第1章质点运动学教案

1、精品文档第一篇力学*齿：物体的机械运动是整个物理学基础，力学规律将引入热学、电磁学、波动学等。分为：运动学:讨论物体运动的描述及规律性。动力学:讨论物体运动状态变化原因及物体间相互关系。第一章质点运动学教学要求：*理解质点模型和参照系等概念。*掌提位矢、位移、速度、加速度等物理量及其关系。*掌握笛卡儿坐标系中运动方程计算质点速度和加速度。由微积分求解直线运动中质点位置、速度和加速度。*理解自然坐标中路程、速率、切、法向加速度等物理概念，*理解平面极坐标中的角位置、角速度和角加速度等概念，*了解相对运动中的位置、速度和加速度变换。教学内容（学时:4学时）：§1-1质点运动的描述

2、7;1-2切向加速度和法向加速度自然坐标系§1-3圆周运动的角量描述平面极坐标系§1-4相对运动作业:1-05）、1-08）、1-10）、1-12）、1-16）、1-18）、1-19）、1-21）、1-23）、1-25)。1-1质点运动的描述精品文档位置和位移笛卡儿坐标系1.位置矢量rxiyjzk。质点的位置矢量：（简称：位矢）* 大小(质点到原点。的距离)：2222rrXxyz(1-2)* 方向余弦：cosx/rcosy/rcosz/r(1-3)* 斜率：tgy/x2 .运动方程：(质点运动时，其位矢r随时间而变)rr(t)x(t)iy(t)jz(t)k(1-5)运动方程

3、*分量表示XX(t)yy(t)zz(t)(1-6)(质点运动方程包含质点运动全部信息,解决质点运动学问题关键所在)3 .轨道方程(轨道为质点运动时在空间形成轨迹，其曲线方程称轨道方程)从运动方程中消去t,即可得到轨道方程。例如：平抛运动XVot,y消去t,得:gx(抛物线方程)4 .位移：（描述在运动过程中质点位置的变化）质点t时刻在pi,位矢ri,tt时刻在法，位矢2,位移矢量(定义)为：rr2ri(i-7)按运动方程(i-5)式有：rr2ri(x2xi)i(y2xiyj(i-8)*分量：xx2yy2zz2yi)j(z2zi)kzkxiyizi(1-9)*大小：/222rXxyz*方向余弦：

4、cosx/rcosy/rcosz/r二速度（速度描述质点运动快慢和方向）X1.平均速度vr/t（矢量）（1-10）*方向为质点位移的方向*分量：vxx/tVyy/tvzz/t2.瞬时速度定义t0时的平均速度的极限为瞬时速度（简称速度）.rdrvlimt0tdt（矢量）（1-12）（可见：速度为位矢对时间的变化率）*速度方向：可见：t0时r趋于轨道切线方向一速度方向沿着轨道切向，且指向前进一侧。把(1-5)式代入(1-12)式，注意i、j、k为常量，有：drv 一 dtdx, dy.i j dt dtdz dt(1-13)vVxiVyjVzk(1-14)*速度的大小和方向余弦由它的三个分量确定。

5、dxdtdydtdzdt(1-15)*速率：平均速率定义为:svt瞬时速率(速率)定义为路程对时间的变化率：dsvdt由于在t0时心尿而dt是正量，所以：dsdrIdrIVdtdtIdtIV（即：速率等于速度矢量的大小）3.位移公式由式（1-12）可得drvdt积分rtdrvdtro0t即r r r00 vdt（1-位移公式把（1-5）式和（1-14）式代入（1-16）式,可得：txx0vxdt00xttyy00Vydt,zz00Vzdt(1-17)加速度1 .平均加速度av/t(1-18)2 .瞬时加速度vdvdalim-t0tdtdt(1-19)注意；加速度a的方向为t0时速度变化v的极限

6、方向。在直线运动中：加速度方向与速度方向相同或相反，相同时速率增加，如自由落体运动，相反时速率减小，如上抛运动。在曲线运动中：加速度方向与速度方向并不一致，如斜抛运动。把(1-14)式代入(1-19)式可得分量：dvvx出ddt ddtdvydtdvzdt(1-20)(由加速度三个分量可以确定加速度的大小和方向余弦)3 .速度公式由adv/atdvadt积分：vvv0分量形式为:tadto(1-21)tVxvox0axdttvyv0y0aydttVzV0z0azdt(1-22)*匀加速运动速度公式:tvv0adtat0或vv0at位移公式:tt12rr0vdt(v0at)dtv0tat002+

