立体几何试题解析

1、立体几何试题解析1.如图，在四BSABCD中，底面ABCD是正方形，SA_L底面ABCD,SA=AB,点M是SD的中点，AN_LSC,且交SC于点N.(I)求证：SB/平面ACM；(II)求二面角D-AC-M的大小；(III)求证：平面SAC，平面AMN.解法一：(综合几何法)解法二：(空间向量法)3 .如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB_LBC,PD_LCD,且PA=2,E为PD中点.(I)求证：PA_L平面ABCD；(n)求二面角E-AC-D的大小；2、5(出)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由.解

2、法一：(综合几何法)DC解法二：（空间向量法）C4 .如图，在正方体ABCDAiBiCiDi中，E为AB的中点.(1)求直线BiC与DE所成角的余弦值；(2)求证：平面EBiD，平面BiCD;(3)求二面角EBiCD的余弦值.解法一：(综合几何法)EB解法二：(空间向量法)DiCtAEBPC ± AD .底面 ABCD 为梯形，AB/ DC ,6 .如图，四棱锥PABCD中，PA，底面ABCD,AB.LBC.PA=AB=BC，点E在PB上，且PE=2EB.(I)求证：平面PAB，平面PCB；(n)求证：PD/平面EAC;(出)求二面角A-ECP的大小.解法一：(综合几何法)EADPC

3、解法二：（空间向量法）D是AC的中点.7 .如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，/ABC=90：AB=BC=BB1=1,求ABi与AC所成的角的大小；(II)求证：BD，平面AB1C；(III)求二面角C_AB1_B的大小.解法一：(综合几何法)间向量法)解法二：(空8 .如图，在三棱锥PABC中，PA=PB,PA_LPB,AB_LBC,/BAC=301平面PAB_L平面ABC.(I)求证：PA，平面PBC;(n)求二面角P-AC-B的大小；(m)求异面直线AB和PC所成角的大小.解法一：(综合几何法)c9 .如图，在直三棱柱ABCAiBiCi中，/BAC=90°,AB=BB1，直

4、线BC与平面ABC成30°角.(I)求证：平面BiAC，平面ABBiAi；(II)求直线AiC与平面BiAC所成角的正弦值；(III)求二面角B-BiC-A的大小.解法一：(综合几何法)解法二：(空a间向量法)10 .如图，三棱锥PABC中，PC_L平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点，且CD_L平面PAB.(I)求证：AB，平面PCB;(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；(III)求二面角C-PA-B的大小.解法一：(综合几何法)解法二：（空间向量法）11,直三棱柱ABC-A1B1C1中，/ACB=120,AC=CB=AiA=l,Di是A1B1上一动点（可以

5、与Ai或Bi重合），过D1和CC的平面与AB交于D.(I)证明BC/平面AB1C1；（II）若D1为A1B1的中点，求三棱锥B1-C1AD1的体积VBcad；111（出）求二面角D1-AC1-C的取值范围解法一：（综合几何法）AD BA1C .解法二：（空间向量法）DC1A1B112 .四棱锥P-ABCD中，PA，底面ABCD,AB/CD,AD=CD=1,NBAD=120°PA=J3,/ACB=90。(D求证：BC_L平面PAC；(n)求二面角D-PC-A的大小；(m)求点B到平面PCD的距离.解法一：(综合几何法)C解法二：（空间向量法）P13 .已知如图(1),正三角形ABC的边

6、长为2a,CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足%=_2£=匕CACB现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图(2).(I)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由;(II)求二面角B-AC-D的大小；(m)若异面直线AB与DE所成角的余弦值为立，求k的值.1.(I)证明：连结交于，连结是正方形，是的中点.是的中点，是的中位线.又平面，3分又平面，平面.4分（n）解：取中点，则.作于，连结.5分底面，底面.为在平面内的射影. ，一. 为二面角的平面角.7分设，在中，二面角的大小为.9分（III）证明：由条件有平面，10分又是的中点，平面11分

7、由已知平面又平面，平面平面5分方法二：解：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由故设，则底面， 是平面的法向量，.设平面的法向量为，7分则即令，则.,，二面角的大小为.9分（III），12分又且.又平面，平面，平面.14分2.（I）证明：连结，设与的交点为，连结.是的中点，是的中点,3分4分（n）解：设点到的距离为在三棱锥中，且.易求得即点到的距离是.9分（出）解：在平面内作于点，过点作于点，连结易证明，从而是在平面内的射影，根据三垂线定理得是二面角的平面角易求得，在中，二面角的大小是.14分解法二：在直三棱柱中，两两垂直.如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系

