解读数学建模

1、解读数学建模    普通高中数学课程标准(实验)为适应个性选择与发展，提供了多样性课程此外，倡导“数学探究”、“数学建模”等学习活动以及倡导“数学文化”、注重信息技术与数学课程的整合具有鲜明的时代特征，是每位数学教育工作者所面临的全新课题本文就数学建模问题谈些初浅认识 解应用题 问题1 瓦房屋顶的倾斜角多大时，雨水从屋顶流下的时间最短？ 这并非很“难”的题目却让很多的人一片茫然，无从下手 我们知道，中学数学应用问题，大致可以分为四个不同的层次：（）直接套用现成的公式；（）利用现成的数学模型对应用问题进行定量分析；（）对经过提炼加工、忽略了次要因

2、素，保留下来的诸因素之间数量关系比较清楚的实际问题，建立数学模型；（）对原始的实际问题进行分析加工，提炼数学模型 前两类是应用题中比较常见的，问题的解决关键是读懂题目，弄清题意及掌握相应的数学知识；后两类则是比较少见，主要是解决实际问题，需要较强的建模能力，它对培养学生分析问题、解决问题的能力起着至关重要的作用，也让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识 提炼数学模型 何谓数学建模？数学建模其实对我们并不陌生譬如，要确定房间的面积，或者更确切地说，房间地板的面积，先要测量房间的长和宽，然后将所得的数相乘这实际上意味着下列基本的步骤：现实的对象(房间的面积)用抽象的数学模型(长方形)代

3、替，长方形由测量所得的尺寸来刻划，而地板面积就是由这长方形的面积计算得出的 问题2已知舰在舰的正东，距离千米，舰在舰的北偏西30o，距离千米，他们准备围捕海洋动物某时刻舰发现动物信号，秒后，舰、同时发现这种信号，舰于是发射麻醉炮弹设该舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为千米秒，   炮弹初速度为千米秒，其中g是重力加速度，空气阻力不计求舰炮击的方位和仰角 这个应用题，基本上属第三个层次的问题题目是对实际问题经过提炼加工的，把一些次要因素都已经忽略，我们所要做的只是利用相关的平面解析几何的知识以及弹道轨迹方程进行求解而已 那么，这个弹道轨迹又是如何得来的？为了解决这个问题，我们假定

4、： （）地球当作静止的系统；（）自由落体的加速度是常数g；（）地球表面的弯曲可以忽略，即看作地平面；（）炮弹运动时，空气阻力可以忽略 在这里陈述的还只是一些最重要的假定，如果企图绝对不漏掉每一个因素，只会使我们过分远离目标 我们这样选择坐标系：它的原点与弹射器重合，x轴是水平的，指向炮弹运动方向的一侧，y轴竖直向上在所作的假定下，炮弹沿x轴的分速度是匀速Vx=V0cos炮弹在竖直方向的运动是匀加速的，加速度为ay=g，其初速度为Vy=V0sin于是，炮弹的运动特性由方程组x=tv0cos         

5、                                                   

6、;  y=tv0sin  gt2                                       来描述这就叫做给出了在（）（）项假设下的数学模型获得的数学模型乃是很单

7、纯的，利用它很容易得到所提问题的答案，在此就不多详述了 这是一个非常简化的模型如果要考虑空气阻力，那将会得到一个微分方程，这已是超出中学数学所要求的范围了 提炼数学模型是用数学方法解决实际问题最关键的一步在所研究的对象常常称之为一个“系统”，针对所要解决的特定问题，紧紧抓住这个系统中的主要矛盾，分辨哪些量和量的关系是主要的，哪些是次要的？从而暂且摈弃那些可以略而不计的因素，突出主要的因素和关系加以研究把问题的基本数量关系分析清楚以后，还要对有关的量作进一步简化，才能形成一个待解的数学问题通过科学抽象，找到一个能反映问题的本质特征，同时又是理想化、简单化的数学模型在解决实际问题的实践中，要在很多