7、1+2(1-24)r”vot2at4.质点运动学问题分类*第一类运动学问题已知质点的运动方程rr(t),求质点速度v和加速度a。，按速度和加速度的定义通过求导来解决。*第二类运动学问题已知质点加速度aa(t)及初始条件t=0时位矢0和速度V0,求质点速度v和位矢ro,通过速度公式和位移公式通过积分来解决。份Q1.1一质点在Oxy平面内运动，运动方程为rAcostiAsintj(A、为正常量)，求:质点的轨道方程及质点在任意t时位矢、速度和加速度的大小和方解：（第一类运动学问题）*质点运动方程的分量形式为:xAcost,yAsint联立消去t可得到轨迹方程222xyA（圆的方程，圆心O,半径A,

8、质点在作圆周运动）*位矢:rAcostiAsintj大小为：rXx2y2A方向为:tgy/xtgt*3K：vdr/dtAsinti分量为:vxAsintvyAcost速度大小（速率）为:vJv2vya速率圆周运动）Acostj（常量，匀速度方向为:tgVy/Vxctgt（比较（1）（2）式，可知速度v和位矢直，速度沿圆周的切线方向）*加速度:adv/dt2 A costi2 /A sin（可见加速度方向与位矢相反,即指向圆心）加谏度大小为:22AarA（常量）仞01.2如图，河岸有人在h处通过定滑轮以速度V0收绳拉船靠岸。求：船在距岸边为x处时的速度和加速度。解：（第一类运动学问题）如图建立坐

9、标，小船到岸边距离为X,绳子长度为l,则有I2.22lhX（1）得：xh小船运动方程（l是t的函数）*小船的速度为：dx vdtldx © dl dtxx/ x 2 h 2v 0x（推导中用到 表示绳子的长度在缩短 *小船的加速度为dl dt )v0 ,负号dv adtddtx 2 llx 2203（推导中用到dx出为小船的速度）（如把（1）式按隐函数求导求速度和加速度更简便）将（1）两边同时对时间t求导可得:-dx2xdtdl（注意到上式中dV0dxdT=vlv0xv解得：lv0Vx2h2v-Voxx再将（2）式对时间求导得到：dldxdv一v0一vx一dtdtdtdv（其中dra

10、为船的加速度）有:v0vxa解得：X.22hv03x快j1.3如图，一质点在Oxy平面内斜上抛，忽略空气阻力，加速度为1、-g 9.8ms ，方向向下。t= 0 时X0 10.2m, yo质点位置在12.4m 处，1初速度大小为vo23.2ms,仰角为30。求：质点在任意t时的速度和位矢的两个分量。精品文档解：（第二类运动学问题）质点加速度的两个分量为：ax0,ayg初速度的分量为：1v0xv0cos20.1ms,iv0yv0sin11.6ms按速度公式有：tVxvoxaxdtvox20.1mso（常数）精品文档精品文档t1、VyV0yaydt'0Vgt”69.81t(ms)0按位移公

11、式有：txx00vxdtx0vxt10.220/ttyy00VydtVo0(v0ygt)dtyO12.411.6t4(此题可直接用匀加速运动公式(1-23)和(1-24)的分量式得结果)仞01.4一质点沿x轴运动，其速度与位置的关系为vkx,其中k为一正常量。若t=0时质点在xx0处，求任意t时质点的位置、速度和加速度。触：（第二类运动学问题）按题意有vkx,按速度定义改写为：dx,一kxdt（一阶微分方程）dx可以通过分离变量法求解，有：kdtx对方程积分，按题意t =0时质点位置在x0, 又设t 有：时质点位置在x,x dxx0 xkdt积分得:In-x-k t精品文档精品文档解出质点位置

12、为:ktxx0e质点速度为:dx/dtkx0ekt质点加速度为:dv/dtk2x0ekt§1-2切向加速度和法向加速度自然坐标系笛卡尔坐标系使用普遍，但在有的问题中并不是最简捷的方法。自然坐标系采用轨道切向和法向分解运动（特适于描述圆周运动）。精品文档精品文档圆周运动的切向加速度和法向加速度精品文档如图，把V分解为两个分矢量：V(V)n(V)t除以过程的时间间隔t,并令t0,有：dv(dV八(dv)tdtdtdt记作：aanat(1-25)其中：an(dV)n/dt(1-26)法向加速度at(1-27)(d v )t / dt切向加速度讨论1 .法向加速度（与匀速率圆周运动中讨论8)

