第四章 水质模型

1、第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt第一节第一节 污染物扩散规律污染物扩散规律第二节第二节 水质数学模型水质数学模型第三节第三节 水质预测水质预测第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt alpha alpha lfalfa阿拉法阿拉法 beta beta bi:tbi:t / / beitbeit 北塔北塔 gamma gamma g gm m 咖吗咖吗 delta delta deltdelt 德儿塔德儿塔 epsilon epepsilon epsailsailnn易普塞龙易普塞龙 zeta zeta zi:tzi:t 贼塔贼塔 eta eta i:ti:t / / eiteit 姨

2、塔姨塔 theta theta itit 习塔习塔 iota aiiota aioutout 哎欧塔哎欧塔 kappa kappa k kp p 卡怕卡怕 lamda lamda l lmdmd 兰姆达兰姆达 第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt mu mju:mu mju:缪缪nu nju:nu nju:拗拗xi ksai / gzai / zaixi ksai / gzai / zai克晒克晒 omicron ouomicron oumaikrmaikrnn欧麦克轮欧麦克轮 pi paipi pai派派rho rourho rou柔柔sigma sigma sigmsigm 西格玛西格

3、玛 tau tautau tau套套upsilon upsilon ju:psilonju:psilon优普西龙优普西龙 phi fai phi fai 费费chi kaichi kai开开psi psi:psi psi:普赛普赛 omega omega oumigoumig / ou / oumi:gmi:g 欧米嘎欧米嘎第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt第一节 污染物扩散规律 静水环境中的分子扩散规律 动态水环境中的移流扩散规律 扩散方程的解析第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt静止的水体中存在分子的不规则运静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微粒也作不规动，从而使在

4、水中的微粒也作不规则的运动，这个现象早已在则的运动，这个现象早已在18261826年年为布朗的著名实验证实。为布朗的著名实验证实。除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一原因外，它还存在于一切流动的水体中。原因外，它还存在于一切流动的水体中。一、静水环境中的分子扩散规律费克（费克（FickFick）扩散（分子扩散）：）扩散（分子扩散）： 由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt费克第一定律：费克第一定律： 18551855年德国生理学家费克（年德国生理学家

5、费克（FickFick）提出）提出静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方向通过一定面积的污染物质量与该方向的浓度梯度定方向通过一定面积的污染物质量与该方向的浓度梯度成正比。成正比。式中：式中：q q是单位时间通过单位面积的污染物质量，也称为质量通量；是单位时间通过单位面积的污染物质量，也称为质量通量； c c溶质浓度（单位体积流体中的溶质质量溶质浓度（单位体积流体中的溶质质量 D D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为L2T-1L2T-1 一般约为一般约为10-610-610-510-5cm2cm

6、2s-1s-1 xxcq xcDq 用等号一维费克扩散示意图对一维扩散，费克定律可表示为对一维扩散，费克定律可表示为：第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt费克第二定律费克第二定律一维一维设设c(x,t)是时刻是时刻t位于位于x点上单点上单位体积的质量。在该体积内位体积的质量。在该体积内保守的污染物质量对时间的保守的污染物质量对时间的变化率为：变化率为：xttxc),( xxtxqtxq ),(),(设在设在x x处的通量为处的通量为q(x,t)q(x,t)，则在，则在(x+(x+x)x)处的通量为处的通量为: :一维输移的控制体：两个具有单位面积一维输移的控制体：两个具有单位面积的平行面与

7、的平行面与x轴垂直轴垂直第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量-流出的污染物质=污染物质量对时间的变化率相等，即:xttxcxxtxqtxqtxq ),(),(),(),(Fick定律：xcDq 二阶线性抛物型偏微分方程0 tcxq22xcDtc 第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt费克第二定律费克第二定律 式中：式中： 溶质浓度随时间的变化率。溶质浓度随时间的变化率。 tc0zqyqxqtczyxxqxqxq为溶质在为溶质在x,y,z方向上的通量方向上的通量三维分子扩散方程三维分子扩散方程222222zcDycDxcDtczyx式中：Dx，

8、Dy，Dz沿x，y，z方向的分子扩散系数第四章第四章 水质模型水质模型整理pptDx=Dy=Dz时，即在各项同性情况下，三维分子扩散方程时，即在各项同性情况下，三维分子扩散方程222222zcycxcDtcm第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt某些物质在水中的分子扩散系数（某些物质在水中的分子扩散系数（ cm2cm2s-1s-1，水温为，水温为2020）物物 质质扩散系数扩散系数D D物物 质质扩散系数扩散系数D D氧氧1.801.801010-5-5醋酸醋酸0.880.881010-5-5二氧化碳二氧化碳1.501.501010-5-5甲醇甲醇1.281.281010-5-5一氧化氮一氧

9、化氮1.511.511010-5-5乙醇乙醇1.001.001010-5-5氨氨1.761.761010-5-5酚酚0.840.841010-5-5氯氯1.221.221010-5-5甘汕甘汕0.720.721010-5-5氢氢5.135.131010-5-5尿素尿素1.061.061010-5-5氮氮1.641.641010-5-5葡萄糖葡萄糖0.600.601010-5-5氯化氢氯化氢2.642.641010-5-5蔗糖蔗糖0.450.451010-5-5硫化氢硫化氢1.801.801010-5-5食盐食盐1.351.351010-5-5硫酸硫酸1.731.731010-5-5氢氧化钠氢氧

