比例法解行程题

1、比例法【例1】第8届迎春杯决赛试题小明和小刚进行 200米短跑比赛假定二人的速度均保持不变。当小刚跑了 180米时，小明距离终点还有50米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？解当小刚跑了 180米时，小明跑了 200-50=150米，二人的路程之比为180: 150=6: 5,小刚到达终点时，由于速度不变，二人的路程比依然为6： 5。假设设小刚路程200米为6份的话，小明的行程应为5份,一 1那么其离终点还有1份距离=200 633米。3练习小刚与小勇进行 50米赛跑，结果：当小刚到达终点时，小勇还落后小刚10米；第二次赛跑，小刚的起跑线退后10米，两人仍按第一次的速度跑，比赛结

2、果将是 解：小刚到达终点时，二人的路程分别为50米和40米，路程之比为 5: 4。假设小刚退后10米，当到达终点时其路程为60米，由于速度不变，从而路程之比也不变，此刻乙跑了60- 5 X 4=48米，还差2米才到终点，因此还是小刚胜出。点评在赛跑问题中，多数时候隐含了时间相等的条件，从而路程之比=速度之比的正比例关系式会得到大量应用。【例2】一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20 %，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶 240千米后，再将速度提高 25 %，那么可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米分析这是一道“隐性比例行程题，但其标志很明显一一百分数，一般说来凡题目中出现

3、百分比应立即想到将其转化为比例进行研究。例如此题中，车速提高20%意味着原速度与现速度之比为5: 6，车速提高25%意即原速度与现速度之比是4:5。解按照题中的“；形成的两局部分别进行分析：车速提高20%从而速度之比为 5: 6，那么时间之比为 6: 5,提速前后所用时间差为1小时，可见原速度走完全程需要6小时，提速后需要 5小时。而在原速行驶240千米后，剩余局部路程提速25%即速度之比为4:5，那么所用时间之比为 5: 4，而提速前后所用时间之差为40分钟，从而不难求剩余路程假设按原速度行驶需要时间40X 5=200分钟1122=2 -小时，从而前240千米用时6 2- 3小时，那么原速度

4、为240 3 90千米/小时。从而甲乙两地 3333距离应为90 6540千米。点评此题虽难度不大，但作为比例解行程的方法十分典型，有必要熟练掌握题目中涉与到的几个模型。 这些模型与几何中五大模型的作用类似，会在行程问题中反复出现，且标志明显。模型1 ：百分比到比例的转化。模型2 :提速一少时，由提速或降速所造成的时间差，只产生在提速和降速的路程中。模型3 :比差问题，类似和差、和倍、差倍，比和差分别求大小数的方法应熟练掌握。练习一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1小时到达，如果按原速度行驶一段距离后，再将速度提高 30%也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全程的几分之几？解

5、：车速提高20%即速度之比为5: 6,从而时间比为 6: 5，时间差为1小时，那么原用时为 6小时。 原速行驶一段距离后，再将速度提高30%仍然提前1小时到达，这个时间差只能发生在提速局部，这段131+ 3X 13=13小时，从而先行驶的3速度之比为10: 13，从而时间之比为 13: 10,不难求原速度行驶用时 局部用时6-12 = 5小时，其占比为5十6=233318【例3】甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发，相向而行，在途中C点相遇。如甲的速度增加 10%，乙每小时多走300米，还在C相遇；如果甲早出发 1小时，乙每小时多走 1000米，那么仍在C相遇。 那么两人相遇时距 B多少千米？

6、分析此题有个明显的特征， 即三种方式最终相遇地点一样，这实际明确告知我们三种方式之下路程之比相同！而题目要求两人相遇时距B多少千米，实际是求乙的路程，假设能求得乙的速度和时间那么问题可解。解按照题中的“；形成的两局部进行来研究：在甲提速10%乙提速300米后甲乙相遇地点不变，路程之比没变，可见提速前后两人的速度之比也保持不变。从而假设甲提速 10%勺话，乙提速300米也应为10%从而不难求得乙的原速度为 3千米/小时。 甲提前出发1小时，乙提速1000米后，两人依然在 C点相遇。换句话说其实就是：乙在提速 1000米后比 平时少用1个小时到达 C点。而乙在提速1千米后，前后速度之比为 3: 4

7、，那么所用时间之比应为 4: 3, 少用的1小时为1份，那么乙原用时应为 4小时。如此乙的速度和时间都已求得，那么其路程为3X 4=12千米。即两人相遇时距 B 12千米。点评在此题中，双双提速后速度之比保持不变的关系式是不难发现的。比拟难理解的是甲提前 1小时出发的意义：由于甲速度未变，从而其到达C点所需的时间是不变的，由此发现乙到达C点实际上是比提速前少用了 1小时。此处又是比差模型的典型应用。发现“时间差其实是个不错的标志物。【例4】甲、乙两人同时 A地出发，在A、B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到 达A地、B地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在AB之间行走方向

