高考数学(理数)一轮复习课时作业40《数学归纳法》(教师版)

1、课时作业40数学归纳法1用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上(D)Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析：观察可知，等式的左端是n2个连续自然数的和，当nk时为123k2，当nk1时为123k2(k21)(k22)(k1)2.2如果命题P(n)(nN*)对nk(kN*)成立，则它对nk1也成立，现已知P(n)对n4不成立，则下列结论中正确的是(D)AP(n)对任意nN*成立BP(n)对n4成立CP(n)对n4成立DP(n)对n4不成立解析：由题意可知P(n)对n3不成立(否则n4也成立)，同理可推得P(n)对n2，n1也不成立，故选D.3用数学

2、归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取(B)A7 B8 C9 D10解析：左边求和可得12，右边2，故22，即，所以2n126，解得n7.所以初始值至少应取8.4用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，利用归纳法假设证明nk1时，只需展开(A)A(k3)3 B(k2)3 C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可5设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k

3、1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是(D)A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4成立，则f(1)1成立C若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析：由条件可知不等式的性质只对大于或等于号成立，所以A错误；若f(1)1成立，则得到f(2)4，与f(2)4矛盾，所以B错误；当f(3)9成立，无法推导出f(1)，f(2)，所以C错误；若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立，正确6已知f(n)1(nN*)，经计算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则其一般结论为f(2n)(n2，nN

4、*).解析：观察规律可知f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，故得一般结论为f(2n)(n2，nN*)7设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)5；当n4时，f(n)(n1)(n2)(用n表示)解析：由题意知f(3)2，f(4)5，f(5)9，可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数，所以f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，猜测得出f(n)f(n1)n1(n4)有f(n)f(3)34(n1)，所以f(n)(n1)(n2)8已知f(m)1(mN*)，用数学归纳法证明f(2n)时，

5、f(2k1)f(2k).解析：当nk时，f(2k)1，当nk1时，f(2k1)1，所以f(2k1)f(2k)1.9用数学归纳法证明：(nN*)证明：(1)当n1时，等式左边，等式右边，等式左边等式右边，所以等式成立(2)假设nk(kN*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切nN*，等式都成立10已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解：(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(

6、2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1,2,3时，不等式显然成立，假设当nk(k3，kN*)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，f(k1)f(k).因为f(k1)g(k1)0，所以f(k1)g(k1)由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立11已知数列an的前n项和Sn满足Sn1且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性解：(1)当n1时，由已知得a11，a2a120.所以a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a2

7、20.所以a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明：由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由ak1Sk1Sk，将ak代入上式并整理，得a2ak120.解得ak1(负值舍去)即当nk1时，通项公式也成立由和，可知对所有nN*，an都成立12已知函数f(x)alnx(aR)(1)当a1时，求f(x)在1，)上的最小值(2)求证：ln(n1).解：(1)当a1时，f(x)lnx，定义域为(0，)因为f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以f(x)在x1，)内的最小值为f(1)1.(2)证明：当n1时，ln(n1)ln2

8、，因为3ln2ln81，所以ln2，即当n1时，不等式成立假设当nk(k1，kN*)时，ln(k1)成立那么，当nk1时，ln(k2)ln(k1)lnln.根据(1)的结论可知，当x1时，lnx1，即lnx.令x，所以ln，则有ln(k2)，即当nk1时，不等式也成立综上可知不等式成立13设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围解：由题设得，g(x)(x0)(1)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可猜想gn(x).下面用数学归纳法证明当n1时，g1(x)，结论成立假设nk时结论成立，即gk(x).那么，当nk1时，gk1(x)g(gk(x)，即结论成立由可知，结论对nN成立(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立设(x)ln(1x)(x0)，则(x)，当a1时，(x)0(仅当x0，a1时等号成立)，(x)在0，)上单调递增又(0)0，(x)0在0