10、化钠1.511.511010-5-5D D值由实验确定，值由实验确定，D D值大，扩散快；反之，扩散慢。值大，扩散快；反之，扩散慢。第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt污染物的浓度变化主要是由紊动扩散和随流输移引起的初始稀释阶段主要发生在污染源附近区域，沿水深的垂向浓度逐渐均匀化一维纵向离散阶段横断面浓度均匀混合以后的下游均匀移流扩散阶段污染扩散阶段污染物在过水断面上，由于存在浓度梯度，污染由垂向均匀化向过水断面均匀化发展二、动水环境中的移流扩散规律第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt移流扩散移流扩散：由于时均流速使污染物质发生输移的现象：由于时均流速使污染物质发生输移的现象紊动扩散紊

11、动扩散：由于脉动流速使污染物质发生输移：由于脉动流速使污染物质发生输移对层流对层流: : u、 v、w为零为零x，uy，vz，w设流体质点具有瞬时流速矢量设流体质点具有瞬时流速矢量 在在x、y、z直角坐标上的分量分别为直角坐标上的分量分别为u、v、w： v图图 直角坐标系下的瞬时流速分量直角坐标系下的瞬时流速分量一、移流扩散方程一、移流扩散方程wwwvvvuuu第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt1.1.一维随流扩散方程一维随流扩散方程 设设v=w=0v=w=0，只有，只有u u分量（沿分量（沿x x轴）轴） lFickFick定律：定律：xcDqf l污染物随流输移的通量：污染物随流输移

12、的通量：ucqs l在随流作用和分子扩散作用下，单位时间内通过直角坐标在随流作用和分子扩散作用下，单位时间内通过直角坐标系系yzyz平面上单位面积的示踪物质质量：平面上单位面积的示踪物质质量： xcDucq xqfqs图图 随流和分子扩散示意图随流和分子扩散示意图第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt质量守恒式：质量守恒式： 22)(xcDucxtc 22xcDxcutc 根据不可压缩流体的一维连续性方程根据不可压缩流体的一维连续性方程有有：0 xu一维随流扩散方程一维随流扩散方程0 tcxq为了求得在一定的初始条件和边界条件下该方程的解析解为了求得在一定的初始条件和边界条件下该方程的解析解

13、, ,一般都补充假定一般都补充假定 u u/ / t t =0=0，亦即认为，亦即认为u u也不随也不随t t 而变。而变。一维输移的控制体示意一维输移的控制体示意xcDucq 对对随随流流，式式中中：第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt222222)(zcEycExcEzcuycuxcutczyxzyx对三维情形，用直角坐标表示随流扩散方程与分子扩散方程不同点是多了一些随流项，共同点是两者都是质量守恒定律在扩散问题中的体现。zcuycuxcuzyx随流输移项，表示在三维水环境中污染物浓度的随流输移项，表示在三维水环境中污染物浓度的随流输移量随流输移量222222zcEycExcEzyx紊

14、动扩散项，表示在三维水环境中污染物浓度的紊动扩散项，表示在三维水环境中污染物浓度的紊动扩散量紊动扩散量第四章第四章 水质模型水质模型整理pptl脉动性：各种流动参量如流速、压力等的值呈现强烈的脉动现象，脉动性：各种流动参量如流速、压力等的值呈现强烈的脉动现象，具有一定的随机性具有一定的随机性l不规则性：流体质点做极不规则的运动不规则性：流体质点做极不规则的运动l扩散性：流体的各项特性如动量、能量、温度和含有物质的浓度等扩散性：流体的各项特性如动量、能量、温度和含有物质的浓度等通过紊动向各方向传递通过紊动向各方向传递l三维有涡性：紊流是有涡运动，而且总具有三维的特性三维有涡性：紊流是有涡运动，而

15、且总具有三维的特性l大雷诺数：流体的雷诺数超过某个临界值后，流动不稳定，扰动才大雷诺数：流体的雷诺数超过某个临界值后，流动不稳定，扰动才能发展形成紊流。能发展形成紊流。二、紊动扩散方程二、紊动扩散方程紊流的特性第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 由于紊流脉动流速的作用使污染物质发生输移的现象称由于紊流脉动流速的作用使污染物质发生输移的现象称为紊动扩散。为紊动扩散。在紊动扩散问题上的距离方差是否也具有与历时成正比的同样规律呢？分子扩散系数D是反映由于液体分子运动使污染物质点发生位移时用于表达通量与浓度梯度成比例的一个系数（费克定律），那么，由于紊动而使示踪质点发生输移时，是否还要使用类似的

16、系数呢？ 由于液体分子运动的作用使污染物质点发生随机运动时的距离方差与扩散历时成正比：sx2 =2Dt 。紊流的脉动流速是随机性，因而使污染物质质点的位移也是随机性的，它们的随机性与液体分子运动的随机性是否相类似？第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt( 1 )( 2 ) 对紊流讲，点瞬时速度i可表为点时均速度 与点脉动速度ui之和，即iuiiiu uu uu u ccc 在紊流中，由于流体的紊动使污染物质的点瞬时浓度 c 也具有随机性质。因此，可以假设点瞬时浓度 c 是时均浓度 和脉动浓度c 之和，即：c第四章第四章 水质模型水质模型整理pptiiiiixxccDxcctcc )()()(

