2019普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(理)解析版

1、2019 普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理）解析版注意事项 ：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。在论述题中， 问题大多具有委婉性， 尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点， 最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。 只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。数学理科第 I 卷选择题共 50分【一】选择题：本大题共10 小

2、题，每题 5 分，共50 分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1. 假设复数 z 满足 zi1i ，那么 z 等于A、 1 iB 、 1iC 、 1 i D、 1 i考点： 复数的运算。难度： 易。分析： 此题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。解答：1izi(1i )( i ) 。i(i )i11i12. 等差数列 an 中， a1a510, a47 ，那么数列 an 的公差为A、 1B、 2C、 3D、 4考点： 等差数列的定义。难度： 易。分析： 此题考查的知识点为复等差数列的通项公式an a1 (n 1)d 。解答：2a14d10。d2a1 3d

3、7A、 x0R, ex00 B、xR,2xx2C、 a b0 的充要条件是 aD、 a1, b 1是 ab1 的充分条件b1考点： 逻辑。难度： 易。分析： 此题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。解答： A 中，xR, ex0 。B 中，x2, x4,2xx2 ，x,2xx2。C 中， ab0 的充要条件是 a。b0b1D 中， a1, b1可以得到 ab1，当 ab1 时，不一定可以得到a 1, b 1。3. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是A、球 B、三棱锥C、正方体D、圆柱考点： 空间几何体的三视图。难度： 易。分析： 此题考查的知识点为空间几何体的

4、三视图，直接画出即可。解答： 圆的正视图主视图 、侧视图左视图和俯视图均为圆；三棱锥的正视图主视图 、侧视图左视图和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图主视图 、侧视图左视图和俯视图均为正方形；圆柱的正视图主视图、侧视图左视图为矩形，俯视图为圆。4. 以下不等式一定成立的是A、B、lg( x2 1 ) lg x(x0)sin x12( x k , k Z)4sin xC、 x 21 2 | x |( xR) D、11( xR)x21考点： 不等式及基本不等式。难度： 中。分析： 此题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质。解答： A 中，x210时， x 21。x(当 xx)44B

5、中，1；1。sin x2(sin x( 0,1)sin x2(sin x 1,0)sin xsin xC 中， x22 | x | 1 (| x | 1) 20( x R) 。D 中，1。(0,1( x R)x215. 如下图，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ，那么点 P 恰好取自阴影部分的概率为A、1B、1C、1D、14567考点： 积分的计算和几何概型。难度： 中。分析： 此题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型。解答：S()111，1231211 。S( A)(xx)dx( x2x) |00632所以S()1 。P( A)S( A)66. 设函数1, x为有理数

6、，那么以下结论错误的选项是D( x)0, x为无理数A、 D ( x) 的值域为 0,1 B、 D ( x) 是偶函数C、 D ( x) 不是周期函数D、 D ( x) 不是单调函数考点： 分段函数的解析式及其图像的作法。难度： 中。分析： 此题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定。解答： A 中， D ( x) 由定义直接可得，D ( x) 的值域为 0,1 。B 中， D ( x) 定义域为 R ，1, x为有理数，所以 D ( x) 为偶函数。D ( x)D( x)0, x为无理数C 中，1, x为有理数D( x)，所以可以找到1 为 D (x) 的一个周期。

7、D( x1)0, x为无理数D中， D(1)1,D( 2) 0,D(2)1. ，所以不是单调函数。7. 双曲线 xy2的右焦点与抛物线y212 x 的焦点重合， 那么该双曲线的焦点到其24b21渐近线的距离等于A、5 B、 4 2 C、3D、5考点： 双曲线的定义。难度： 中。分析： 此题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。解答： 抛物线 y 212 x 的焦点为 (3,0) 。双曲线中， b29 45 。双曲线渐近线方程为5 x。y2所以焦点到渐近线的距离35。d25 ) 251(28. 假设直线 y 2x 上存在点 ( x, y) 满足约束条件xy30，那么实数 m 的

8、最大值x2y30xm为A、 1 B、1C、 3 D、222考点： 线性规划。难度： 中。分析： 此题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。解答： 可行域如下：（0,3）y2x(m,3m)（3,0）（ ， 3）0 -2所以，假设直线y2 x 上存在点 ( x, y) 满足约束条件xy30 ，x2y30xm那么 3m 2m ，即 m1。9. 函数f ( x)在 a, b上 有 定 义 ， 假 设 对 任 意 x1 , x2 a, b ， 有f ( x1x2 )1，那么称f ( x)在a, b上具有性质P 。设f ( x)在 f ( x1 ) f (x2 )

9、221,3上具有性质 P ，现给出如下命题： f ( x) 在 1,3 上的图像时连续不断的； f ( x2 ) 在 1, 3 上具有性质 P ；假设 f ( x) 在 x2 处取得最大值1，那么 f ( x) 1， x1,3 ；对任意x1, x2 , x3 , x41,3，有f ( x1x2x3x4 )1 f ( x1 )。f ( x2 ) f ( x3 )f ( x4 )24其中真命题的序号是A、 B、 C、 D、考点： 演绎推理和函数。难度： 难。分析： 此题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立。解答： A 中，反例：如

