二次函数优秀讲义

1、二次函数考点一、二次函数的概念（1） 定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.（2）注意： 二次项系数不为“0”； 未知数最高指数为“2”； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、若是二次函数，则m的值为 变式训练：若是二次函数，则的值为。例、化工厂在一月份生产某种产品200吨，三月份生产y吨，则y与月平均增长率x(自变量)的关系是_例、下列函数关系中，可以看作二次函数模型的是（ ） （A）在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 （B）我国人口年自然增长率为1，这样我国人口总数随年份的变化关系（C）竖直向上发射的信号弹，从发射到落回

2、地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） （D）圆的周长与圆的半径之间的关系说明：此题在实际情境中考查了对二次函数模型构建的理解考查了如何从所给命题中，找出变量，建立解析式可用排除法针对性练习：一、填空题1正方形的边长是2cm，设它的边长增加x cm，正方形的面积增加y cm2，则y与x之间的函数关系为_，y是x的_次函数22002年重庆市的国民生产总值是2000亿元，预计2003年比2002年、2004年比2003年每年都增长x，则2003年重庆市的国民生产总值为_亿元；设2004年重庆市的国民生产总值为y亿元，则y与x之间的函数关系为_，y是x的_次函数3、若是二次函数，则的值为。二

3、、选择题1下列函数中，不是二次函数的是（ ）（A） （B） （C） （D）2若是二次函数，则m的值为（ ）（A）1 （B）2 （C）1或2 （D）23在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的一个圆环的面积为y cm2，则y与x的函数关系式为（ ）（A） （B） （C） （D）考点二、会用待定系数法求二次函数的解析式1、待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：“设-列-解-答”设：根据条件，设出相应函数的待定解析式；列：代入数据，列出关于待定系数的方程组；解：解方程组，求出待定系数的值；答：将求出的值带入所设的解析方程，即为所求。2、二次函数的三种解析式以及求二次函数的一般方法：

4、一般式：，对称轴为，顶点为（）； 条件：已知图像上三点或三组（、）的值，通常选择一般式，即列关于a、b、c的三元一次方程组解决.顶点式：，其中对称轴为，顶点坐标为（h,k）条件：已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式（两根式）：,其中是抛物线与轴的两个交点；条件：已知图像与轴的交点横坐标、，通常选用交点式，只需求待定系数。 根据条件灵活地选择函数的解析式典型例题1、已知二次函数，当x4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式例2、已知二次函数的图像经过点（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求这个二次函数的解析式.例3、已知抛物线的顶点为，与轴交点为，求

5、此抛物线的解析式.例4已知抛物线与轴交于，并经过点，求抛物线的解析式.例5、求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式例6、已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x轴相切(1)求二次函数的解析式；(2)当x在什么范围时，y随x的增大而增大；(3)当x在什么范围时，y随x的增大而减小例7已知抛物线与x轴两交点的横坐标是1，3，与y轴交点的纵坐标是，确定抛物线的解析式.例8已知函数的图像如下图所示，那么此函数的解析式为（） A、BC C、D考点三、二次函数 （ ）的图像（抛物线）和性质图象：确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向；确定图象与轴、

6、轴的交点。性质：确定增减性；确定最大值或最小值。相互联系和转化：特殊与一般相互联系和转化； 会把一般式化为顶点式。二次函数的平移见下图： ，类型一、yax2(a0)的图象与性质典型例题：例、已知函数是关于x的二次函数求：（1）满足条件的m的值（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？说明：解这类有关二次函数的性质问题，最好能画出抛物线的草图，以便利用数形结合思想进行观察和分析作者：王新民 tyxm_w针对性练习：1在同一坐标系中，图象与的图象关于轴对称的函数为（ ）（

7、A） （B） （C） （D）2抛物线共有的性质是（ ）（A）开口向上 （B）对称轴是y轴 （C）都有最高点 （D）y随x的增大而增大3若点在抛物线上，则点A关于y轴对称点的坐标是（ ）（A）（2，4） （B）（2，4） （C）（2，4） （D）（2，4）类型二、特殊yax2(a0)与一般y=ax2+bx+c(a0)相互联系和转化1图形的移动（翻折，平移，旋转）向上(向下)平移k个单位向 左 (或 右)平移个单位向 左 (或 右)平移个单位向上(向下)平移k个单位 平移：沿x轴平移，左加右减（x变）；沿y轴平移，上加下减（y变）。翻折：沿x轴翻折，y相反；沿y轴翻折，x相反。原点对称：x、y全相