17、)(2u uu uiiiiiiiixcxcxcxc )()(u uu uu uu u ( 4 )因为脉动流连续方程为 ，便有: 0 iixu uiiiixxcDxctc u u 2 三维随流扩散方程是研究随流紊动扩散的基础，将三维随流扩散方程简写为：( 3 )第四章第四章 水质模型水质模型整理pptiiiiiixcxxcDxctc )(2u uu u)()(22iiiiiiiiiiiixxcxxcDxcxcxcxctctc u uu uu uu u将上式代入(4)，有：( 3-5-5 )运用雷诺运算法则，并注意到 ，便得: 0 u u c三维随流紊动扩散方程的初形第五节 随流紊动扩散方程第四章

18、第四章 水质模型水质模型整理ppt将上式改用直角坐标表示为： 222222zcEycExcEzcycxcutzyx u uu u式中： 分别是点时均流速在x、y和z方向上的分量。 u u、u紊动扩散222222zcEycExcEtzyxu第四章第四章 水质模型水质模型整理pptiiiixxcExct 2u uu u)(222222zcycxcEzcycxcutuu以上结果均是针对示踪物质而得到的随流紊动扩散方程为:第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt三、扩散方程的解析l扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）l解的形式：解析解、数值解解的形式：解析解

19、、数值解l污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源 不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源l污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排放）正常排放）l瞬时源是一种近似，连续源又分为恒定和非恒定源瞬时源是一种近似，连续源又分为恒定和非恒定源l污染物扩散：一维、二维、三维扩散方程污染物扩散：一维、二维、三维扩散方程第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt22xcDtcm一维分子扩散方程：一维分子扩散方程：1.1.一维瞬时点源投放一维瞬时点源投放（

20、一） 静态水环境中瞬时源和连续扩散问题的解析瞬时源瞬时源：是指在某时刻，在极短时间内将污染物投放到水环境当中，如海洋：是指在某时刻，在极短时间内将污染物投放到水环境当中，如海洋中突然发生的邮轮事故。中突然发生的邮轮事故。假设在一维水环境里，瞬间（假设在一维水环境里，瞬间（t=0）于某处投放的污染物向水域两侧扩散，）于某处投放的污染物向水域两侧扩散，形成浓度场；取污染投放处为计算的坐标原点形成浓度场；取污染投放处为计算的坐标原点第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt（2 2）边界条件：）边界条件： c(c(,t)=0, ,t)=0, c(c(,t)/,t)/ x=0 x=0物理含义物理含义：当

21、：当t=0t=0时，在通过时，在通过x=0 x=0处且与处且与x x轴垂直的平面上，轴垂直的平面上，单位面积的污染物质量为单位面积的污染物质量为m,m,它位于它位于x=0 x=0处以无限处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间中。大的浓度强度浓缩在无限小的空间中。 c(x,0)=mc(x,0)=m (x)(x) 000)( xxx狄拉克（狄拉克（DeltaDelta） 函数函数 （1 1）初始条件：）初始条件：物理意义物理意义：在无穷远处，在有限时间内，不会受到污染物：在无穷远处，在有限时间内，不会受到污染物的影响的影响第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt（3 3）解析方法：如拉普拉斯变换、

22、分离变量法和量纲分析法）解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法量纲分析量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律：，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律：l量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同；量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同；l任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而不会改变物理过程的规律性；不会改变物理过程的规律性；l物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生

23、改变。定律（布金汉定律定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有）：任何一个物理过程，包含有k+1k+1个有个有量纲的物理量，如果选择其中量纲的物理量，如果选择其中m m个作为基本物理量，那么该物个作为基本物理量，那么该物理过程可以由理过程可以由(k+1)-m(k+1)-m个无量纲数所组成的关系来描述。个无量纲数所组成的关系来描述。第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt式中式中:f:f为待定函数，故可在上式中写上为待定函数，故可在上式中写上4 4和和4 4，目的是使目的是使最终的解较为简明最终的解较为简明; ; m m是单位面积上的污染物质量，而不是全部污染物的是单位面积上的污染物质量，而

24、不是全部污染物的质量质量M M，m m的量纲是的量纲是MLML-2-2 M M与与m m的关系是的关系是m=M/Am=M/A，其中，其中A A是通过坐标原点且与是通过坐标原点且与x x垂直的垂直的面积，并假设平均分布在该面积中。面积，并假设平均分布在该面积中。 假设有函数：假设有函数： F(c,m,D,x,t)=0F(c,m,D,x,t)=0利用利用定律，选定律，选c c、D D、t t为基本变量，可得：为基本变量，可得：)4(4),(DtxfDtmtxc 从物理概念上分析，浓度从物理概念上分析，浓度c c是是m m、D D、x x、t t的函数的函数0),( DtxDtcmF第四章第四章 水

