高等数学2.3 连续型随机变量及其概率密度

1、2. 3 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布一一、定义、定义2.8: :使对任意实数使对任意实数 a, b (ab) , 有有Pa Xb则称则称X是是连续型随机变量连续型随机变量, f (x) 称为称为概率密度函数概率密度函数,baf x dx=( ) ,abxf (x)O简称简称概率密度函数概率密度函数, 下图为其几何解释下图为其几何解释 A阴影面积阴影面积A = PaXb二、密度函数性质二、密度函数性质:f x dx(2) ( )= 1 . 设设X是随机变量是随机变量, , 若存在一个非负可积函数若存在一个非负可积函数

2、 f (x) , , (1) f (x)0 是可积的是可积的 ;注注 (1)若一个函数满足上述两条性质，则它一定是某若一个函数满足上述两条性质，则它一定是某个随机变量的密度函数个随机变量的密度函数 . .(2)连续性随机变量与离散型随机变量的一个重要连续性随机变量与离散型随机变量的一个重要区别是区别是: :连续型随机变量取连续型随机变量取单个值的概率单个值的概率为为0 ,于是有于是有 P a X b = P aX b =P a X b = P aXb baf x dx=( )三、定理三、定理2.4:若随机变量若随机变量X是连续型的是连续型的, , 其密度函数为其密度函数为 f (x) , ,

3、则有则有 GP XGf x dx=( ),其中其中 G 表示一个区域表示一个区域 , , 且设且设 f (x) 在在G上可积上可积 .xf (x)O阴影面积为阴影面积为F(x)x四、连续型随机变量的分布函数：四、连续型随机变量的分布函数：F(x) = P X x xf t dt x=( ) , 对于连续型随机变量对于连续型随机变量 X ，其密度，其密度函数为函数为 f (x) ,则则 X 的分布函数为的分布函数为注注 (1)F(x)与密度函数与密度函数 f (x) 关系的几何解释如图所示关系的几何解释如图所示:(2)由积分上限函数的由积分上限函数的性质可知性质可知dF xf xdx( ) =(

4、 ) .例例2.9设随机变量设随机变量 X X 的密度函数为的密度函数为(1) 确定常数确定常数 k ; f (x) =kx , 0 x 33 x 4 0 , 其它其它(2) 求求 X 的分布函数的分布函数 F(x) ;x2 ,2 (3) 求求 P 1 X 7/2 . F (x) =1 , x 40 x 3 0 , x 0(2) X 的分布函数为的分布函数为xt dt0,6f x dx 由由 解解得得 (1) ( )=1 , xkx dx + dx k 解解得得34031(2)=1 , =26 3 x 4xxx dx +dx303(2) ,62 即即 F (x) =1 , x 40 x 3 0

5、 , x 0 x2,123 x 4xx23 + 2,4PFF 7741(3) 1 X =( )(1) =2248 axbf xba 其其它它1,( ) =0, 五、几种常见的连续型随机变量五、几种常见的连续型随机变量:(1) 定义定义2.9:1、均匀分布、均匀分布:若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为则称随机变量则称随机变量 X 在区间在区间 a , , b 上服从均匀分布上服从均匀分布, ,记为记为 X U a , , b , ,其中其中 a , , b 为参数为参数, , a b .ddccdcf x dxdxbaba1( )= 注注 若随机变量若随机变量 X 服从服从 a

6、, , b 上的均匀分布上的均匀分布, , 则则 X 落入落入 a , , b 的任何子区间的概率仅与该区间的长的任何子区间的概率仅与该区间的长度有关度有关, , 而与子区间的位置无关而与子区间的位置无关, , 这是均匀分布的这是均匀分布的一个特点一个特点 . . c d a b , , , , 事事实实上上 对对于于有有, xax b 0 , ( ) =,0, (2) 均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数:例例2.10设电阻设电阻(单位单位 )值值R 是一个随机变量是一个随机变量, , 均匀分布均匀分布在在9001100 . 求求R 的概率密度函数及的概率密度函数及R 落在落在 950105

7、0 的概率的概率 . .解解 由题意知由题意知, , R 的概率密度为的概率密度为 xf x 其其它它1,9001100( ) =2000, Pdx10509501 950 + = s t 即即对对任任意意 有有, 0 , 事实上，有事实上，有P Xst Xs + PXstXsP XstP XsP Xs (+ )( ) + = s tssF steeP XF se( + )1( + )= 1( ) xf xex,22()21( ) =2 (1) 定义定义2.11:3、正态分布、正态分布:若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为XXN 称称 服服从从, , 记记作作正正分分布布 态态2