8、，与的交点为，则(n)解：设点到的距离为在三棱锥中，且易求得即点到的距离是.9分(出)解：在平面内作于点，过点作于点，连结易证明，从而是在平面内的射影，根据三垂线定理得是二面角的平面角.易知的大小是3解法一：(I)证明：.底面为正方形,，又，平面，.2分同理，4分平面.5分(n)解：设为中点，连结，又为中点，可得，从而底面过作的垂线，垂足为,连结由三垂线定理有，.二为二面角的平面角.7分在中，可求得.9分二面角的大小为.(出)解：由为中点可知，要使得点到平面的距离为，即要点到平面的距离为.过作的垂线，垂足为,平面，平面平面，平面，即为点到平面的距离.，,.12分设，由与相似可得,即在线段上存在

9、点，且为中点，使得点到平面的距离为.解法二：(I)证明：同解法一.(n)解：建立如图的空间直角坐标，则.设为平面的一个法向量，则，又令则得8分又是平面的一个法向量，设二面角的大小为，则二面角的大小为.(出)解：设为平面的一个法向量，则又，令则得12分又，点到平面的距离，.,解得，即.在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点.4 解法1：（1）取A1D，则A1D/B1C知，B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角，连结A1E.由正方体ABCD-A1B1C1D1可设其棱长为a，（2）取B1C的中点F,B1D的中点G,连结BF,EG,GF.GF,BECD,BEGF,四边形BFGE是平行四边形，

10、BF/GE.（3）连结EF.解法2：如图建立空间直角坐标系A-xyz.则A（0，0，0），B（2a，0，0）,C（0，2a，0）A1（0，0，2a），B（2a，2，2a），C1（0，2a，2a）（1）取AB的中点H，连结CH.（3）设平面AB1E的一个法向量为由于平面AEF的一个法向量为故设与m所成角为.由于平面AB1E与平面AEF所成的二面角为锐二面角，的平面角的余弦值为.5 .解法一：（I）连结BD.在中，.，点为AC的中点，.即BD为PD在平面ABC内的射影，.2分分别为的中点，.4分（11） .连结交于点，丁,，为直线与平面所成的角，6分.,又丁,.1-1,，在Rt中，.8分（出）过点

11、作于点F,连结，即BM为EM在平面PBC内的射影，为二面角的平面角.11分中，.13分解法二：建立空间直角坐标系B?xyz,如图，则，.（D,4分（n）由已知可得，为平面的法向量，直线与面所成角的正弦值为.，直线与面所成的角为.（出）设平面PEF的一个法向量为aa ，a ，a由已知可得，向量为平面PBF的一个法向量，a.，二面角的正切值为14分6.证明：（I）PA，底面ABCD,.又AB，BC,，平面.又平面，平面，平面.（II）PA,底面ABCD,.AC为PC在平面ABCD内的射影.又PCXAD,，AC，AD.在梯形中，由AB±BC,AB=BC，得，.又AC，AD,故为等腰直角三角

12、形.连接，交于点，则在中，又PD平面EAC，EM平面EAC，PD/平面EAC.（出）在等腰直角中，取中点，连结，则.二,平面，平面，且平面平面=,.在平面内，过作直线于，连结，由于是在平面内的射影，故.就是二面角A-CE-P的平面角12分在中，设，则，由，可知：s,代入解得：.在中，.即二面角A-CE-P的大小为解法二：（n）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.设，则，.设，则，解得：连结，交于点，则.7分在中，.又PD平面EAC,EM平面EAC,PD/平面EAC.（出）设为平面的一个法向量，则，.二解得：，.设为平面的一个法向量，则，又，.二解得：，.13分二面角A-CE

13、-P的大小为.14分7 .法一：（I）在直三棱柱中，.是与所成的角.2分在 中，与所成角为II）取中点，连结，是的中点，则.平面，平面.则是在平面内的射影.同理可证.8分又，平面.（III）取中点，连结则为二面角的平面角.12分在中，则.=.14分即二面角的大小为.法二：（I）同法一.（II）建立空间直角坐标系，如图，则，（.6分则，.8分，且.平面.9分（III）,平面.是平面的法向量.由（II）可知是平面的法向量.即二面角的大小为8 解法一：（I）证明：平面平面平面，平面平面，且又（n）解：作 于点，于点，连结.平面平面，分设，,根据三垂线定理得，是二面角的平面角 .6，即二面角的大小是.