25、质模型水质模型整理ppt 设变量设变量Dtx4 进一步令进一步令 ，有，有: : 。边界条件由原来的边界条件由原来的c c( (,t)=0, ,t)=0, c(c(,t)/,t)/ x=0 x=0f()=0f()=0，df()/ddf()/d=0=0即即= =常数常数k k1 1, ,因此有：因此有：以以f f的边界条件代入上式得的边界条件代入上式得k k1 1=0=0，故上式变为，故上式变为: :)(4),( fDtmtxc02fddf它的通解为：它的通解为：20ekf22xcDtc02222fddfdfdfddf2)(12kfddf0dd第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt为任何时刻源

26、点浓度（坐标原点与源点重合的情况下）为任何时刻源点浓度（坐标原点与源点重合的情况下）根据污染物质的质量守恒定律，有根据污染物质的质量守恒定律，有对上式分别通过求对上式分别通过求t0t0、 x0 x0和和t0t0（x0 x0）的极限，）的极限，可得到可得到c=c=和和c=0c=0，这说明了该解也是满足初始条件的。，这说明了该解也是满足初始条件的。此外，上式虽然是对此外，上式虽然是对x0 x0的定解条件求解，但也可用于的定解条件求解，但也可用于x x0 0情形。情形。 , ,推出推出k k0 0=1=1)4exp(4),(2DtxDtmtxc02mcdx第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt瞬时

27、点源一维无界空间的浓度分布瞬时点源一维无界空间的浓度分布瞬时点源一维无界空间的浓度瞬时点源一维无界空间的浓度场在任一时刻场在任一时刻t t沿沿x x轴是正态分轴是正态分布，随时间布，随时间t t的增加，浓度的峰的增加，浓度的峰值值C Cm m变小，而扩散的范围变宽。变小，而扩散的范围变宽。)4exp(4),(2DtxDtmtxc)2(2exp(221),(22DtxDtmtxc第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt2 2 一维瞬时空间分布投放一维瞬时空间分布投放设只当设只当t=0t=0时在时在x=x=处投放污染物质（瞬时点源）处投放污染物质（瞬时点源）初始条件：初始条件：c(x,0)=mc(

28、x,0)=m(x-(x-) )边界条件：边界条件：c(c(,t)=0,t)=0 空间分布源可以看做成若干个瞬时集中点源的叠加，在数学上，即对点源的积分空间分布源可以看做成若干个瞬时集中点源的叠加，在数学上，即对点源的积分4exp4),(2DtxDtmtxc）（有解：第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt现将初始条件改为：现将初始条件改为： c(x,0)=f(x),-c(x,0)=f(x),-x 其中其中f(x)f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长直线上给定为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长直线上给定的浓度为的浓度为f()f()，它的量纲为，它的量纲为MLML-3-3 ，

29、单位面积上的质量为，单位面积上的质量为f(f()d)d。位于位于处由该微小污染单元处由该微小污染单元的扩散而导致在时刻的扩散而导致在时刻t t位于位于x x的浓度应为的浓度应为: :用一系列质量为用一系列质量为f()df()d的团块来求浓度分布的团块来求浓度分布4)(exp4)(2DtxDtdfdcdDtxDtftxc4)(exp4)(),(2第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt下面讨论两种特殊情况：下面讨论两种特殊情况：单侧阶梯浓度函数的浓度分布单侧阶梯浓度函数的浓度分布1.1.当当f(x)f(x)为阶梯函数：为阶梯函数： 该问题的物理模型可认为该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截

30、面是在一条无限长的等截面渠道的静水中，左端（渠道的静水中，左端（x0 x0 x0）为清水，现闸）为清水，现闸门突然打开，左边的污染门突然打开，左边的污染物质向右边扩散。解的形物质向右边扩散。解的形式为：式为：000)0 ,()(0 xxcxcxf当当当当 0204)(exp4),(dDtxDtctxc第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 取变换取变换有有,4Dtxu )4(2)4(1 2),(00DtxerfccDtxerfctxc 即：即：式中：式中：erf(z)(z)为误差函数，为误差函数，erfc(z)(z)为余误差函数，即为余误差函数，即)4(22)exp(2)exp(),(040

31、20420DtxerfcduucduuctxcDtxDtx)(1)()exp(2)(02zerfzerfcduuzerfz第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 取变换取变换=x-=x-, ,有有再取变换再取变换 , ,有有该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面渠道该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面渠道的静水中，突然发生事故，在渠中出现一段污染源而向的静水中，突然发生事故，在渠中出现一段污染源而向两端扩散的情形。解的形式为：两端扩散的情形。解的形式为：2.2.当当f(x)f(x)为阶梯函数：为阶梯函数： 1100)0 ,()(xxxxcxcxf 当当当当X=0X=0X=XX=

32、X1 1X=-XX=-X1 1初始浓度分布图初始浓度分布图114)(exp4),(20 xxdDtxDtctxc114exp4),(20 xxxxdDtDtctxcDtu4第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt双侧阶梯浓度函数的浓度分布双侧阶梯浓度函数的浓度分布随着随着 增大，浓度增大，浓度分布曲线愈平坦化。分布曲线愈平坦化。)4()4(2)4()4(2)exp()exp()exp(),(1101104/ )(024/ )(0204/ )(4/ )(201111DxxerfDxxerfcDxxerfDxxerfcduuduucduuctxcDtxxDtxxDtxxDtxx1/ xDt第四章第