8、( , ) ,其其中中,0 . xf (x)OXN 的的密密度度函函数数2( , )f x 的的图图形形: :( )txF xedt ,22()21( ) =2 (2) 正态分布的分布函数正态分布的分布函数:xF (x)OS 其其图图形形为为一一条条光光滑滑上上升升的的 形形曲曲线线: :221( ) =2,t xxedtx (2) 定义定义2.12:01(0,1) N称称 = , = = , = 时时的的正正态态分分布布 为为标标准准正正态态分分布布. .( )x标标准准正正态态分分布布的的密密度度函函数数: :221( ) =2,xxex ( )x标标准准正正态态分分布布的的分分布布函函数

9、数: :(1) () = 1( )xx注注(2) ( )x 中中不不含含任任何何未未知知参参数数. .(i) = 1( ) ;P X xx (3) 定理定理2.5: 设设XN(0 , 1) , 则有则有(ii) =( )( ) ;P a X bba (iii) = 2 ( )1 .PX cc 注注 可用可用 (x) 的定义证明定理的定义证明定理. 2 ( , ) , (0,1) .XXNY =N若若则则 (4) 定理定理2.6: ( ) ( ) ,XYX Y FxFy 设设与与的的分分布布函函数数分分别别为为和和证证则则由由分分布布函函数数定定义义知知( ) = =YXFyP YyPy ( )

10、X= P Xy= Fy 由由于于正正态态分分布布函函数数严严格格单单调调且且处处处处可可导导, , 所所以以若若( ) ( ) , XYX Y fxfy设设 与与的的密密度度函函数数分分别别为为和和则则有有(0,1) .XY =N故故 ( ) =( ) = ()YYXddfyFyFydydy 221= ()=2yXfye (5) 相关结论相关结论: 2 ( , ) , (), XNa b c ab设设对对于于任任意意实实数数 , , , ,有有 =() ,cP Xc =() () .baP a Xb例例2.11设随机变量设随机变量 XN( 108 , 32) , 试求试求解解 (1) P 10

11、2 X 117 117108102108=()()33 (1) P 102 X 117 ; (2) 求常数求常数a , 使使 P X a =0.95 . =(3)( 2) =(3) +(2)1 = 0.9987 + 0.97721 = 0.9759 由正态分布表反查得由正态分布表反查得108(2) =() = 0.95 .3aP X a (1.64) = 0.9495 , (1.65) = 0.9505 ,108 = 1.645 ,3a故故 = 112.935 .a得得例例2.12设随机变量设随机变量 XN ( 0 , 1 ) , 则则解解 (1) 直接查表知直接查表知(1) 求求 P X 1

12、.96 ; P X 1.96 ; P | X | 1.96 ; P 1 X 2 . (2) 已知已知 P X a =0.7019 ; P | X |b =0.9242P X c =0.2981 , 求求 a , b , c .P X 1. 96 = (1. 96) =0.975 , 利用利用 (x)的对称性知的对称性知P X 1. 96 = ( 1. 96) =1 (1. 96)=0.025 ; P | X |1. 96 = P 1. 96 X 1. 96 = (1. 96) ( 1. 96)=P X 1. 96 P X 1. 96 = (1. 96) 1 + (1. 96)= 2 (1. 9

13、6) 1 =0.95 ;P 1 X 2 = P X 2 P X 1 = (2) ( 1)= (2) 1 + (1)= 0.97725 + 0.8413 1= 0.81855(2) 由于由于 P X a = (a) = 0.7019查表知查表知 a = 0.53由由 P | X | b = P b X b = 0.9242有有 (b) ( b) = 2 (b) 1 = 0. 9242故故 (b) = 0. 9621查表知查表知 b 1. 78由由 P X c = 0.2981 , 而而 (0) = 0. 51 , 故知故知 c 0 .由于由于 ( c ) = 0.2981所以所以 ( c ) =

14、 1 ( c )查表知查表知 c = 0.53 , = 1 0.2981= 0. 7019即即 c = 0.53 例例2.13已知已知 XN ( 8 , 0.5 2 ) , 求求(1) P X 9 ; (2) P 7.5 X 10 ; (3) P | X 8 |1 =0.9242(4) P | X 9 | P X 由由于于 解解350250 300 .2+= =已知其寿命在已知其寿命在250 h的概率均为的概率均为92.36%, 为使其寿命在为使其寿命在 x 和和 x 之间的概率不小于之间的概率不小于 0.9 , x 至少为多大至少为多大?由正态分布的密度函数关于由正态分布的密度函数关于 x = 对称知对称知, 300350300350X P X = P 由由50() = 0.9236 .= 501.43 . 查查表表知知 35 . 于于是是故故 XN ( 300 , 35 2 ) . =P xXx P xXx 由由=XxP Xx P 2 ()12 ()1 0.9 ,35xx= = ()0.95 ,35x知知 1.645 , 57.5835xx查查表表得得 即即 (0,1) , XN设设若若 满满足足条条件件z