新课标人教A版高中数学必修一第一章1.1集合 导学案（无答案）

1、.1.1集合1. 1.1集合的含义与表示在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，不等式x-73的解的集合等等那么，集合的含义是什么呢？我们再来看下面的一些例子：11-20以内的所有整数；2我国古代的四大创造；3不等式的所有解；4所有的正方形；5到一条线段的两个端点间隔 相等的所有的点；6方程的所有实数根；7第七中学2019年9月入学的所有的高一学生。例1中，我们把地1一20以内的每一个整数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例2中，把我国古代四大创造的每一项创造作为元素，这些元素的全体也是一个集合。那么，请同学们说一下例3到例7也能组成集合吗？它们的元

2、素分别是什么？一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合简称为“集集合的元素具有三个特性：（1） 确定性，给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例如，“中国的直辖市构成一个集合，那么，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，而杭州、南京、广州不在这个集合中（2） 互异性，一个给定集合中的元素是互不一样的。也就是说，集合中的元素是不重复出现的（3） 无序性，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的例1. 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由1大于3小于11的偶数；2我国的小河流；3高个子的人；4

3、小于2019的数；5和2019非常接近的数例2.判断以下集合是否相等11,3,5和3,1,5 2a,bd,c,e和e,a,c,bd我们通常用大写拉丁字母A，B，C，D，表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,d,表示集合中的元素假如a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；假如a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作.例如，我们用A表示“120以内的所有素数组成的集合，那么有3A，4A，等等，数学中一些常用的数集及其记法：1全体非负整数组成的集合称为非负整数集或自然数集，记作N；2所有正整数组成的集合称为正整数集，记作或；3全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；4全体有理数组成的集合称为有理

4、数集，记作Q；5全体实数组成的集合称为实数集，记作R.例3.用“和“填空18 N; 20 N; 3-3 Z; 4 Q; 5 R; 6 例4.集合p的元素为1，假设3p，-1p，务实数m的值从上面的内容看到，我们可以用自然语言描绘一个集合。除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？列举法我们可以把“地球上的四大洋组成的集合表示为太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程x-1x+2=0的所有实数根组成的集合表示为1，一2.像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ 括起来表示集合的方法叫做列举法例1.用列举法表示以下集合：1小于10的所有自然数组成的集合；2方程的所有实数根组成的集合；3由1-20以

5、内的所有素数组成的集合考虑：1你能用自然语言描绘集合2,4,6,8吗？（2） 你能用列举法表示不等式x-73的解集吗？描绘法我们不能用列举法表示不等式x-73的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的。但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描绘。例如，不等式x-73的解集中所含元素的共同特征是：，且x-73，即x10.所以，我们可以把这个集合表示为D=|x10.又如，任何一个奇数都可以表示为x=2k+1的形式。所以，我们可以把所有奇数的集合表示为E=|x=2k+1,.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描绘法。详细方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值或变化范围

6、，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例2.试分别用列举法和描绘法表示以下集合：1方程的所有实数根组成的集合；2由大于10小于20的所有整数组成的集合。2种表示方法各有优点，应根据详细问题决定使用哪种，一般集合中元素较少时，用列举法；元素较多或有无限个时，用描绘法1.1.2 集合间的根本关系实数有相等关系，大小关系，如5=5，53等等，那么集合之间有什么样的关系呢？观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？1A=1,2,3 B=1,2,3,4,52设A为高一2班全体女生组成的集合， B为这个班全体学生组成的集合3C=x|x是两条边相等的三角形 D=x|x是等腰三角形可

7、以发现，在1中，集合A的任何一个元素都是B的元素，这时我们说集合A与集合B有包含关系，2中的集合A与集合B也有这种关系一般地，对于两个集合A，B，假设集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作，读作“A含于B或“B包含A在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图，上述集合A和集合B的包含关系，可以用右图表示在3中，由于“两条边相等的三角形是等腰三角形，因此，集合C,D都是所有等腰三角形组成的集合，即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素，同时，集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素，这样，集合D的元素与集合C的

8、元素是一样的假如集合A是集合B的子集AB且集合B是集合A的子集BA，此时，集合A与B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B假如集合AB，但存在元素，且，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA例如，在1中，AB，但4B，且4A，所以集合A是集合B的真子集我们知道，方程没有实数根，所以，方程的实数根组成的集合中没有元素我们把不含有任何元素的集合叫作空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集重要结论：1空集是任何集合的子集（2） 空集是任何非空集合的真子集（3） 任何一个集合是它本身的子集（4） 对于集合A.B.C.假设AB，且BC，那么AC传递性注：元素与集合是“属于“不属于的

9、关系，集合与集合是“含于“不含于的关系例1.写出集合a,b的所有子集，并指出哪些是它的真子集例2.用适当符号填空1,2 1,2,3 a,b,c a,b,c 1 0 0 1,2,3 例3.集合A=，B=1,2，C=x|x8,xN,那么：A B A C 2 C 2 C1.1.3 集合的根本运算1并集我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加呢?请同学们考察以下各个集合，你能说出集合C与集合A.B之间的关系吗?1A=1,3,5，B=2,4,6，C=1,2,3,4,5,62A=x|x是有理数，B=x|x是无理数，C=x|x是实数在上述两个问题中，集合A,B与集合C之间都具有这样

10、一种关系：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作AB读作“A并B，即AB=可用韦恩图表示为：这样，在问题12中，集合A与B的并集是C，即AB=C例1.设A=4,5,6,8，B=3,5,7,8，求AB例2.A=x|x是正方形,B=x|x是长方形,求AB例3.设集合A=x|-1x2,集合B=x|1x3，求AB我们还可以在数轴上表例如3中的并集AB，如图考虑：AA= ；A= ；AB BA；假设AB，那么AB= ；假设BA，那么AB= 2交集 请同学们考察下面的问题，集合A.B与集合C之间有什么关系？A=x|

11、x是新华中学2019年9月在校的女同学，B=x|x是新华中学2019年9月入学的高一年级同学，C=x|x是新华中学2019年9月入学的高一年级女同学 我们看到，在上述问题中，集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB，读作“A交B，即AB=可用韦恩图表示为：这样，在问题12中，集合A与B的并集是C，即AB=C例1.A=1,3,5,7，B=1,2,3,4，求AB例2.学校开运动会，设A=x|x是高一年级参加百米赛跑的同学，B=x|x是高一年级参加跳高比赛的同学，求AB例3.设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系例4.A=x|x是直角三角形，B=x|x是等腰三角形，求AB考虑：AA= ；A= ；AB BA；假设AB，那么AB= ；假设BA，那么AB= 3补集在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围。例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩大到实数。在高中阶段，数的研究范围将进一步扩大。在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。例如方程的解集，在有理数范围内只有一个解2，即|=2；在实数范围内有三个解：2，-，即|=2，-一般地，假如一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这