33、四章 水质模型水质模型整理ppt误差函数的定义误差函数的定义: : 从而有：从而有：余误差函数的定义余误差函数的定义: :0)0(, 1)()exp(2)()()(2erferfxxerfdxdxerfxerfzduuzerf02)exp(2)()(1)(zerfzerfc第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt000第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt时间连续点源：时间连续点源：在流场的某一点上，连续不断地投入浓度在流场的某一点上，连续不断地投入浓度为为c c0 0（常数）的污染物质，即时间连续恒定点源。（常数）的污染物质，即时间连续恒定点源。如果一维扩散区域无限长，则可将投放点位置取为

34、坐标原点如果一维扩散区域无限长，则可将投放点位置取为坐标原点假设在初瞬时假设在初瞬时t=0t=0，沿，沿x x轴各处的浓度均为零，但在轴各处的浓度均为零，但在x=0 x=0处浓处浓度突然从零增加到，以后保持不变，亦即度突然从零增加到，以后保持不变，亦即c(0,t)=cc(0,t)=c0 0无限边界条件为无限边界条件为c(c(,t)=0,t)=0本问题的解也是一个有用的基本解，可以用来构造其他某些本问题的解也是一个有用的基本解，可以用来构造其他某些问题的解。问题的解。3 3 一维连续点源投放一维连续点源投放第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt借助量纲分析法来求解浓度分布借助量纲分析法来求解浓

35、度分布c c(x,t) (x,t) 显然，显然，c c与与c c0 0, ,D D, ,x x和和t t有关，利用有关，利用定理定理, ,选选 c c、D D和和t t为基本变量，为基本变量，可得如下可得如下关系式：关系式： )(0Dtxfcc 式中：式中：f f是某一待确定的函数。令是某一待确定的函数。令 , ,有有Dtx/ 02122 ddfdfd二阶变系数齐次常微分方程二阶变系数齐次常微分方程0),4()4(1 ),(00 xDtxerfccDtxerfctxc边界条件为边界条件为f f(0)=1,(0)=1,f f( ()=0,)=0,显然有显然有c c(-x,t)=(-x,t)=c

36、c(x,t),(x,t),解对称解对称于原点，只需沿于原点，只需沿x x正向求解。正向求解。第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt对扩散被各种边界所限制的问题，通常运用叠加原理来解对扩散被各种边界所限制的问题，通常运用叠加原理来解决。因为扩散方程是线性的，如果边界条件也是线性的，决。因为扩散方程是线性的，如果边界条件也是线性的，则可以叠加任意数量的单独解，从而构成新的解。则可以叠加任意数量的单独解，从而构成新的解。 假设边界为完全反射壁，即不吸收扩散物质。假设边界为完全反射壁，即不吸收扩散物质。 4 4 考虑边界反射的扩散考虑边界反射的扩散第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt边界条件：壁

37、面上的浓度梯度必须是零，由费克定律得到边界条件：壁面上的浓度梯度必须是零，由费克定律得到: : 0 x) t , x( cLx 初始条件：初始条件：)()0 ,(xmxc 讨论最简单的情况：当讨论最简单的情况：当t=0t=0时，在时，在x=0 x=0处与处与x x轴垂直的单位面轴垂直的单位面积上，投放的污染物质量为积上，投放的污染物质量为m m。在正方向的边界为无穷远，。在正方向的边界为无穷远，但在但在x=-Lx=-L处有一阻止物质扩散的壁存在，并设该壁不吸收扩处有一阻止物质扩散的壁存在，并设该壁不吸收扩散物质（完全反射）。散物质（完全反射）。 第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt像源法：

38、当像源法：当t=0t=0时，另在时，另在x=-2Lx=-2L处投入单位面积质量为处投入单位面积质量为m m的污的污染物质染物质像源或映像源，由像源和真实源各自产生像源或映像源，由像源和真实源各自产生的浓度场叠加即为真正问题的解：的浓度场叠加即为真正问题的解： 4)2(exp)4exp(4),(22DtLxDtxDtmtxc一边侧壁的像源法一边侧壁的像源法在反射壁边界处的浓度等于在反射壁边界处的浓度等于不存在该壁时的两倍。以上不存在该壁时的两倍。以上的解可以通过检查初始条件的解可以通过检查初始条件和边界条件是否得到满足而和边界条件是否得到满足而加证实。加证实。第四章第四章 水质模型水质模型整理p

39、pt 用用解析法解析法求解三维随流扩散方程中浓度函数求解三维随流扩散方程中浓度函数c c( (x ,y ,z ,t x ,y ,z ,t ) )在数学上是很困难的，在数学上是很困难的， 一般只对一般只对一维随流扩散方程一维随流扩散方程，且在边，且在边界条件和初始条件都比较简单的情况下才有可能。界条件和初始条件都比较简单的情况下才有可能。 严格说来，由于水中污染物的存在对流动会产生影响，严格说来，由于水中污染物的存在对流动会产生影响，例如热污染、海水与河水混掺等，所以当求解随流扩散方程例如热污染、海水与河水混掺等，所以当求解随流扩散方程（包括将要介绍的随流紊动扩散方程）时，（包括将要介绍的随流紊

