高等数学(上册)第三章教案

1、第三章：一元函数积分学及其应用教学目的与要求 1理解不定积分和定积分的概念及性质。2掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。3会求简单的有理函数的积分。4理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。5了解广义积分的概念。6了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。7掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法所需学时：20学时（包括：18学时讲授与2学时习题）第一节：不定积分的概念与性质1、原函数概念引例 在下列括号中填入适当的函数：（1） （2） 上例中的问题是：已知 求 定义1

2、 若在区间上，对任意有 或 则称是在上的原函数。例如：，则是的一个原函数；又，则是的一个原函数。原函数存在定理： 若是连续函数，则必有原函数。由有，因此可知的原函数不止一个，而是无穷多个。说明：（1）若有一个原函数，则就有无穷多个原函数（为任意常数），即是的全部原函数；（2）的任意两个原函数之差是一个常数。 设，则有由前面所学定理知 2、不定积分定义2 在区间上，函数的全体原函数的集合，称为在上的不定积分，记为 ,其中“”称为积分号，称为被积函数 ，称为被积表达式，称为积分变量.由不定积分的定义可知：求的不定积分就是求的所有原函数.若为的一个原函数，则 .其中为任意常数，称之为积分常数.简言之

3、，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数，再加上任意常数即可.例1 求下列不定积分.（1） （2） （3）解 （1）因为，所以是的一个原函数，于是 .（2）因为，所以是的一个原函数，于是.（3）因为，所以是的一个原函数，于是 .例2 已知某曲线上任意点处切线斜率为，并且曲线过点，求曲线方程。 解： 设曲线方程为，由导数的几何意义和题意知，则有 ；，又因为 ，代入上式得 ，所以曲线方程为3、基本积分公式根据不定积分的定义，由导数或微分的基本公式可得下列基本积分公式（式中为任意常数）.对比导数公式，是记忆积分公式的基础.导数公式积分公式导数公式积分公式以上基本积分公式组成基本积分表，许多不定

4、积分最终要应用这些基本积分公式，请读者务必牢记.利用不定积分的性质和基本积分公式，直接求出不定积分的方法，称为直接积分法.4、不定积分性质性质1 由于是的原函数，则有 或 又由于，是的原函数，则有 或 性质2 ； 例3 求 解： 原式例4 求 解：原式例5 求 解： 原式例6 求 解： 原式例7 求 解： 原式例8 求： 解： 原式例9 求 解： 原式课后作业及小结：1、学习了不定积分相关概念2、掌握基本不定积分公式及其计算方法。作业：P148.2,7第二节：不定积分的换元法与分部法1、引入求.分析 这个不定积分在积分表中直接查不出来，因为它的被积函数是以为变量的复合函数，与积分变量不同.但如

5、果把积分表达式改变一下，使得被积函数的变量与积分变量变得相同，那么就可以公式求出此不定积分了，其中是的函数.解：因为，所以 将上述方法推而广之，若能选择适当的变换，使代换后的积分关于积分变量易于求出，则可求出的积分将大大增加.定理1 （第一类换元积分法） 设连续函数的原函数，具有连续导数，则有换元积分公式.证明 只需要证明等式右边的导数是即可.用这种方法的计算步骤是先“凑”微分式，再作变量替换，因此我们将这类求不定积分的方法也称为凑微分法例 求 解： 原式例 求 解： 原式 例 求 解： 原式例 求 解： 原式 用第一换元积分法解题时，关键是把被积表达式凑成两部分：其一为；其二 为。即因此此法

6、又称为凑微分法。下面给出一些常用的凑微分式子： 例 求 解： 原式= =例 求 解： 原式=例 求 解： 原式=例 求 解： 原式= =例 求 解： 原式= =例 求 解：原式= 例 求 解： 原式= =例 求 解： 原式= = =利用第一类换元积分法求不定积分时，如果变量代换已熟练，那么，中间变量可以不必引入，利用积分公式可直接写出结果.2、第二换元积分法定理2（第二换元积分法） 设是单调可导的函数，且，又设具有原函数，则有其中是的反函数。例 求 解： 令 ，则 =，则， 原式=例 求 解： 令 ，则 因为 ，则 所以， 原式=例 求 解： 利用，即 令 ，则 =， 则 ， 原式 例 求 解