8、可能的、不同的假设模型中，选择这样的模型，其结构最简单，并在反映所研究的对象的性质时，满足要求的精度 像文中开头所提的问题，我们可以假定水流的初速度为，阻力忽略不计，雨水是在重力的作用下沿屋顶往下流的 要建立一个比较符合实际问题的模型在中学阶段是不太可能办到的像下面看似很简单的问题就已超出了他们所能解决的范畴 问题3 对于一旋转曲面形状的凹镜，假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行求这旋转曲面的方程（汽车灯和探照灯内的凹镜就是这样的） 为了要求旋转曲面的方程，我们可以先求轴截面的曲线方程我们知道这样的曲线应当是抛物线但是，当我们根据条件列出方程时，发现它竟是一

9、个微分方程！这已超出中学生所能解决的范畴 尽管提炼数学模型并非易事，但是必须让学生知道，判定一个数学模型的好坏，常常需要在实践中检验这对培养学生实事求是的科学精神是很有益处的下面看一个例子，以说明实际情况的复杂性及实践检验的重要性 1914年，大西洋中福克兰群岛附近（靠近南美洲沿岸南纬51o，西经60o），英国和德国舰队之间发生了一次海战，最后以英国战胜德国而告终不过，在海战的初期，英国舰艇的排射成批地落在目标左边100米左右，并需要专门的调整发射装置才能消除系统偏差这种现象的发生是由下列原因造成的：在英国舰艇上设有自动调整射击目标的设备，这种设备考虑了地球自转的因素，以修正误差，但这是按北半

10、球中的纬度（50oN）计算的,而战争发生在南半球中的纬度,由于地球的旋转，弹头的偏离在这里为负值，调整射击目标的结果，不但没有消除偏离值，反而造成两倍的偏离，故有100米左右的偏差 数学建模带来数学的理性精神 凡事预则立，不预则废“预”就要做到心中有“数”，而这个“数”常常需要通过数学建模才可达到 问题某地区羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的今研制一种新的预防药，任选只做实验，结果这只羊服用此药后均未患病问此药是否有效？ 乍看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病，事实胜于雄辩但仔细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占.4左右这只羊未患病，未

11、必是药的作用分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取只羊都不患病的可能性大不大这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么，现在我们这几只羊却未患病，应该是药的效果，即药有效这里我们是采用离散数学中概率论的数学模型 现假设药无效，只羊都不生病的概率是 (.4)50.078 这个概率很小，该事件几乎不会发生，现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的应该指出的是，当我们作出判断“药是有效的”时，是可能犯错误的犯错误的概率是0.078也就是说，我们有近92o/o的把握认为药是有效的 显然，通过建立数学模型，求得问题的解，使我们做到心中有“数”，极大提高了我们的理性思维，增强了科学性通过这类

12、案例的学习或探究活动，可以形成学生的批判性思维习惯，崇尚数学的理性精神，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观 数学建模教学的实现 数学建模教学的主要途径，一般地就是应用题的教学，有时也通过现实世界的实际案例通过应用题的教学，首先是发展学生的数学语言能力，数学阅读能力和数学交流能力我们还要让学生逐步明了数学模型方法的含义：数学模型方法就是借用数学模型处理各类问题（包括数学学习和实际应用等方面）的方法数学模型方法的学习与掌握、运用及深化，一般是按照模仿模型转换模型构造的主线进行和发展进行数学建模，首先学习和熟悉一些基本的模型其次逐步扩展用己有的数学知识解释一些实际结果，描述一些实际现象，

13、模仿地解决一些实际问题，并能建立数学模型而求解 数学建模的最高层次要求，是培养学生的建模意识及初步能力，要进行这方面的训练，可以结合研究性学习，选择一些课题进行研究由于现实问题常常受到诸多因素的影响，其数学模型的建立常常超出中学数学知识的范围，所以在处理问题时要采取灵活多样的方式、方法 在数学建模与应用题的教学中，要注意区分数学建模与利用已有的数学模型解题的区别前者需要较强的实践能力，分析、观察及抽象能力，后者则主要是读懂题意，在此情况下其数学模型已在编题中就已建立起来了，如利用二次函数求极值问题、指数增长问题等等利用现有的数学模型解应用题，要注意引导学生分析所得的结果，评判题目中所给模型的优劣，及可能的改进方法等 上面我们简要谈了建立数学模型的一些要点及其在教学中实现的