40、动扩散方程）时， 应将它与应将它与流体运流体运动基本方程组动基本方程组联立求解包括流速和浓度等未知函数。联立求解包括流速和浓度等未知函数。 在示踪物质的假定下，可以将流场和浓度场分开求解，在示踪物质的假定下，可以将流场和浓度场分开求解，即先求解流速，然后求解浓度。即先求解流速，然后求解浓度。 （二） 动态水环境中瞬时源和连续源扩散问题的解析第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt一维随流扩散方程:令=t，=x-ut，其中u为常数。采用微分连锁规则, 有: t tt t xxxt t t tt t uttt22xcDxcutc 将t 写作t，便得：22 cDtc2222)()( t t t t

41、xxx与一维分子扩散方程相似1 1 一维瞬时点源投放一维瞬时点源投放第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 如果站在速度为 u 的动坐标 上观察，则一维随流扩散问题变为在静止水体中的扩散问题。在静止水体中的扩散解式中，以在静止水体中的扩散解式中，以(x-ut)置换置换x之后，如果还之后，如果还满足一维随流扩散问题给定的初始条件和边界条件，这满足一维随流扩散问题给定的初始条件和边界条件，这就是问题的解就是问题的解这种解法称为这种解法称为置换解法置换解法。x0u图 一维随流扩散第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 与分子扩散瞬时点源无界空间解式相应，有解与分子扩散瞬时点源无界空间解式相应，有

42、解: : 可以验证，该解满足: 初始条件：c(x, 0)= m(x) 边界条件：c(,t )=0， c(, t )/x=04)(exp4),(2DtutxDtmtxc第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt瞬时点源一维随流扩散随着时间的增加，正态随着时间的增加，正态曲线的峰值愈小，曲线的峰值愈小， 但离但离散程度愈大。散程度愈大。该式也是瞬时无限平面源无界空间的一维随流扩散问题的解。DtutxDtmtxc4)(exp4),(2tEtuxtEmtxcxx4exp4),(2第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt当污染源持续以当污染源持续以CO的浓度进行排放时，将会形成一维时的浓度进行排放时，将会

43、形成一维时间连续源排放。通过坐标变换：间连续源排放。通过坐标变换：)4(12),(0tEtuxerfctxcx2 2 一维时间连续点源投放一维时间连续点源投放第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt若沿若沿y y轴单位长度时间连续稳定源排放的污染物量为轴单位长度时间连续稳定源排放的污染物量为MM，量纲为量纲为MLML-1 -1T T-1 -1, ,则整个过程可以作为一系列瞬时源沿时间则整个过程可以作为一系列瞬时源沿时间的积分，然后采用坐标变换的方法，得到平面二维时间的积分，然后采用坐标变换的方法，得到平面二维时间连续稳定点源的浓度分布：连续稳定点源的浓度分布：)4exp(/4),(2xEzuu

44、xEuMzxczxxzx3 3 平面二维时间连续稳定点源投放平面二维时间连续稳定点源投放第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt1）污染带浓度分布xEzuuxEHuMzxczxxZx4exp/4),(204 4 污染物输移扩散中几个问题探讨污染物输移扩散中几个问题探讨xEzBuxEzuuxEHuMzxczxzxxZx42(exp4exp/),(220岸边排放，且不计边界反射岸边排放，且不计边界反射岸边排放，若考虑边界一次反射时岸边排放，若考虑边界一次反射时第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt2）断面最大浓度xZxuxEHuMzxc/4),(0max中心排放与岸边排放的断面最大浓度：中心排放

45、与岸边排放的断面最大浓度：中心排放时，最大浓度出现在断面中心线上，岸边排放时，最大浓中心排放时，最大浓度出现在断面中心线上，岸边排放时，最大浓度出现在岸边度出现在岸边第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt污染带：污染带：一般指河道中断面边缘点浓度为该断面最大浓度一般指河道中断面边缘点浓度为该断面最大浓度5%的各点的连的各点的连线所形成的区域，该区域的宽度就是污染带宽。线所形成的区域，该区域的宽度就是污染带宽。2）污染带宽的确定若污染排放点在河中心且不计两侧边界反射，污染带宽为：若污染排放点在河中心且不计两侧边界反射，污染带宽为：若污染排放点在河岸且不计另一侧边界反射，污染带宽为：若污染排放点

46、在河岸且不计另一侧边界反射，污染带宽为：xZuxEb/92. 6xZuxEb/46. 3若确定污染带抵岸时的距离若确定污染带抵岸时的距离x x，则需要考虑边界反射影响：，则需要考虑边界反射影响：xZuxEb/68. 7xZuxEb/84. 3中心排放中心排放岸边排放岸边排放第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt污染带长污染带长：污染浓度达到全断面均匀混合的距离：污染浓度达到全断面均匀混合的距离4）污染带长的确定ZxEBKuL/2式中：L污染带长度，m K带长系数，中心排放时取0.1，岸边排放时取0.4 B河宽，m第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt第二节 水质数学模型 河口水环境污染河口