7、： 利用 令 则 ，则 原式 例 求 解：被积函数分母变量次数较高时，可使用倒代换，令补充公式：（P158） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） 例 求下列积分（学生先做） （1） ； （2） ； （3）3、分部积分法前面学习的换元积分法虽然解决了许多积分的计算问题，但有些积分，如：，等，用换元积分法是无法计算的。现由两个函数乘积的微分法则，推出求积分的另一种方法：分部积分法。设 ，具有连续导数，由乘积的微分法则 有 ，两边积分得 上式称为分部积分公式。其作用是若求比较困难，而求比较容易时，可用公式化难为易，上式还可以写为例 求 解：设 ，

8、 则 但如果取 ， ，则上式右边的积分比原积分更复杂，更难求解。因此，在使用分部积分法时，恰当的选取和是一个关键，一般考虑下列两点： （1） 要容易求得； （2） 要比容易计算。 一般地，下列类型的被积函数考虑用分部积分公式：， 等等。例 求 解： 设 ， 则例 求 解 注：若被积函数是幂函数（指数为正整数）与指数函数或正（余）弦函数的乘积时，可设幂函数为。例 求 解： 令 ，例 求 解： 令 注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，可设对数函数或反三角函数为。例 求 解： 设 例 求 解： 例 求 解： 移项得 即 注： 若被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积时，此时 可随意

9、取，但两次分部积分中，必须是同类型。例 求 解： 例 求 解： 令 课后作业及小结：1、学习了第一换元法、第二换元法与分部积分法2、熟练运用3种运算方法。作业：P162.2,3,4第三节：有理函数的不定积分（略）第四节：定积分的概念与性质1、实例分析在初等数学里，我们学习了多边形及圆等特殊图形的面积，但在实际应用中，往往需要计算以曲线为边的图形的面积.任意曲线所围成的平面图形的面积的计算,依赖于曲边梯形面积的计算，所以我们先讨论曲边梯形面积的计算问题.在直角坐标系中，由闭区间上的一条连续曲线，直线及轴所围成的平面图形，称为曲边梯形，如图所示. 如何计算曲边梯形的面积呢？我们知道，当时，曲边梯形

10、就是矩形，其面积可由公式 来计算.当不等于常数时，曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是变化的，故不能用初等数学的方法来计算面积.然而在区间上是连续的，在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变，基于这一认识，我们用平行于轴的直线将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，对于每个小曲边梯形，因其底边所在区间长度很小，所以其上的高近似不变，因而它可近似地看作是底边相同，而高为底边上某一点的函数值所构成的这样一个小矩形.所有这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积的一个近似值.显然,分割越细密，近似程度就越高，从而，将曲边梯形无限细分，所有小矩形面积之和的极限值就是曲边梯形面积的精确值.根据上述思想，我们采用“

11、分割近似代替求和取极限”的过程来计算曲边梯形面积.（1）分割：把以区间 为底边的曲边梯形分成若干个小曲边梯形. 在内插入个分点： 把区间任意分成个小区间：，记第个小区间的长度为（）,过各分点作平行于轴的直线，于是原曲边梯形被分成个以这些小区间为底边的小曲边梯形. (2) 近似代替：求小曲边梯形面积的近似值. 当第个子区间的长度很小时，在其上的变化也很小，因此可以把该子区间上任 图5-2意一点处的函数值（）作为第个小曲边梯形的近似高度，从而它的面积可用以为高，为宽的矩形面积去近似替代，即.(3) 求和：求原曲边梯形面积的近似值. 把这个小曲边梯形面积的近似值加起来，即得曲边梯形面积的近似值：=.