13、向心加速度过程相同）图中(a)r和r的等腰与图(b)中v和(v)n构成等腰相似，有：1(v)nlIrIv|r式中：IvI为质点在pi处速率v,rI为位矢大小即圆半径R记作：(v)nVR两边同除以t,并令t0,得： (d V)n dt按式(1-26)d r dt(dv)n / dt为法向加速度大小an,1dr/出|为速率v,因而简化为：anVvR于是法向加速度大小为：2Van一r方向：与速度V垂直即指向圆心(故an称为向心加速度)2 .切向加谏度按上图可看到V的分量(v)t的大小等于速率的增量，记作：(v)t|V同除以t并令t0有：(dV)tdVdtdt若质点速率减少，则增量分解按下图。若令t0

14、则（v）t极限方向应与速度v方向相反，综上，其值表示为：dvdt当质点速率增加时at0,表示at沿着速度v的方向；当质点速率减小时at0,表示at逆着速度v的方向。*注意：（自然坐标坐标描述的好处清晰）切向加速度描述质点速度大小变化的快慢，法向加速度描述质点速度方向变化的快慢。3.质点加速度22大小为：aVatan方向为：质点加速度与速度的夹角满足：tgan/at二一般曲线运动的切向加速度和法向加速度（轨道的曲率圆）自然坐标系（曲率圆曲率中心曲率半径等概念）1 .路程：s(t)(1-32)质点的运动方程2 .速度速度大小(速率)dsvdt(1-33)速度方向：为轨道的切向3 .加速度法向加速度

15、和切向加速度：2V_7(r曲率半径)dvdt度大小：/22aVatan加速度方向：与速度的夹角tgan/at伤j1.5一质点沿一半径为R的圆周运动，412，路程svot2bt，其中vo和b为正常量,求任意时刻t质点的速率和加速度的大小。解：质点的速率为：vds/dtv0bt质点的切向加速度为：atdv/dtb质点的法向加速度为：anv2/R(v0bt)2/R质点加速度的大小为:a a an2 b b2 (Vobt)4 / R2例1.6一质点作斜上抛运动，初速率为v0 ,仰角为，见图, 求：质点轨道在起点Pi和顶点 P2的曲率半径。解：质点的法向加速度anv2/R（其中R为曲率半径）对pi点，加

16、速度g向下，法向加速度angcos速率为v0,故有：2/gcosv0/1由此求得P1点轨道的曲率半径为：2v01gcos对于P2点，加速度g向下，ang质点速率为：vv0cos22,故有：gv0cos/2解得P2点的曲率半径为：22v0cos2008/02/28/§1-3圆周运动的角量描述平面极坐标系圆周运动的角量描述(平面极坐标系的概念)1 .角位置:(1-34)角量运动方程2 .角位移：(tt)(1-35)(通常取逆时针转向的角位移为正值)3 .平均角速度：/t4.瞬时角速度（角速度）:5.dlim一t0tdt角加速度：(1-36)6.ddJ2dtdt2角位移公式：(1-37)t

17、0dt007 .角速度公式：t00dt8 .匀角加速运动:*角速度公式为:(1-38)(1-39)0t(1-40)把(1-40)式代入(1-38)式得：*角位移公式为:0t2t2(1-41)(1-40)和(1-41)称为匀角加速运动公式)二角量和线量的关系(质点的圆周运动常用平面极坐标系和自然坐标系描述）*角量描述:角位置、角速度和角加速度等描述圆周运动（极坐标系）；*线量描述:路程、速率、切向法向加速度等描述圆周运动（自然坐标）。P21.路程和角位置的关系:sR若tt时刻质点到P2点，路程为s,角位移为则有:sR(对t求导得到质点速率)2.速率和角速度的关系:dsR(再对t速度)3.切向加速

18、度：dt(1-43) 求导得质点的切向加atdv-Rdt4.法向加速度:2(1-45)中和可能为2_-an-RR注意:方向变化！式(1-42)和(1-43)负值，式中s和-也为负值,若s、-及at为负表示与所设正方向反向。仞01.7一质点沿半径为R的圆周运动,运动方程为.120t-kt2)其中0和k为正常量,求任意t时刻质点的速率、切向加速度和法向加速度。解：任意t时刻质点的角速度为：ktddt角加速度为:dt速率为:vRR(0kt)切向加速度为:精品文档Rk法向加速度为:22anR2R(0kt)2例1.一质点沿半径R1.61 m圆周运动，t=0时质点位置00,i角速度03-14s,若质点2、角加速度1.24t(S),求：t2.0s时质点的速率，切向加速度和法向加速度。t00 dt解：按角速度公式，质点在t2s时的质点的角速度为：23.141.24tdt5.62s0速率