[理]阶段质量检测(五)数列doc

1、阶段质量检测 (五)数列(时间 120 分钟，满分150 分 )第卷(选择题，共50 分)一、选择题 (本大题共 10小题 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知实数列1， x， y， z， 2 成等比数列，则xyz 等于()A.4B. ±4C.2 2D.±2 2解析： xz ( 1) ×( 2) 2， y2 2，y2(正不合题意 )，xyz 22.答案： CSn2.等差数列 an的通项公式是an 1 2n，其前 n 项和为 Sn，则数列 n 的前 11 项和为()A.45B. 50C. 55D. 661 an)nSna1 an(a解析：

2、Sn2，n2 n，Sn n 的前 11项的和为 66.答案： D3.已知 an是等差数列， a4 15， S5 55，则过点 P(3， a3)， Q(4， a4)的直线斜率为 ()11A.4B.4C. 4D. 4解析： an是等差数列，S5 5a3 55，a3 11.a4 a3 1511 4，a4 a34kPQ1 4.43答案： A a a a a 80，则 a 1·a8的值为()4.在等差数列 an中，若 a24681072A.4B.6C.8D.10解析：由已知得： (a2 a10) (a4 a8) a6 5a6 80? a6 16，又分别设等差数列首项为1111a1，公差为 d，

3、则 a7 2a8 a1 6d 2(a1 7d) 2(a1 5d) 2a6 8.答案： C5.记数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn 2n(n 1)，则该数列是()A. 公比为 2 的等比数列B.公比为1的等比数列2C. 公差为 2 的等差数列D. 公差为 4 的等差数列解析： 由条件可得n 2 时， an SnSn1 2n(n 1) 2(n1)( n2) 4(n 1)，当 n 1 时， a1 S1 0，代入适合，故an4(n 1)，故数列 an表示公差为4 的等差数列 .答案： Da6.定义：在数列 an中， an 0 且 an1，若 a nn 1 为定值，则称数列 an为“等幂数列”

4、.已知数列 an为“等幂数列”，且a1 2， a2 4， Sn 为数列 an的前 n 项和，则 S2009()A.6026B .6024C.2D.4aa解析：a122416a23 4a3 ，得 a3 2，同理得 a4 4， a5 2， ，这是一个周期数列 .2009 1S × 6026.20092(24)2答案： A7.在数列 an中， a1 1， a2 2， an2 an 1 ( 1)n，那么 S100 的值等于()A.2500B.2600C.2700D.2800解析： 据已知当n 为奇数时，an2 an 0? an 1，当 n 为偶数时， an2 an 2? an n，故 an1

5、(n奇数 )n,(n这偶数 )故 S1001 1.1502 46 .1002600.50答案： B8.在函数 y f(x)的图象上有点列 xn， yn，若数列 xn是等差数列，数列yn是等比数列，则函数 y f(x)的解析式可能为()23 xA. f(x) 2x 1B.f(x) 4xC.f(x) log3xD.f(x) (4)解析： 结合选项，对于函数3 x3f(x) ()上的点列 xn，yn，有 yn ( )xn.由于 xn是等差数44列，所以 xn1 xn d，因此yn1( 3) xn 13x x3 d4() n1n ( ) ，这是一个与 n 无关的常yn(3)x n444数，故 yn 是

6、等比数列 .答案： D9.数列 an满足： a1 1，且对任意的 m，n N* 都有：am n am an mn，则 1 1 1 a1a2a3 1 ()a200820072007C.20084016A. 2008B.10042009D.2009解析： 因为 anm anam mn，则可得a1 1， a2 3， a3 6，a4 10， ，则可猜得n(n 1)数列的通项 an，212 2(11 n)，ann( n 1)n 11 1 1 1 a1a2a3a200811111140162(1 223 20082009) 2(12009)2009答案： D10.已知等比数列 an的各项均为不等于1 的正

7、数，数列 bn满足 bn lgan， b3 18， b612，则数列 bn前 n 项和的最大值等于()A.126B.130C.132D.134解析： 由题意可知， lga3 b3， lga6 b6.又b3 18， b6 12，则 a1q2 1018， a1q5 1012，q3 10 6 .即 q10 2 ，a1 1022.又an为正项等比数列，bn为等差数列，且d 2， b122.故 bn22 (n 1) ×( 2) 2n 24.n(n1)×Sn 22n2)2(2232529 n 23n (n2 ) 4 .又nN * ，故 n 11 或 12 时，(Sn)max 132.答

8、案： C第卷（非选择题，共100 分）二、填空题 (本大题共5 小题 .将答案填在题中横线上)11各项都是正数的等比数列1成等差数列，则a4 a5an中， a2， 2a3， a13 a4 _.解析： 设 ana的公比为0)，由a3a2 a1，得 q2 q1 0，解得q(q1 5a4a51 5从而 q.q2.a3 a42答案：5 1212.设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1 1， S64S3，则 a4.解析： 设等比数列的公比为q，则由 S64S3 知 q 1.63S61 q 4(1 q )3 3.a13 3.qq1 q1 q答案： 3an 1n 2*)，且 a1 1，则 an.1

9、3.已知数列 an满足 ann (n N解析： 由已知得ann 1，an1n 1an1 n ， a23， a1 1，an2n 2a11左右两边分别相乘得3 4 5 6n 1 nn1n 1 ····· ···a1234n 3 n 2 n 1n(n 1)2答案：n(n 1)214.“欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为 an，则数到2 008 时对应的指头是，数列an 的通项公式an.(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指 ).解析： 注意到数1