12、（4）取极限：求原曲边梯形面积的精确值. 记，当时，分点的个数无限增多，上面和式的极限如果存在，那就是曲边梯形面积的精确值，即.2、定积分的定义定义 设在区间有定义,在内任意插入个分点：，此分法表示为.分法将分成个小区间：,第个小区间的长度为.在中任取一点，作和数 ，称为在上的积分和. 令,如果当时，和数趋于确定的极限，且与分法无关，也与在中的取法无关，则称在上可积，极限称为在上的定积分，记作. 即.其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，与叫做积分的下限与上限.利用定积分的定义，前面所讨论的实际问题可以分别表述如下：曲线（）,直线及轴所围成的面积等于函数在区间上的定积分即注：（1）如

13、果当时，积分和不存在极限，则称在区间上不可积. （2）若函数在区间上可积，则它在上的定积分是一个常数，这个常数仅与积分区间和被积函数有关，而与积分变量的符号无关,所以尽可以把积分变量换成别的字母而不改变定积分的值,即.（3）在定积分的定义中，是一个区间，所以有. 为了记号上的方便，引入下面的补充说明： 若函数在区间上可积，则； 若函数在点处有定义，则.对于定积分，函数在上满足怎样的条件，在上一定可积?这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件定理1 设在区间上连续，则在上可积定理2 设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积例1 求.解 函数在区间上连续，从而在区间上可积.将区间分

14、成等分，选取 ，作积分和. 则由定积分的定义可知，有，从而 3、定积分的几何意义由曲边梯形的面积公式及定积分的定义可以得出在上连续函数的定积分的几何意义如下：（1）若在上，则定积分表示由曲线 轴及直线所围成的曲边梯形的面积（如图5-3所示）；（2）若在上，则定积分表示上述曲边梯形的面积的相反数（如图5-4所示）；（3）若函数在上有正有负, 则定积分表示各部分面积的代数和（如图5-5所示）.+- +a b +-+图5-3图5-4图5-5 a b 4、定积分的性质性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号的外面,即有（为常数）.性质2 两个函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即. 证明 .这

15、一性质可以被推广到个函数的情形.即 . 性质3（定积分的可加性）若函数在区间上可积，则对任意的， .性质4 如果在区间上，则这个性质的证明请读者自己完成性质5（保号性） 若函数在区间上可积，且，则.此性质也可由定积分的几何意义直接看出来.它有如下几个重要的推论：推论1 若函数在区间上可积，且，则.推论2 ().证明 因为 ， 则 ，即 .性质6 设M与分别为在上的最大值与最小值,那么. 证明 因为,根据推论1得 ，又 ， 故有.这个性质说明，由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围例1 比较下列积分值的大小.（1）与 （2）与解 （1）时，故，因此，.（2）当时，故,因此

16、，.性质7（积分中值定理） 若函数在区间上连续，则至少存在一点，使得, .例2 判断定积分 与的大小。 解：， 由性质5有。例3 估计定积分 的值。 解： 在上， 例4 估计定积分 的值。 解： 设， 所以是上的单增函数，则有， 即 ，所以课后作业及小结：1、学习了定积分基本概念2、熟练运用定积分的性质作业：P177.4,5,6,7,8第五节：微积分基本定理1、变速直线运动的路程（不讲自学）2、积分上限函数设在上连续，则在上可积，又设是上任意一点，那么在上也连续，则在上可积，即 存在，由于定积分的值与积分变量用什么字母无关，因此上述积分可记为若在上变化，也随之变化，则构成一个新函数，记为此函数

17、称为积分上限函数（变上限积分函数）。定理1 若在上连续，则在上可导，且推论1 （由定理和复合函数求导法则可得）推论2 定理2 若在上连续，则 就是在上的一个原函数。例 已知，求 解： 例 求 解： 原式例 求 解：原式3、微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）定理3 若是连续函数在上的一个原函数，则 证： 设是的一个原函数，又也是的一个原函数，则 （）令，有，则代入（）得令，则 证毕。定理中的公式称为牛顿莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式。 例 求 解： 原式 例 求 解： 原式 例 求 解： 例 求 解： 课后作业及小结：1、学习了微积分基本定理2、综合运用微积分基本定理进行计算作业：P184.

