立体几何解题方法技巧

1、专题六立体几何解题方法技巧一、内容提要：立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面，证明位置关系、求距离和求角；具体内容见下表:提要主要内容重点内容位两条异面直线相互垂直、直线与平白两条异面直线相互垂置平行、直线与平白斜父、直线与平白直、直线与平白平行、立体关«系垂直、两个平白斜交、两个平白相互垂直直线与平卸垂直、两个平白相互垂直几何距离两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到平白的距离、两个半白的距离两条异面直线的距离、点到平白的距离角度两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角二、主要解题方法:（一）位置关系1、两条异

2、面直线相互垂直证明方法：证明两条异面直线所成角为90o；证明两条异面直线的方向量相互垂直2、直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；(3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。3、直线和平面垂直证明方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直，证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；(3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。4、平面和平面相互垂直证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。(二)求距离求距离的重点

3、在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。1、两条异面直线的距离求法：如果知道两条.异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，线段长度的求法也可以用向量来帮助解决，求线段AB的长度，可以利用22.AB（AMMNNB）2来帮助解决，但是前提条件是我们要知道|ABn|AM,MN,NB的模和每两个向量所成的角。利用公式d一（其|n|中a、b分别为两条异面直线上的一点，n为这两条异面直线的法向量）2、点到平面的距离求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。Q）等体积法。0向.|ABn|一量法，利用

4、公式d（其中A为已知点，B为这个平面内的任意一点，n|nI这个平面的法向量）（三）求角1、两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；0通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是（0-,向量所成的角范2围是0,如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。2、直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角a,那么所要求的角为一或223、平面与平面所成的角求法：“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找通出来的这个

5、角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求S过射影面积来求cos-5匕（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个S原三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cosa,注意到我们要求的角为a或冗a）；卷）向量法，先求两个平面的法向量所成的角为a,那么这两个平面所成的二面角的平面角为a或冗-oco我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！三、注意的问题：

6、1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我们也要能够运用自如。2、我们如果是通过解三.角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“/a是我们所要求的角”、“线段AB的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。3、用向量来求两条异面直线所成角时，若求出COSa=X,则这两条异面直线所成的角为a=arccos|x|4、在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要一或2一,若求出的角为锐角，就用一，若求出的钝角，就用一。2225

7、、求平面与平面所成角的时，若用第0、0种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。【专题训练】1、已知三棱锥PABC中PB，底面ABCBCA90,PB=BC=C住E是PC的中点，点F在PA上，且3PF=FA.(1)求证：平面PACLPBC(2)求平面BEF与底面ABC所成角(用一个反三角函数值表示)2、如图，四棱锥P-ABCD勺底面是正方形,PA±B面ABCDPA=AD=2点M分别在棱PDPC上，且PCL平面AMN.(1)求证：AMLPR(2)求二面角P-AM-N的大小;(3)求直线CD与平面AMNff成角的大小3、如图，平面ABCD_平面A

8、BEFABC虚正方形，ABEF是矩形，且AF-ADa,G是EF的中点，2(1)求证平面AGC_平面BGC(2)求GB与平面AGCff成角的正弦值.(3)求二面角B-AC-G的大小.4、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，H为平面EDB内一点，HC2m,2m,m(m0)。(1)证明HC1平面EDB；(2)求BC与平面EDB所成的角；(3)若正方体的棱长为a,求三棱锥AEDB的体积。在RtBCM中，HOa,在RtEHO中,.EH1a102即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为arctan/5若利用面积射影法，指出HDB是4EFB在底面ABC上的射影，并计算出其面积1

9、2S射影一a167分计算出Sefb哈a2即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为arccos662、（1）证明：:ABC谣正方形，.CDLAR.PAL底面ABCDPALCD.，CDL平面PAD.AM平面PAD，CDhAM.PCI平面AMN，PCLAM.AML平面PCD.AMLPD.解：AML平面PCD（已证）AMLPMAMLNM.，/PMN二.面角P-AM-N的平面角.PNL平面AMN，PN1NM.在直角PCD中，CD=2PD=2/2,，PC=2V3.VPA=ADAMLPR为PD的中点，PM=1PD='22由RtAPMNRtAPCID得.MNCDPM.PCJ即二面角P-AM-N的大小为arccos也.33、（1）证明：正方形 ABCD CB AB.面ABCD_面 ABEF且交于AB,.CEBL面ABEFAGGB面ABEF，CEBLAGCBLBG又AD=2,AF=a,ABEF是矩形，G是EF的中点，.AG=BG=2i,AB=23,AB2=aG+bG,AGGLBGvCCTBG=B，AGL平面CBG而AG面AGC故平面AGCL平面BGC（2）解：如图，由（I）知面AGC_面BGC且交于GC在平面BGC3作BHLGC垂足为H,贝（JBHL平面AGC./BGHGB与平面AGCff成的角.在RWBG中BH型更严BG