中考复习专题之三角函数与几何结合重点-共11页

1、与三角函数有关的几何题例1、如图3,直线经过。上的点，并且0,4= OB, CA= C8,。o交直线于E D,连接E3 CD（1）求证：直线力H是。的切线；（2）试猜想B3B£三者之间的等量关系，并加以证明；- Ilan Z CED =-八 4（3）若2 ,。的半径为3,求的长.析解：（1）证明：如图6,连接0C .图7 0.4=05, CA=CB,:.0Cl AB.i/IH是。的切线.(2) BC2=BDXBE.”: ED 是直径， ."ECD 好£E+£EDC 网又：N8C0+/OCD = 9O , AOCDODC, SCD".ADLDG垂

2、足为点m是AE的中RC RDBE B .BC2=BD >BE.I CD 1tan Z ( El) = - a = 一 2 , EC 2 .RD CD IJ ss -心BCDsAbec , BC EC 2设BD二鼠则BC = 2a .又 BC2=BDXBE,( 2x) 2=x(x+6解之，得 Ai = °, =.:BD= x>0,二" , 0A = 0B= BD+OD = 3 + 2 = 5.2、已知：如图，/IB是O。的直径，:I 切o。于点Cia a/j交©。于点e.(1)求证：BC EC ；4cos Z HEC =- (2)若5 ,求的长.cB3、

3、如图，以线段 AB为直径的。O交线段AC于点E,_1点，OM 交 AC 于点 D, / BOE=60 , cosC=2, BC=2 企.(1)求/ A的度数；(2)求证：BC是。的切线;(3)求MD的长度.分析：(1)根据三角函数的知识即可得出/ A的度数.(2)要证BC是。O的切线，只要证明 AB XBC即可.（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度.1解答：(1)解：/ BOE=60 , . . / A= 2/BOE=30 .1(2)证明：在 4ABC 中，: cosC=2, .-/ C=60 .又. / A=30° , . ABC=90 , . AB，BC. .

4、. BC 是。的切线. (3)解：.点 M是AE的中点，OM ± AE .在 RtAABC 中， BC=2炎，. . AB=BC?tan60 =2x/Sx/3=6.AB133.-OA= 2 =3,OD= 2oA= 2, .MD=2.点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上 某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.4、如图，已知 RtAABC和RtAEBC , / B=90° .以边 AC上的点O为圆心、OA为半径的。O 与EC相切，D为切点，AD / BC.（1）用尺规确定并标出圆心O;（不写作法和证明，保留作图痕迹）求BC

5、的长.(3)若 AD=1 ,(2)求证：/ E=Z ACB ;/ V2tan/DAC 二 f2 ,分析：（1）若。O与EC相切，且切点为 D,可过D作EC的垂线，此垂线与 AC的交点即为 所求的O点.（2）由（1）知 ODLEC,则/ ODA、/ E 同为/ ADE 的余角，因此/ E=/ODA= / OAD , 而AD / BC,可得/ OAD= / ACB ,等量代换后即可证得/ E= / ACB .返（3）由（2）证得/ E=/ACB,即 tanZ E=tanZ DAC= 2 ,那么 BC=%AB ;由于AD / BC,易证得EADs EBC,可用AB表示出AE、BC的长，根据相似三角形

6、所得比例 线段即可求出 AB的长，进而可得到 BC的值.解答：（1）解：（提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点(2)证明：连接 OD. AD / BC , Z B=90° , . . / EAD=90C5 Z E+/ EDA=90,即/ E=90° - / EDA .又圆O与EC相切于 D点，OD ± EC . / EDA+ / ODA=90 ,即/ ODA=90 / EDA .又 OD=OA ,/ DAC= / ODA ,/ DAC= ZE.) AD / BC ,/ DAC= / ACB ,/ E= / ACB .DAV2(3)解：

7、RtADEA 中，tan/E=EA,又 tanZ E=tanZ DAC= 2 ,AB . AD=1 , . EA=爽.RtAABC 中，tan/ACB=BC, tanZ ACB=tan / DAC .AB送BC= 2, 可设 AB= V2x, BC=2x , AD / BC ,RtA EAD RtA EBC .EA AD 加 二.前二灰，即如十岳飞. .x=1 ,BC=2x=2点评：此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等重要知 识，能够准确的判断出 。点的位置，是解答此题的关键.D, DEL AC,垂足为 E.(1)求证：点D是BC的中点;如图，在 4ABC中，A

