高等数学2017年最新课件函数的求导法则

1、2 2 函数的求导法则函数的求导法则1. 导数的四则运算2. 反函数的求导法则3. 复合函数的求导法则4. 基本求导法则与求导公式一、导数的四则运算一、导数的四则运算).0)()()()()()()()()4();( )()3();()()()( )()()2();()( )()() 1 (2xvxvxvxuxvxuxvxuxuCxCuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu推论推论; )( )()1(11 niiniixfx

2、f);( )()2(xfCxCf )()()()()()( )()3(21211xfxfxfxfxfxfxfnnnii例例1 1.5sin3的导数求xxy解解23cosxx)5()()sin3xx（）（5sin3xxy03cos2xx例例2 2).0()(,1cos53)(4fxfxexxfx及求的导数设解解)1cos53()(4xexxfx）（）（）（）（1cos534xexxxexxsin51231)sin512()0(03xxxexf例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossin

3、cos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x ,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnl

4、im)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则反函数的导数等于原函数导数的倒数反函数的导数等于原函数导数的倒数.定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxyj jj jj j 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即例例6 6.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1 yycos

5、1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc三、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxxj j j j j j j j 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导, ,乘以乘以中间变量对自变量求导中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )推

6、广推广),(),(),(xhvvguufy设.)(dxdvdvdududydxdyxhgfy的导数为则复合函数例例7 7.)21 (30的导数求函数xy解解xuuy21,30设dxdududydxdy xuxu)21 ()(30230130u312160）（x例例8 8.cosln的导数求函数xy 解解xuuycos,ln设xuxuy)(cos)(ln)sin(1xuxtan例例9 9.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例1212.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1313.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 四、基本求导法则和求导公式四、基本求导法则和求导公式xxxxxxxCtansec).(sec7sec).(tan5cos).(sin30).(12xxxxxxxxxcotcsc).(csc8csc).(cot6sin).(cos4).(221