ci ,直线l的普通方程是J3x +y -2 =0 ,以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l的极坐标方程和曲线 Ci的普通方程;(2)记射线日=(p至。)与C1交于点A ,与l交于点B ,求6AB的值.【答案】(1)psin 8+3= 1,x2 +4y2 =16 ； (2)蛀1.7曲线C的普通方程为:(x2)2 +y2 =16,经过变换后得到Ci的方程为:x2 +(2y)2 =16 ,2即G的普通方程为：x22-4y =16.直线l的极坐标方程为:串pcos 0+ psin 0-2=0, IP：psin( 0 + )=1.

38、3(2)由(1)可求Ci的极坐标方程为:7T(pcos8) +4( psin 0) =16 ,令 8=一解得: 664 日口8.7，即：p = 士,77- PA=8(P 之 0)， TT一同理直线l的极坐标方程中令 。=:有：PB =1 ,故 AB = Pa Pb8%7_178.7-1 .10.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2cos2日+3P2 sin28=12，点p的极坐标为(2,S，倾斜角为口的直线l经过点p .(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；L.J(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求PAPB的取值范围【

39、答案】(1)124x - -2 tcos： y =tsin ;(2)【解析】22(1)由 P2 cos2 6 +3P2sin2e =12 可得，x2 + 3y2 =12 ,即 上+上=1.124设点 P(x,y),则 x=2xcosn = _2, y = 2xsinn = 0,即点 P(2,0), x - -2 tcos：,.，直线l的参数方程为（t为参数）y =tsin 二（2）将直线 l 的参数方程代入 x2+3y2=12 得，（1 + 2sin2a ）t2 4tcos« 8 = 0,4 =48 + 48sin2 a a 0恒成立，设点A对应的参数为t1 ,点B对应的参数为t2

40、,4cos8c则 t1 +t2 =2 , t1t2 =2 <0 ,1 2sin2：1 2sin2 ：则|PA| |PB| 同 h 跄|同2+t2 2 -4日233 +3sin2at211 .选彳4-4 :坐标系与参数方程_x = 2 2cos1在平面直角坐标系 xOy中，圆C的参数方程为i（日为参数），以坐标原点。为极点，x轴y = 2sin的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 Pcosie- = 13（1）求圆C的极坐标方程;（2）已知射线mW =ap '0, I：若m与圆C交于点a （异于点O）, m与直线l交于点B ,求蛆包 .2|OB|的最大值.【答案】（1）

41、 P =4cos9 ； （2） 3【解析】x = 2 2cos1（i）由圆c的参数方程为i消去参数e,y = 2sin i得到圆的普通方程为（x2）2+y2=4,即x2十y24x = 0,所以其极坐标方程为P2 -4Pcos6 =0 ,即P =4cos8 ；（2）由题意，将0 =a.代入圆C的极坐标方程得 OA = PA = 4cosce -将日=a代入线l的极坐标方程，得OBcos I 3LL , |OA| ,二所以=4cos ):cos I -|OB|.3= 4cos：. 1cos：. sin：.22=2cos2ot +2 V3sin otcosa =j3sin 2a +cos2ot +1

42、=2sin(2a +) +1 , 6一冗因为 & 0 I 0, I, ,2一 八二 7二所以2a +=.一,I66 6以取得最大值3. |OB|12 .选彳4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的方程为（x-2J3）2 +2x = , 3t(y+1) =16 ,直线l的参数方程为4(ty = t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求直线l和曲线C的极坐标方程;（2）设直线l与曲线C交于A, B两点，求AB的值.【答案】（1）l： e=PWR), C： P2 4石Pcos"2Psin8-3 = 0； (2) 后(1)由x = J

43、3y得y=Y3x ,所以l的极坐标方程为(=£(PW R), 36由(x 2封2 +(y +1)2 =16得 x2 +y2 _4>/3x+2y 3=0 ,又因为 x2+y2=P2, x = PcosB , y= PsinB ,所以曲线C的极坐标方程为 P2 -473pcose +2Psine -3 = 0.(2)将日=工代入 P2 -4J3Pcos0 +2Psine _3 = 0, 6可得 p2_6P+p_3=0,即 p2_5P_3 = 0,所以已+2=5,乌0=3,由极坐标几何意义得 |AB|= R _P2| =J(P1 + P2 j_4P1P2 =J25 + 12 =737.13 .在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x2)2+y2=4,过点(2,0)且斜率为k(k>0)的直线l与曲线C相切于点A.(1)以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程和点 A的极坐标；(2)若点b在曲线C上，求AOAB面积的最大值.5 二一【答案】 P = 4cos8 ；点A的极坐标为(2,)或(2,) . (2)