8、B=AC ,以AB为直径的半圆。交BC于点(2)判断DE与。的位置关系，并证明你的结论;1(3)如果。的直径为9, cosB= 3,求DE的长.分析：(1)连接AD,根据等腰三角形的性质易证；(2)相切.连接 OD,证明ODLDE即可.根据三角形中位线定理证明;解答：(1)证明：连接 AD. AB为直径,AD ± BC . AB=AC ,(3)由已知可求 BD,即CD的长；又/ B=/C,在4CDE中求DE的长.1，cosC=3.在 CDE 中,80总，D是BC的中点;(2) DE是。的切线.证明：连接 OD. BD=DC , OB=OA , OD /AC . . AC IDE, O

9、DXDE.DE是。O的切线.1(3)解：AB=9 , cosB=3, BD=3 . . . CD=3 . AB=AC , . . / B=/C, ce=i, de= 7cd2- CE£=V32- 12=2V2点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大.6、如图以4ABC的一边AB为直径作。O,。与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作。的切线交AC边于点E.(1)求证：DELAC;(2)若/ ABC=30 ,求 tan/BCO 的值.分析：(1)连接OD,根据三角形的中位线定理可求出OD/AC,根据切线的性质可证明DEXOD,进而得证.(2)过。作OFLB

10、D,根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解.解答：(1)证明：连接OD. O为AB中点，D为BC中点， .OD/AC. . 口£ 为。的切线，DEXOD.，DE，AC.(2)解：过。作 OFLBD,则 BF=FD .在 RtABFO 中，/ B=30° ,W3FC=3BF= O OB.在 RtOFC 中,VsO OB . BD=DC , BF=FD ,£obtan / BCO=OF 3<3_±_ 近二二=点评：本题比较复杂，综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、三角函数的定义等知识 点，有一定的综合

11、性.DO为圆心，OC长为半径作圆，交 边相切，切点为 F.7、如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC. O是CD边的中点，以BC边于点E.过E作EHLAB,垂足为H .已知。O与AB(1)求证：OE/ AB ;1(2)求证：eh=2ab；若BE -4,求CE的值.分析：（1）判断出/ B=/OEC,根据同位角相等得出 OE/AB;1 1连接 OF,求出 EH=OF= 2dC= 2AB .（3）求出EHBsDEC,根据相似三角形的性质和勾股定理解答.解答：（1）证明：在等腰梯形 ABCD中，AB=DC ,，/B=/C, OE=OC , ，/OEC=/C, . B=/OEC, . OE/ AB .

12、(2)证明：连接 OF. 二。O 与 AB 切于点 F, OFXAB , / EHXAB ,.OF/ EH ,又 OE/AB,.EH=OF ,二四边形OEHF为平行四边形,4 1. OF= 2cD= 2AB ,1e EH= 2AB .(3)解：连接 DE.CD 是直径，DEC=90 ,贝 U/ DEC= Z EHB ,BH BE 又. / B=/C, EHBA DEC,CE=CD, BE= 4,设 BH=k ,贝U BE=4k , EH=V&E2 - BH' =*'】二k,BH BE 4k2恒.CD=2EH=2 V15k, . . CE=CD=2V15k= 15 .点评

13、：本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆 心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题.8、如图，等腰三角形 ABC中，AC=BC=10 , AB=12 .以BC为直径作。O交AB于点D,交 AC于点G, DFXAC ,垂足为F,交CB的延长线于点 E.(2)求sin/ E的值.（1）求证：直线EF是。O的切线;分析：（1）求证直线 EF是。的切线，只要连接 OD证明ODLEF即可；（2）根据/ E=/CBG,可以把求sin/E的值得问题转化为求 sin / CBG ,进而转化为求 RtA BCG中，两边的比的问题.解答：（1）证明：方法1:连接OD

14、、CD.BC是直径，CDLAB .AC=BC .D是AB的中点O为CB的中点， .OD/AC. DFXAC, ODXEF.，EF 是 O 的切线.方法2:因为 AC=BC ,所以/ A=/ABC,因为 / ADF=/EDB （对顶角）， OB=OD ,所以/ DBO= Z BDO ,所以 / A+/ADF= / EDB+/ BDO=90 . . . EF 是 O 的切线.(2)解：连 BG. BC 是直径，/ BGC=90 .CD= Vac2 - AD2=j7102 - &2=8, .AB?CD=2SAABC=AC?BG,BG=:二105 . cg=45c2-喈)2二卷E BGXAC,

15、 DFXAC , . BG/ EF. . . / E=Z CBG , 14CG T 7 . sin / E=sin / CBG= BC 10 25.点评：考查切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点，再证 垂直即可.I9、如图9,直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与 B、C两点，tan / OCB=2 .(1)求B点的坐标和k的值;(2)若点A (x, y)是第一象限内的直线 y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中, 试写出4AOB的面积S与x的函数关系式；(3)探索:1当点A运动到什么位置时， AOB的面积是4 ;2在成立的，情况下，x轴上是否存在一点 巳 使4POA是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：(