14、则 是异面直线 和 所成的角或其补角（出）解：在底面内分别过作的平行线，交于点易知底面为矩形，从而，在中，平面 平面 ， 平面 . 过点 作 的平行线， 交 于.2 分异面直线和所成角的大小为.解法二：作于点点.如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，.4分（I）证明：.又.（n）解：作于点，连结平面，根据三垂线定理得，是二面角的平面角.在中，从而即二面角的大小是.(出)解：，异面直线和所成角的大小为.9 .解法一：(I)证明：由直三棱柱性质，B1B，平面ABC,B1B±AC,又BALAC,B1BnBA=B, .AC,平面ABB1A1,又AC平面B1AC, 平面B1

15、ACL平面ABB1A1.4分(II)解：过A1做A1MXB1A1,垂足为M,连结CM,平面B1ACL平面ABB1A,且平面B1ACn平面ABB1A1=B1A,.A1M，平面B1AC.A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角， 直线B1C与平面ABC成30°角，B1CB=30°.设AB=BB1=a,可得B1C=2a,BC=, 直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为9分(III)解：过A做AN±BC,垂足为N,过N做NOLB1C,垂足为O,连结AO,由ANLBC,可得AN,平面BCC1B1,由三垂线定理，可知AOXB1C,./AON为二面角B-B1C-A的平面角，

16、 二面角B-B1C-A的大小为14分解法二：(I)证明：同解法一4分(II)解：建立如图的空间直角坐标系A-xyz, 直线B1C与平面ABC成30°角， ./B1CB=30°.设AB=B1B=1, 直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为9分(III)解：设为平面BCC1B1的一个法向量， 二面角B-B1C-A的大小为14分10 .解法一：（I）.PC平面ABC,平面ABC,.PCAB.2分CD平面PAB,平面PAB,.CDAB.4分又，AB平面PCB.（11） 过点A作AF/BC，且AF=BC，连结PF，CF则为异面直线PA与BC所成的角由（I）可得AB±BC,

17、CFAF.由三垂线定理，得PFAF则AF=CF=，PF=，在中，tan/PAF=, 异面直线PA与BC所成的角为.（III）取AP的中点E,连结CE、DE. .PC=AC=2,CEPA,CE=. CD平面PAB,由三垂线定理的逆定理，得DEPA 为二面角C-PA-B的平面角.由（I）AB平面PCB,又.AB=BC,可求得BC=.在中，PB=,在中，sinZCED=.，二面角C-PA-B的大小为arcsin.解法二：（I）同解法一（II）由（I）AB平面PCB,PC=AC=2,又AB=BC,可求得BC=.以B为原点，如图建立坐标系则A（。，0）,B（0,0,0）,C（,。，0）,P（,。，2）.

18、，则+0+0=2= 异面直线AP与BC所成的角为.（III）设平面PAB的法向量为m=（x，y，z），则即解得令=-1,得m=（，0，-1）设平面PAC的法向量为n=（），则即解得令=1,得n=（1,1,0）.12分=，二面角C-PA-B的大小为arccos.14分11 .方法1:（I）证明：依条件有CB/C1B1,又C1B1平面AB1C1，CB平面AB1C1，所以CB/平面AB1C1.3分（II）解：因为D为AB的中点，依条件可知C1DXA1B1.所以=XC1D1X（XA1AXD1B1）=xX（X1X尸.7分（出）解：因为D1是A1B1上一动点，所以当D1与A1重合时，二面角D1-AC1-C

19、的大小为兀；当D1与B1重合时，如图，分别延长A1C1和AC1，过B1作B1EXA1C1延长于E,依条件可知平面A1B1C1，平面ACC1A1,所以B1EL平面ACC1A1.过点E作EFXA1C1,垂直为F.连结FB1,所以FBILA1C1.所以/B1FE是所求二面角的平面角.容易求出B1E=,FE=.所以tan/B1FE=.所以/B1FE=arctan.（或arccos）所以二面角D1-AC1-C的取值范围是arctan,兀（或arccos,兀）13分方法2：（I）,（n）略（出）解：如图建立空间直角坐标系，则有A（1，0，0），B1（-，1），C1（0，0，1）.显然向量因为D1是A1B1