10、下图的函数f ( x) 的是满足性质 P 的，但 f ( x) 不是连续不断的。B 中，反例： f ( x)x 在 1,3上具有性质P ， f ( x2 )x2在 1,3 上不具有性质 P 。C 中，在 1,3上，x(4x)1f (4，f (2)f (2) f ( x)x)2f ( x)f ( 4x)2，f ( x)f ( x) maxf (2) 1f (x)1f ( 4x) f ( x) maxf (2)1所以，对于任意x1 , x21,3,f ( x) 1。D 中，x3 x4 ) f ( ( x1x4 ) )f ( x1 x2x2 ) ( x3221 f ( x1x2 )f ( x3。x4

11、 )2221 1 ( f ( x1 )f ( x2 )1 ( f ( x1) f ( x2 )2221 f ( x1 )f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )4第二卷非选择题共100 分【二】填空题：本大题共4 小题，每题4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。10. (a x)4 的展开式中x 3 的系数等于8，那么实数 a_。【2】考点： 二项式定理。难度： 易。分析： 此题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可。解答： (ax) 4 中含 x 3 的一项为 Tr 1C4r a4 r xr ，令 r3 ，那么 C 43a 4 38 ，即 a2 。11. 阅读

12、右图所示的程序框图， 运行相应地程序， 输出的 s 值等于 _ 。【 3 】考点： 算法初步。难度： 易。分析： 此题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可。解答： k1, s1 ；s2111, k2 ；s2120, k3；s 2 0 3 3, k4 ；结束。12.ABC 的三边长成公比为2 的等比数列，那么其最大角的余弦值为_ 。【2 】4考点： 等比数列和余弦定理。难度： 易。分析： 此题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用。解答： 设ABC 三边为 am,b2m, c2m ，那么可得C 所对的边最大，且a2b2c22。cosC2ab13. 数列 an 的通项

13、公式ann cosn，前 n 项和为Sn ，那么 S2012_。21【 3018】考点： 数列和三角函数的周期性。难度： 中。分析： 此题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。解答：1) cos (4n1)，a4n 1(4n1( 4n1)cos10122(4n2)，a4 n(4n2)1(4n2)cos1( 4n2) 12cos2cos (4n3)cos 3，a4 n3(4n3)1( 4n3)10122cos (4n4)，a4 n 4(4n 4)21 ( 4n4)cos214n 4 1所以 a4n 1a4n 2a4n 3a4 n 46 。即2012。S201

14、26 3018414. 对于实数 a, b，定义运算 “”：a 2ab, ab ，设 f ( x)( 2x 1) ( x 1) ，ab2ab, abb且关于 x 的方程为f ( x)m(mR) 恰有三个互不相等的实数根x1, x2 , x3，那么x1 x2 x3 的取值范围是 _。【 13】(,0)16考点： 演绎推理和函数。难度： 难。分析： 此题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数。解答： 由题可得，x( 2x1), x0f ( x)x( x1), x01 1(,)ymxx1(0,0) xx2xx3(1,0)可得m (0, 1 ), x21 , x1，x3042且1 , x2

15、x3m, | x1 |4所以1 时，| x1x2 x3 |max13 ，m164所以 m13。(16,0)【三】解答题：本大题共6 小题，共84 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15. 本小题总分值 13 分受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关， 某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车， 保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答以下问题： I 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； II 假设该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌

16、轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求 X 1， X 2的分布列； III 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车， 假设从经济效益的角度考虑， 你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。考点： 统计概率及随机变量。难度： 易。分析：解答： I 首次出现故障发生在保修期内的概率为231P1050 II 随机变量 X1的分布列为随机变量X 2的分布列为X1123X 21.82.9 III13919EX11123392.86P255010P50101010(万元)25EX 21.812.991010(万元)EX1EX 2所以应该生产甲品牌汽车

17、。16. 本小题总分值 13 分某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 1 sin2 130cos2 17 0sin130cos170 ； 2 sin2 150cos2 150sin 150cos150 ； 3 sin2 180cos2 12 0sin18 0 cos120 ； 4sin2020sin(00；(13 )cos4818)cos48 5 sin2 (250 )cos2550sin(25)0 cos550 。 I 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； II 根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。考点： 三角恒等变换。难度： 中

18、。分析：解答： I 选择 2：cos2 150sin15 0 cos1501 sin 30 03sin 2 150124 II 三角恒等式为：cos2 (30 0cos(3003sin 2) sin)4sin 2cos2 (300) sincos(300)lbylfxsin 2( 3 cos1 sin)2sin( 3 cos1 sin )22223 sin 23 cos2344417. 本小题总分值 13 分如图，在长方体ABCDA1B1C1 D1中， AA1AD1，E为CD中点。求证： B1 EAD1；在棱 AA1上是否存在一点P ，使得 DP / 平面 B1 AE ？假设存在，求AP 的长