47、水环境污染河口河口：是江河的入海口，是从陆地到海洋、从淡水到咸水的过渡地带：是江河的入海口，是从陆地到海洋、从淡水到咸水的过渡地带 淡水淡水 + 咸水咸水 = 复杂区域复杂区域独特位置独特位置： 河口水环境是一个多因素共同作用的混合系统河口水环境是一个多因素共同作用的混合系统水质影响因素水质影响因素： 上游径流大小、来水的水质、江段所接纳的排上游径流大小、来水的水质、江段所接纳的排 污负荷、地理地形以及潮汐作用等因素污负荷、地理地形以及潮汐作用等因素的综合的综合 影响影响第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 模拟污染物在流域范围内迁移转化过程模拟污染物在流域范围内迁移转化过程 查明污染物运

48、移的时空分布规律查明污染物运移的时空分布规律 为流域水质预测、管理和规划决策等提供有力的技术为流域水质预测、管理和规划决策等提供有力的技术与方法支持与方法支持水质模拟的意义与作用第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt水质模型的定义 定义： 基于数学模型建立，通过计算机将研究系统进行适当简化处理，描述污染物在流域范围（含陆域及水体）内随空间和时间变化规律的一系列数学表达式 目的：解决流域内的水环境问题 为流域水质规划和管理提供科学依据定义范围的拓展：定义范围的拓展： 水体水体 流域流域第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt分类分类分类依据依据模型性质模型性质 研究对象研究对象 水质组分水质组

49、分 水质系统状态水质系统状态 数学方程的解数学方程的解 反应动力学反应动力学 空间维数空间维数 第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 按按研究对象研究对象： 河流、河口（包括潮汐的和非潮汐的）、湖泊（水河流、河口（包括潮汐的和非潮汐的）、湖泊（水库）、地下水库）、地下水 按按模型涉及的水质组分模型涉及的水质组分：单一组分、耦合和多重组分：单一组分、耦合和多重组分 按按水质系统的状态水质系统的状态：稳态和非稳态：稳态和非稳态 根据所描述的根据所描述的数学方程的解数学方程的解：准理论、随机：准理论、随机第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 按按反应动力学反应动力学： 纯反应型、惰性物质的纯

50、迁移型、迁移反应型、生态纯反应型、惰性物质的纯迁移型、迁移反应型、生态 按按水质模拟的空间维数水质模拟的空间维数： 零维、一维、二维、三维零维、一维、二维、三维 按按模型性质模型性质： 黑箱、白箱、灰箱黑箱、白箱、灰箱第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt地表水质模型一维稳态模型发展的初级阶段一维稳态模型发展的初级阶段（ 20 世纪世纪 20 年代中期至年代中期至 70 年代初期）年代初期）研究深化、完善与广泛应用阶段研究深化、完善与广泛应用阶段（ 20 世纪世纪 80 年代中期至今）年代中期至今）迅速发展阶段迅速发展阶段（ 20 世纪世纪 70 年代初期至年代初期至 80 年代中期）年代中

51、期）第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt非点源模型模型经验模型研究阶段经验模型研究阶段（ 20 世纪世纪 70 年代初期以前）年代初期以前）机理模型研究阶段机理模型研究阶段（ 20 世纪世纪 70 年代到年代到 80 年代）年代）实用性模型研究阶段实用性模型研究阶段（ 20 世纪世纪 90 年代）年代）第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt流域水质管理模型 产生时间产生时间：20 世纪世纪 90 年代后期年代后期 代表模型代表模型：BASINS 模型系统、模型系统、WARMF 模型模型 突出特点突出特点：集流域分析、评价、总量控制、污染治理：集流域分析、评价、总量控制、污染治理与费用效益

52、分析等于一体与费用效益分析等于一体 实例实例：BASINS模型模型第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt流域水质模型建立的一般步骤流域水质模型建立的一般步骤流域水质预测流域水质预测流域水质管理与规划流域水质管理与规划流域污染控制流域污染控制模型的概化模型的概化水质模型水质模型一般性质研究一般性质研究参数估计参数估计模型的率定模型的率定模型的应用模型的应用选择变量选择变量近似假设近似假设灵敏性灵敏性平衡性平衡性稳定性稳定性不满意不满意数据收集数据收集选择方法选择方法数据再收集数据再收集结果比较结果比较不满意不满意选择求解技术选择求解技术第四章第四章 水质

53、模型水质模型整理ppt 模型的概化模型的概化 （1）确定模型时空规模和范围）确定模型时空规模和范围 （2）识别主要因素和相互关系，选择适当变量）识别主要因素和相互关系，选择适当变量 （3）研究变量的变化和相互作用，作合理近似假设）研究变量的变化和相互作用，作合理近似假设 （4）形成模型的结构概念）形成模型的结构概念 模型的一般性质研究模型的一般性质研究 平衡性研究、稳定性研究、灵敏性研究平衡性研究、稳定性研究、灵敏性研究 第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 灵敏性是指当模型中参数变化时，其结果产生的差别是否灵敏性是指当模型中参数变化时，其结果产生的差别是否在允许范围之内。在允许范围之内。