8、反。典型例题：作者：王新民 tyxm_w例、二次函数的图象，可由的图象A向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到作者：王新民 tyxm_w例2、将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是（ ）（A） （B） （C） （D）例3、抛物线可由抛物线向_平移_个单位，再向_平移_个单位而得到例4、将二次函数 y = - x2 + 2x + 3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为 . 例5、将抛物线向右平移1个单位

9、，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为例6、已知抛物线C1 的解析式 y = 2x2 - 4x + 5，抛物线 C2 与抛物线C1 关于 x 轴对称，则抛物线C2 的解析式为 .拓展提升：1、已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A B C D2、如图，抛物线y1x22向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：(1)抛物线y2的顶点坐标_；(2)阴影部分的面积S_；(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向_，顶点坐标_3、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，

10、且过点（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标类型三、的图象与性质 1、二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时，开口向上当时，开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()的符号决定抛物线的开口方向；相等，抛物线的开口大小、形状相同；如果相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.二次函数用配方法可化成：的形式， 其中当时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点典型例题：例1、如图，四个二次

11、函数的图象中，分别对应的是：，则a、b、c、d的大小关系为（ ）（A） （B） （C） （D）说明：当相同时，几条抛物线的形状和大小相同，只是位置不同，相互间可以通过平移得到； 的绝对值越大，开口越小；例2、已知二次函数为（1）写出它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）m为何值时，顶点在x轴上方？例3、已知抛物线的图象的草图如图所示，试确定a，b，c及的符号说明：这是二次函数中一类典型的数形结合问题，其确定符号的一般方法是：a的符号：由开口方向决定；的绝对值越大，开口越小；c的符号：由抛物线与y轴的交点（0，c）的位置来决定；b的符号：由对称轴的位置及已确定a的符号一起决定（同左异右）

12、；的符号：由抛物线与x轴交点的个数确定；的符号：由时，函数值的符号决定；作者：王新民 tyxm_w作者：王新民 tyxm_w的符号：由时，函数值的符号决定；例4、函数的图象如图所示，为该函数图象的对称轴，根据这个图象，你能得到关于该函数的哪些性质和结论？（写出四个即可）说明：此题是一道开放性题目，考查对二次函数图象的掌握及对图象所代表的二次函数的类型的理解作者：王新民 tyxm_w针对性练习：1、抛物线y = - 2 ( x 3 )2 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ；2、抛物线 y = 2x2 + 12x 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 .3、若将二次函数y=x22x + 3配方

13、为y =（xh）2 + k的形式，则y= 4、抛物线y= - 4（x+2）2+5的对称轴是 。5、抛物线 y = - 3x2 + 5x - 4开口 , y = 4x2 6x + 5 开口 .6、已知P1（）、P2（）、P3（）是抛物线上的三个点，若，则的大小关系是_。7、已知函数y=x2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y1成立的x的取值范围是( )A-1x3 B-3x1 Cx-3 Dx-1或x38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( )A h=m B k=n C kn D h0,k09、抛物线的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x轴交

14、于A、B两点,若B点的坐标是(,0),则A点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。这样的二次函数的解析式可以是_。12、二次函数yax2bxc图象如图所示，则点A(ac，bc)在（ ）12题题图O(第10题图)xyA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限O（14题图）13、已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结 论中正确的（ ）A B C D 14、二次函数的图象如图所示，则直线的图象不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限15、已知二次函数的图象如图所

15、示，则在“a0，b0，c 0，b24ac0”中，正确的判断是（  ） A B  C  D15题 16题 17题16、已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，下列结论中： abc > 0； b = 2a； a + b + c；a b + c ，正确的个数是（ ）.(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个 17、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（ ） (A) ab < 0 (B) bc < 0 (C) a+b+c > 0 (D) a-b+c <

16、 0拓展提升：1、已知抛物线y=(x - 4)2 - 3的部分图像(如图) 图像再次与x轴相交时的坐标是（ ）(A) (5，0) (B) (6，0) (C) (7，0) (D) (8，0)2、如图，已知二次函数y= (a0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是 ( )(A)4+m (B)m (C)2m一8 (D)82m3、已知点A（1,）、B（）、C（）在函数上，则、的大小关系是( ) A B C D 4、开口向下的抛物线的对称轴经过点（1，3），则_。5、抛物线上有两点（3，8）和（5，8），则对称轴是 。6、已知二次函数，则当m= 时