19、；假设不存在，说明理由。假设二面角A B1E A1的大小为 300 ，求 AB 的长。考点： 立体几何。难度： 中。分析：解答：长方体 ABCDA1 B1C1D1中， AA1AD1得： AD1 A1D, AD1A1B1, A1D A1B1A1A1D面 A1B1CDB1E面 A1B1CDB1E AD1取 AA1的中点为 P ， AB1中点为 Q ，连接 PQ在AA1 B1中，11面PQ/ /2A1B1,DE/ /2A1B1PQ/ /DEPD /QE PD / /B1 AE此时1 AA11AP22设 A1D AD1 O ，连接 AO ，过点 O 作 OHB1E 于点 H ，连接 AHA1O面 A1

20、B1CD ， OH B1EAH B1E得：AHO 是二面角 AB1E A1的平面角AHO30在 Rt AOH 中，AHO30 ,AOH90 ,AH262OH2在矩形 A1B1CD 中， CDx, A D21S B1OE1x1212x32x2x222x22282212x26224x2得：AB218. 本小题总分值 13 分如图，椭圆x2y2的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率1 。E :a2b2 1(a b0)e2过 F1的直线交椭圆于A, B 两点，且ABF2的周长为 8。求椭圆E 的方程。设动直线l : ykxm 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ，且与直线 x 4 相交于点 Q 。试

21、探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ？假设存在， 求出点M 的坐标；假设不存在，说明理由。考点： 三角恒等变换。难度： 难。分析：解答：设 ca2b2那么ec1a2c3a24b2a2ABF2的周长为ABAF2BF28AF1AF2 BF1 BF2 84a 8a2, b3, c 1椭圆 E 的方程为 x2y2143由对称性可知设P( x0 , y0 )( y00) 与 M ( x,0)x2y21y3x2y3x3x034 3 3 x2k4 344 y04直线3x0Q (4, 3(1x0 ) )l : yy0( xx0 )4 y0y03(1x0 )* MPMQ 0x

22、0 (x 1) (x 1)( x 3)( x x0 )( x 4) y00y0 * 对 x0(2, 2) 恒成立x1，得 M (1,0)19. 本小题总分值 14 分函数 f ( x) exax 2ex, aR假设曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线平行于x 轴，求函数 f (x) 的单调区间；试确定 a 的取值范围，使得曲线yf ( x) 上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 。考点： 导数。难度： 难。分析：解答： f (x)exax2exf ( x)ex2ax e由题意得： f(1)e2a e0a0f (x) exe 0x 1, f ( x)

23、0x 1得：函数 f (x) 的单调递增区间为(1,) ，单调递减区间为 (,1)设P(x0 , f (x0 ) ；那么过切点P 的切线方程为 yf ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )令 g( x)f ( x)f ( x0 )( xx0 )f ( x0 ) ；那么 g(x0 )0切线与曲线只有一个公共点Pg ( x) 0 只有一个根 x0g ( x)f (x) f ( x0 ) exex02a( x x0 ) ，且 g ( x0 ) 0 1当 a 0 时， g ( x) 0x x0 , g ( x) 0x x0得：当且仅当 xx0时， g(x)ming(x0 ) 0由 x0的任意性

24、，a0 不符合条件 lbylfx 2当 a0 时，令h( x) exex02a( xx0 ) h ( x)ex2a0x xln(2a)当 xx0 时， h (x) 0x x0 , h (x) 0x x0当且仅当 xx0时， g (x)g ( x0 )0g( x) 在 xR上单调递增g( x)0 只有一个根 x0当 xx0 时， h (x) 0x x , h (x) 0x x得： g ( x )g ( x0 ) 0 ，又 x, g (x), x, g ( x)存在两个数x0x 使， g ( x0 )g (x )0得： g ( x)0x0x xg( x ) g (x0 ) 0 又 x, g (x)

25、存在 x1x使 g( x )0 ，与条件不符。当 xx0时，同理可证，与条件不符从上得： 当 a 0 时，存在唯一的点 P(ln(2a), f (ln(2a) 使该点处的切线与曲线只有一个公共点 P20. 此题设有 1、 2、 3三个选考题，每题7分，请考生任选2 题作答，总分值 14分。如果多做，那么按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。 1本小题总分值7 分选修 4-2 ：矩阵与变换设曲线 2x 22xyy21 在矩阵a 0(a0)对应的变换作用下得到的曲Ab 1线为 x2y 21 。求实数 a, b 的值。求 A2的逆矩阵。解： 设曲线 2x22xyy21上任一点P( x, y) 在矩阵 A 对应变换下的像是P ( x , y )那么 xa0xaxxax(