三角函数的积化和差与和差化积

1、3.3三角函数的积化和差与和差化积学习目标：1.能根据公式S±和C±进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力(重点)自 主 预 习·探 新 知1积化和差公式cos cos cos()cos()；sin sin cos()cos()；sin cos sin()sin()；cos sin sin()sin()2和差化积公式设x，y，则，.这样，上面的四个式子可以写成，sin xsin y2sin cos ；sin xsin y2cos sin ；cos xcos y2cos

2、 cos ；cos xcos y2sin sin .思考：和差化积公式的适用条件是什么？提示只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)sin(AB)sin(AB)2sin Acos B()(2)sin(AB)sin(AB)2cos Asin B()(3)cos(AB)cos(AB)2cos Acos B()(4)cos(AB)cos(AB)2cos Acos B()答案(1)(2)(3)(4)×2sincos化成和差的形式为

3、()A.sincosB.cossinC.sinsinD.coscosBsin·coscos()sin()cos()sin()所以选B.3下列等式正确的是()【导学号：79402139】Asin xsin y2sin sin Bsin xsin y2cos cos Ccos xcos y2cos cos Dcos xcos y2sin sin C由和差化积公式知C正确合 作 探 究·攻 重 难积化和差问题(1)求值：sin 20°cos 70°sin 10°sin 50°.(2)求值：sin 20°sin 40°si

4、n 60°sin 80°.思路探究利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角解(1)sin 20°cos 70°sin 10°sin 50°(sin 90°sin 50°)(cos 60°cos 40°)sin 50°cos 40°sin 50°sin 50°.(2)原式cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°cos 10°cos 50°cos 70°cos

5、70°cos 40°cos 70°cos 70°(cos 110°cos 30°)cos 70°cos 110°.规律方法积化和差公式的功能与关键(1)功能：把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.跟踪训练1求sin220°cos250°sin 20°·cos 50°的值解原式(sin 70°

6、;sin 30°)1(cos 100°cos 40°)sin 70°(2sin 70°sin 30°)sin 70°sin 70°sin 70°.和差化积问题已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值.【导学号：79402140】思路探究利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解解cos cos ，2sinsin.又sin sin ，2cossin.sin0，由，得tan，即tan.sin().母题探究：1.(变结论)本例中条件不变，试求cos()的值解因为cos cos ，所以

7、2sin sin .又因为sin sin ，所以2cos sin .因为sin 0，所以由，得tan ，即tan .所以cos ().2(变条件)将本例中的条件“cos cos ，sin sin ”变为“cos cos ，sin sin ”，结果如何？解因为cos cos ，所以2cos cos .又因为sin sin ，所以2sin cos .所以cos 0，所以由，得tan ，所以sin ().规律方法和差化积公式应用时的注意事项(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时，

8、应从以下几个方面考虑：运用公式之后，能否出现特殊角；运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.(3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如.公式的综合应用探究问题1解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？提示注意三角形中的隐含条件的应用，如ABC，ab>c等2在ABC中有哪些重要的三角关系？提示 在ABC中的三角关系：sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sincos，cossin，sin(2A2B)sin 2C，cos(2A2B)cos 2C.在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4sinsinc

9、os.思路探究利用和差化积进行转化，转化时要注意ABC.解左边sin(BC)2sin·cos2sincos2sincos2cos4sinsincos右边，原等式成立规律方法证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.跟踪训练2在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4cos cos cos .证明由ABC180°，得C180°(AB)，即90°，cos sin .sin Asin Bsin C2sin·cossin(AB)2sin·cos2sin·cos2sin2cos ·2cos ·cos4cos cos cos ，原等式成立当 堂 达 标·固 双 基1计算sin 105°cos75°的值是()【导学号：79402141】A.B.C DBsin 105°cos 75°(sin 180°sin 30°).2sin 75°sin 15°的值为()A. B.C. DBsin 75°sin 152cossin2