17、，其最大值为0.17、已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=2时，x的值只能取0其 中正确的个数是（  ）Al个     B2个   C3个    D4个19题17题18题18、已知抛物线yax2bxc（a>0）的对称轴为x1，交x轴的一个交点为（x1，0），且0<x1<1， 下列结论：9a3bc>0  b<a   3ac>0，其中正确的个数有（ 

18、0; ）A、0个  B、1个 C、2个 D、3个19、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个22题20题20、如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A（3， 0），对称轴为x1给出四个结论：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正确结论是（） （A）（B）（C）（D）21、已知二次函数y=ax2+bx+c，且a0，a-b+c0，则一定有（ ）（A）b2 - 4ac0 （B）b2 - 4ac=0 （C）b2 - 4ac0 （D）b2 - 4ac022、二次函数y =ax

19、2bxc 的图象如图所示，且P=| abc | 2ab |，Q=| abc | 2ab |，则P、Q的大小关系为 . 23、如图7，已知二次函数的图象与轴交于点（-3，0），（x1，0），且2<1<3，又与轴的正半轴的交点在点（0，2）的上方，下列有四个结论：a>b>0 6a+c>0 9a+c<0 9a+3b+2>0其中正确的结论是_（将你认为正确结论的序号都填上）考点四、直线与抛物线的交点（1）抛物线与轴（或平行于轴的直线）的交点该交点是由所得，且只有一个(,).特别地，当x=0时，交点为(0, ).（2）抛物线与轴（或平行于轴的直线）的交点由方程组

20、所得，故交点的横坐标是方程的解；交点的个数受方程根的判别式决定，即：抛物线与轴相交有两个交点（x1、k）（x2、k）；抛物线与轴相切有一个交点（x、k）（即顶点在上）；抛物线与轴相离没有交点.特别地，当时，即表示为与x轴的交点。二次函数，当时,得到一元二次方程，即一元二次方程是二次函数的一种特殊形式1、已知函数解析式，求点的问题，可用方程或方程组解决（代入法）。2、已知点的坐标，求函数解析式中待定系数的问题，也可用方程思想解决。一次函数的图像与二次函数的图像的交点由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.（5）抛

21、物线与轴两交点之间的距离：若与轴的两交点为，由于、是方程的两根，故：所以：基础练习题：1、若二次函数y=x24x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=_ _（只写一个）2、已知二次函数 y = ax2 2 的图象经过点（1，- 1），则这个二次函数的解析式为 ，该函数图象与 x 轴的交点个数为 .3、抛物线y = x2 - 6x + c 的顶点在 x轴上，则 c 的值是（ ）.（A） 9 （B） 3 （C） - 9 （D） 04、函数的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 拓展提升：1、二次函数的值永远为负值的条件是a 0, 02、二次函数y=x26x5，当  &#

22、160; 时，y<0，且随的增大而减小。3、二次函数y=x22x3与x轴两交点之间的距离为_.4、已知： 二次函数 y = ( m 3 ) x2 + 2mx + m + 2，其中m 为常数，且满足-2 < m < 3，此抛物线的开口 ，与 x 轴 交点（填有、无），与 y 轴的交点在x 轴 （填上方、下方）.5、如果二次函数y = 2x2 + ( 2a b )x + b，当且仅当1 < x < 2 时，y < 0，那么 a、b 的值是 .6、抛物线 y = - x2 + 4x + n - 2 的顶点 P 在 x 轴上，求此抛物线与两坐标轴的交点的坐

23、标.7、抛物线与Y轴交于点A，与X轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，ABC的面积=3,求b、c的值。8、已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A（2，0）.（1）求b、c的值；（2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求OAB的周长（答案可带根号）综合提升1、若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图像分别表示量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的a、b、c、d对应排序(a) 小车从光滑的斜面上滑下（小车速度与时间的关系）(b) 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物重量的关系）(c) 运动员推出去的铅球（铅球高度与时间的关系）(d) 小杨从A到B后，停留一

24、段时间，然后按原速度返回（路程与时间的关系）正确的顺序是：（ ）(A)（c）（d）（b）（a） (B)（a）（b）（c）（d）(C)（b）（c）（a）（d） (D)（d）（a）（c）（b）OxyOxyOxyOxyABCD2、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）Oxy3、反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图，它们的解析式可能分别是（ ）（A）y=，y=kx2-x （B）y=，y=kx2+x （C）y=-，y=kx2+x （D）y=-，y=-kx2-x 4、已知一次函数 y = ax + c 与二次函数 y = ax2 + bx + c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）.(A) (B) (C) (D)5、下列图中阴影部分的面积与算式|+（）2 + 2-1