10、,9,17,25， ，分别都对应着大拇指，且1 8×(251 1) 2 001，因此数到 2 008 时对应的指头是食指 .对应中指的数依次是：3,7,11,15， ，因此数列 an 的通项公式是 an3 (n 1) ×4 4n 1.答案： 食指 4n 115.等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a4 a2 8，a3 a5 26.记 T n Sn2，如果存在正整数nM ，使得对一切正整数 n，T n M 都成立，则 M 的最小值是.解析： an为等差数列，由 a4 a2 8， a3 a5 26，可解得 Sn 2n2n，1T n 2 n，若 Tn M 对一切正整数 n

11、恒成立，则只需Tn 的最大值 M 即可 .又 T n 2 1<2，只需 2 M ，故 M 的最小值是 2.n答案： 2三、解答题 (本大题共6 小题 .解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分 12分 )已知 an是一个等差数列，且 a2 1， a5 5.(1) 求数列 an的通项 an；(2) 求 an前 n 项和 Sn 的最大值 .解： (1)设 an的公差为d，a1d1,由已知条件得，4d解得 a1 3, d 2,a15,所以 an a1 (n 1)d 2n 5.(2)Sn na1n(n 1)d n2 4n 4(n 2)2.2所以 n 2 时， Sn 取到

12、最大值 4.17.已知数列 an满足： a11， a23， an1 2an an 1(n 2， n N*) ，数列 bn满足 b1440,3bn bn 1 n(n 2， n N* )，数列 bn的前 n 项和为 Sn.(1) 求数列 an的通项 an；(2) 求证：数列 bn an为等比数列 .解： (1)证明2anan1an 1(n 2， n N* )，an是等差数列 .13112n 1又a1 ，a2，an (n 1)·，444241n*(2)证明： bn3bn13(n 2， n N)，1n 12n 112n 1bn1 an1 3bn 3 43bn 1212n 11 3(bn4)

13、3(bnan).又b1 a1 b110，4bn an 是以1 1为首项，以 1为公比的等比数列 .b4318.（ 2010·苏北三市联考）已知数列an是等差数列，a2 3， a5 6，数列 bn的前 n 项1和是 Tn，且 T n 2bn 1.(1) 求数列 an的通项公式与前n 项的和 M n；(2) 求数列 bn的通项公式 .解： (1)设 an的公差为d，则： a2 a1 d， a5 a1 4d.a2 3, a5a1d36,所以4d,a16a1 2， d 1an 2 ( n 1) n1.M n na1n(n 1)dn2 3n22.(2)证明：当 n 1 时， b1 T 1，由

14、T 11b1 1，得 b12.2311当 n 2 时，Tn 12bn， T n1 12b n1，1T nTn1 2(b n1 bn)，1即 bn2(b n1 bn).1bn 3b n1 .21bn是以 3为首项， 3为公比的等比数列.2 1 n 12bn 3·(3) 3n.19.用分期付款的方式购买一批总价为2300 万元的住房， 购买当天首付 300 万元，以后每月的这一天都交100 万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1% ，若从首付 300 万元之后的第一个月开始算分期付款的第1 个月，问分期付款的第10 个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？解： 购

15、买时付款300 万元，则欠款2000 万元，依题意分 20 次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列an，故 a1 100 2000 ×0.01 120(万元 )，a2 100 (2000 100) 0×.01 119(万元 )，a3 100 (2000 100 ×2) ×0.01 118(万元 )，a4 100 (2000 100 ×3) ×0.01 117(万元 )，an 100 2000 100(n 1) 0×.01 120 (n 1) 121 n(万元 )(1 n 20， n N* ).因此 an是首项为120，公差

16、为 1 的等差数列 .故 a10 12110 111(万元 )，a20 121 20 101(万元 )，20 次分期付款的总和为(a1 a20×(120×20) 20101) 20 2210(万元 ).S22实际要付 300 2210 2510(万元 ).即分期付款第10 个月应付111 万元；全部贷款付清后， 买这批住房实际支付2510 万元 .20.已知数列 an的每一项都是正数，满足a1 2 且 an2 1 anan 1 2an2 0；等差数列 bn的前 n 项和为 Tn， b2 3， T5 25.(1) 求数列 an、 bn的通项公式；(2) 比较 1 1 1与 2

17、的大小；T 1 T 2T nb1b2 bn c 恒成立，求整数c 的最小值 .(3) 若a1 a2an解： (1)由 an21 anan1 2an20，得 (an1 2an)(an1 an) 0，由于数列 an的每一项都是正数，an12an，an 2n.5×4设 bnb1 (n 1)d，由已知有b1 d 3,5b1 2 d 25，解得 b11， d 2，bn 2n 1.211(2)由 (1) 得 T n n ， 2，T nn1当 n1 时， 1 2.T11111当 n 2 时， n2 n.( n 1)n n 11 1 1 11 111 11 212.T 1T2T n1223n 1nn

18、(3)记 Pnb1b2 bn 13 52n 1a1a223n .an 22221132n 32n 1，23nn12Pn 22 22两式相减得 Pn 32n 3n .2递增， 1 P ，P437，Pn2n3162最小的整数 c 3.21.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn 且满足 a2 3， S6 36.(1) 求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn是等比数列且满足b1 b2 3，b4 b5 24.设数列 an·bn的前 n 项和为 T n，求 T n.解： (1)数列an是等差数列，S6 3(a1 a6) 3(a2 a5) 36.a2 3，a5 9，3d a5 a2 6，d 2，又a1 a2 d1，an 2n 1.(2)由等比数列 bn满足 b1 b2 3，b4b5 24，得 b4 b5 q38，q 2，b1 b2b1 b2 3，b1 b1q3，b1 1，bn 2 n1 ，an·bn (2n1) ·n1 .2T n 1 ×1 3 ×2