54、 稳定性是指模型是否能够收敛，如通过样本量的变化来分稳定性是指模型是否能够收敛，如通过样本量的变化来分析相关参数估计量的稳定性，多次预测对结果影响小，稳析相关参数估计量的稳定性，多次预测对结果影响小，稳定性好。定性好。 平衡性是指模型模拟变量是否平衡平衡性是指模型模拟变量是否平衡。第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 参数估值参数估值 一般通过实验室模拟试验或将现场测定的数据代入模一般通过实验室模拟试验或将现场测定的数据代入模型，选择最佳拟合值作为模型的参数值（实验法、经型，选择最佳拟合值作为模型的参数值（实验法、经验公式、回归分析（线性，非线性模型参数）、最小验公式、回归分析（线性，非线

55、性模型参数）、最小二乘法、优化法、蒙特卡罗法。并将参数代入模型后二乘法、优化法、蒙特卡罗法。并将参数代入模型后能较好地重现一组观测数据，称为模型率定。能较好地重现一组观测数据，称为模型率定。 模型率定模型率定 概念概念：检验所建立的模型是否具有预测功能的过程：检验所建立的模型是否具有预测功能的过程 常用方法常用方法：图形图示法、相关系数法、相对误差法等：图形图示法、相关系数法、相对误差法等 第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt模型求解模型求解: 现代水质模型因其复杂性一般要采用各种数值解法，应现代水质模型因其复杂性一般要采用各种数值解法，应用计算机来完成。一个好的水质模型需有水文学、水力学

56、、用计算机来完成。一个好的水质模型需有水文学、水力学、化学、生物化学、水质、数学以及计算机等方面的专家通化学、生物化学、水质、数学以及计算机等方面的专家通力合作。力合作。 数学基础：线代、概率、微积分、运筹（线性非线性规划、数学基础：线代、概率、微积分、运筹（线性非线性规划、灰色模型等灰色模型等第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt参数估值的一般方法对物理意义明确的参数，可通过实验室模拟或试验测定对物理意义明确的参数，可通过实验室模拟或试验测定的方式辅助确定的方式辅助确定 对使用频率较高的参数对使用频率较高的参数 ，将测定数据代入经验公式计算，将测定数

57、据代入经验公式计算即可确定即可确定最简单方法最简单方法应用较为普遍也比较成熟的是线性回归法应用较为普遍也比较成熟的是线性回归法实际选择方法，要考虑模型要求、可获得数据等因素！实际选择方法，要考虑模型要求、可获得数据等因素！第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt 解析法解析法 数值法数值法 （1）有限差分法）有限差分法 （2）有限单元法）有限单元法第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt水质模式中坐标系的建立 以排放点为原点以排放点为原点 Z轴铅直向上，轴铅直向上，X、Y轴为水平方向轴为水平方向 X方向与主流方向一致方向与主流方向一致 Y方向与主流垂直方向与主流垂直第四章第四章 水质模型水质模

58、型整理ppt河流水质模型 河流完全混合模式河流完全混合模式、一维稳态模式一维稳态模式、S-PS-P模式模式（适用于河流的充分混合段） 托马斯模式托马斯模式（适用于沉降作用明显河流的充分混合段） 二维稳态混合模式与二维稳态混合模式与二维稳态混合衰减模式二维稳态混合衰减模式（适用于平直河流的混合过程段） 弗罗模式与弗罗模式与弗弗- -罗衰减模式罗衰减模式（适用于河流混合过程段以内断面的平均水质） 二维二维稳态累积流量模式与稳态累积流量模式与二维二维稳态混合衰减累积流量模式稳态混合衰减累积流量模式（适用于弯曲河流的混合过程段） 河流河流pHpH模式模式与与一维日均水温模式一维日均水温模式第四章第四章

59、 水质模型水质模型整理ppt)/()(hphhppQQQcQcc河流完全混合模式河流完全混合模式适用条件适用条件：（1 1）废水与河水）废水与河水迅速完全混合后迅速完全混合后的污染物浓度计算；（的污染物浓度计算；（2 2）污染物是）污染物是持持久性污染物久性污染物，废水与河水经一定的时间（距离）完全混合后的污染物浓度预测。，废水与河水经一定的时间（距离）完全混合后的污染物浓度预测。 河河流为恒定流动；废水连续稳定排放流为恒定流动；废水连续稳定排放 C 废水与河水完全混合后污染物的浓度，废水与河水完全混合后污染物的浓度，mg/L Qh 排污口上游来水流量，排污口上游来水流量，m3/s Ch上游来

60、水的水质浓度，上游来水的水质浓度，mg/L Qp 污水流量，污水流量，m3/s Cp 污水中污染物的浓度，污水中污染物的浓度， mg/L 第四章第四章 水质模型水质模型整理ppt一维稳态模式一维稳态模式 对于一般河流，由于推流导致的污染物迁移作用要比弥散作用大对于一般河流，由于推流导致的污染物迁移作用要比弥散作用大得多，可忽略弥散作用：得多，可忽略弥散作用：。 C C 为污染物的浓度；为污染物的浓度； Dx Dx 为纵向弥散系数，为纵向弥散系数，u ux x 断面平均流速；断面平均流速； K K 为污染物衰减系数为污染物衰减系数模型的适用对象：模型的适用对象：污染物浓度在各断面上分布均匀的中小