20、上一动点，所以当D1与A1重合时，二面角D1-AC1-C的大小为兀；当D1与B1重合时,n1=（0，1，0）是平面ACC1A1的一个法向量.因为=（1，0，-1），=（-，1），设平面C1AB1的法向量是n2=（x，y，z），由n2=0,n2=0,解得平面C1AB1的一个法向量n2=（1,1）.因为n1n2=,|n1|=1,|n2|二,设二面角B1-AC1-C的大小为3,所以cos3=.即3=arccos.所以二面角D1-AC1-C的取值范围是arccos,兀（或arctan,兀）.T3分12 .解法一：证明：PAL底面ABCD,平面ABCD,，/=,.又，平面.4分（2） AB/CD,./A

21、DC=600,又AD=CD=1,为等边三角形,且AC=1.取的中点，则，PAL底面ABCD,面过作，垂足为，连，由三垂线定理知为二面角的平面角.由.二面角的大小为.（3） 设点到平面的距离的距离为.AB/CD,平面面,平面.，点到平面的距离等于点到平面的距离.解法二(1) 同解法一;4分(2) 取的中点，则.又PA，底面ABCD,面，5分5分建立空间直角坐标系，如图.则，设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，则可取；，可取.9分.故所求二面角的大小为.(3) 又.由(II)取平面的一个法向量点到平面的距离的距离为13.解：(I)AB/平面DEF.在ABC中，E、F分别是AC、BC上的点，且

22、满足，AB/EF.图(2) AB平面DEF,EF平面DEF,AB/平面DEF.3分(n)过D点作DGXAC于G,连结BG,AD±CD,BDXCD, /ADB是二面角A-CD-B的平面角.ZADB=,即BDAD.BDL平面ADC.BDXAC.AC,平面BGD.BGXAC. /BGD是二面角B-AC-D的平面角.5分在ADC中，AD=a,DC=,AC=2a,.在RtBDG中，.即二面角B-AC-D的大小为.8分（出）:AB/EF,/DEF（或其补角）是异面直线AB与DE所成的角.9分1-1,.又DC=,，解得13分14解：（I）.直三棱柱ABC-A1B1C1,，B1B，面ABC,B1B&

23、#177;AB.又.ABLBC,.AB，面BCC1B1.连结BC1,则/AC1B为AC1与平面B1BCC1所成角.依题设知，BC1=2,在RtAABCI中，5分（II）如图，连结DF,在ABCI中，D、F分别为AB、BC1的中点，DF/AC1,又DF平面B1DC,AC1平面B1DC,AC1/平面B1DC.10分（III）PB1=x，当点P从E点出发到A1点，即时，由（1）同理可证PB1L面BB1C1C,当点P从A1点运动到A点，即时，三棱锥P-BCC1的体积表达式14分15证明：（I）是AB的中点，又且四边形DCBE是平行四边形，面PBC,面PBC,平面PBC。（II）连接EC,据（I）知，且

24、CD=AE,四边形ADCE为平行四边形，又AD=DC，四边形ADCE是菱形。连接AC交DE于F，连接PF，则，平面PFC。又平面PFC，。（III）平面PFC，平面BCDE，平面平面BCDE，且两平面交于AC，过点P作于H,则平面BCDE,连接DH,则DH为PD在平面BCDE上的射影，就是直线PD与平面BCDE所成的角。由（II）知，就是二面角的平面角，设，则在中，在中，16.(I)证明：连结A1C1、AC、AC和BD交于O,连结C1O.二四边形ABCD是菱形，AC±BD,BD=CD.又二/BCC1=/DCC1,C1C=C1C, ACIBCAC1DCC1B=C1D,DO=OB.C1OXBD,但AC±BD,ACAC1O=O,/.BD，平面AC1,又C1C平面AC1C1CXBD.(n)解:由(I)知ACBD,C1OXBD,./C1OC是二面角a-BD-3的平面角.在ACIBC中，BC=2,C1C=,/BCC1=60?,C1B2=22+()22X2XXcos60?= /OCB=30?,OB=BC=1.C1O2=C1B2OB2=,C1O=即C1O=C1C.作C1HXOC,垂足为H. 点H是OC的中点，且OH