18、2,3,8,9第六节：定积分的换元法和分部法由上节知道，计算定积分的简便方法便是把它转化为求的原函数的增量，在第四章中，我们介绍了用换元法可以求出一些函数的原函数,同理，我们也可以用换元法来计算定积分所以我们有下面的定理1、定积分的换元法定理1 假设在区间上连续，令满足以下条件：（1）在区间上有连续的导数；（2）当从变到时，从单调地变到，则有上式称为定积分的换元公式证明 设是在上的一个原函数，则，再设 对求导， 得,即是的一个原函数，因此有.又 ，则，所以 .这就证明了换元公式注意：（1）用把原来变量代换成新变量时，原积分限也要换成相应于新变量的积分限；（2）求出的一个原函数后，不必像计算不定

19、积分那样把变换成原来变量的函数，而只要把新变量的上、下限分别代入中，然后相减即可例1 求.解 令，则当时，；当时，.于是 .例2 求.解 令，当时，；时，于是 . 从几何图形上看，此积分值为由圆与轴和轴在第一象限所围成的平面图形的面积例3 求 解 设,则，当时，;当时，于是注 如果不明确写出新的变量，则定积分的上、下限就不需要变更如例4 求.解 令，则, ，当时，；时，于是.例5 设在对称区间上连续，求证：（1）当为奇函数时，；（2）当为偶函数时，.注 此例的结果也称为奇偶函数在对称区间积分的性质(简记为偶倍奇零)，利用此性质可简化对称区间上奇函数及偶函数的定积分的计算.2、定积分的分部积分法

20、利用不定积分的分部积分法及牛顿莱布尼茨公式，即可得出定积分的分部积分公式定理1 设，在区间上具有连续导数,，则有上式称为定积分的分部积分法 证明 由求导公式，对上式两端从到作积分，得 ，移项得 ,即 . 利用分部积分法计算定积分，由于没有引入新变量，所以在计算过程中，定积分的积分限不变，而且选择，的方法也与不定积分的分部积分法相同.需要注意的是，定积分的分部积分法可将原函数已经求出的部分,，先用上、下限代入，以便简化后面的计算. 例6 求.解 ，则，故 .例7 求.解 .例8 求.解 ,故有 .例9 求. 解 先用换元法令,则， .再用分部积分法计算：因此 例10 设在上可导，且，,试求解 课

21、后作业及小结：1、学习了定积分的分部积分法与换元法的概念2、熟练运用积分方法作业：P193.1,3第七节：定积分的几何应用与物理应用1、平面图形的面积直角坐标系下平面图形的面积（1）当时，由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形。 面积为： （2）若，由曲线，直线所围成的图形 面积为： （3）若，由曲线，直线所围成的图形 面积为： 求平面图形面积的步骤：（1）根据问题的要求，作出简单的图形，选取合适的变量（或）作为积分变量，并确定其变化范围（或）。（2）写出积分表达式：，然后进行计算。 例1 求曲线与所围成图形的面积。 解：解方程组 得两条曲线的交点为 和，选取为积分变量，其变化区间为，则面积为若取为

22、积分变量，其变化区间也是，且有例2 求抛物线与直线所围成图形的面积。 解： 解方程组得交点和，取为积分变量，其变化区间为，则 若取为积分变量，其变化区间为，在上有在上有所求面积为： .由此可见，积分变量取得好，计算则简单，反之较麻烦。例3 求曲线与直线所围成图形的面积。 解：解方程 ，得交点，取为积分变量则 2、空间立体的体积（1） 旋转体的体积旋转体平面图形绕平面上一条直线旋转一周而成的立体（如：球、圆柱、圆锥等），直线为旋转轴。旋转轴为轴的旋转体体积：若平面图形由曲线，直线及轴围成。则所求旋转体体积为：例4 求由抛物线与直线及轴所围成图形绕轴旋转一周后的旋转体体积。 解： 抛物线与轴和直线的交点分别为和 类似地，由曲线，直线及轴所围成图形绕轴旋转一周后的旋转体体积为 例5 求由抛物线与直线及轴所围成图形绕轴旋转一周后的立体体积。 解：3、曲线弧长（不讲）课后作业及小结：1、掌握平面图形的面积公式与空间立体的体积公式作业：P209.1,4第八节：反常积分1、无限区间上的反常积分定义1 设函数在无穷区间连续，取的正数，如果极限存在，则称此极限为在区间上的无穷积分，记为，即 ,这时，也称无穷积分存在或收敛；若极限不存在，则称上无穷积分不存在或发散.类似地，设函数在区间上连续，那么我们可以定义.如果上式中的极限存在，则称无穷积分存在或收敛，如果不存在，则称无穷积分不存在