8、不会改变，两人第一次相遇的地点距离B地1800米，第三次的相遇点距离B地800米，那么第二次相遇的地点距离B地。分析研究甲乙二人的行为轨迹后容易发现，走路比拟快的甲实际是在乙和B地之间做折返跑往复运动。到达B那么折返，遇到乙再折返。需要注意的是，在“折返运动模型中，二人的“路程和是个令人舒服的量一一两个全程。另外此题中乙的方向从未改变，只是从一个相遇点直线到下一个相遇点。其路程也是 比拟容易得到的量。如图中所示C、D E依次为第一次、第二次、第三次的相遇点。解设第二次相遇的地点与B的距离DB为X。不难发现：第一次相遇到第二次相遇甲乙二人的路程和为1800X 2=3600米其中乙的路程 CD=1

9、800-x;第二次相遇到第三次相遇甲乙二人的路程和为2X 其中乙的路程为 DE=X-800 ;由于甲乙的速度从未改变，那么乙的路程占甲乙路程和的比例应该是一定的，从而有：1800 x x 8003600 2x 解得x=1200米，即第二次相遇时两人距 B地1200米。铺垫甲乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离。解：作为屡次相遇问题，有必要研究每次相遇时的路程和。第一次相遇时，两人的路程和为1个全程，其中甲走了 4千米。第二次相遇时，两人的路程和为3

10、个全程，其中甲走了 1个全程+3千米。由于甲乙速度固定不变，第二次相遇时路程和是第一次相遇时路程和的3倍，那么甲两次的路程也为3倍关系，从而1个全程=3X 4-3=9千米。去掉两头距离，两次相遇点距离9- 3+4 =2千米。点评此题主要应用行程中另一个常见模型：折返运动模型。折返运动是屡次相遇的一种类型，由于隐含 了甲乙速度不变的条件，那么任意时间段内，不管是甲乙的路程之比，还是甲与全程之比或者乙与全程之比 均保持不变。甲乙二人的路程和时常为“2个全程。这是一个经常需要讨论的量。折返跑模型应熟练掌握。【例5】A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后 1小时A车出了事故，B和C车

11、照 常前进.A车停车修理半小时后以原速度的4继续前进，B C两车行至距离甲市 300千米处B54车出了事故，C车照常前进.B车停了半小时后也以原速度的-继续前进结果到达乙市的时间5C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，求甲、乙两市的距离为多少千米？分析此题为典型的多人行程问题，且过程较为复杂， 对此有必要对每个人各自的行程轨迹进行单独独立分析。进而对相关人进行两两分析。例如此题中，需要首先分析A,B,C各自的过程。解由于故障后的速度统一为原速的4，假设设原速度为5份，那么故障速度为 4份。过程分析如下：5C:以5份的速度行驶完全程，第一个到达终点。A:以5份的速度行驶1小时后，停车0.5小时

12、，再以4份的速度行驶完全程，最后一个到达终点。B:以5份的速度行驶300千米后，停车0.5小时，再以4份的速度行驶完全程，第二个到终点。另C比B早到1小时，B比C早到1小时。仅分析A、C二人的过程：A、C共同行驶1小时后，A停车0.5小时，后减速行驶，最终比C多用2小时到达。除去停车的 0.5小时，A在减速路段上的行驶时间实际比C多用1.5小时，而这段路上 A、C速度之比为4: 5，那么所用时间之比为 5: 4，不难求这段路 A用时7.5小时，C用时6小时。而对于 C来说， 全程用时6+1=7小时，那么B全程用时7+1=8小时。再分析B、C二人的过程：B、C共同行驶300千米后，B停车0.5小

13、时，后减速行驶，最终比 C多用1小 时到达，除去停车的 0.5小时，B在减速的路段上的行驶时间实际比 C多用0.5小时，而在这段路上 B、C 速度之比也是 4： 5,从而时间之比为 5： 4,不难求B用时2.5小时，C用时2小时。可见，B在前300公里用时8-0.525=5 小时，那么 A、B C共同的原速度=300 - 5=60千米/小时。由C的行驶过程可求得全程 =60 X 7=420千米。点评此题首先是一道多人行程问题，多人行程问题最根本的分析方法就是对每个人的行程轨迹进行单独分析，将全过程进行分解，缕清思路。另一方面，此题是“提速 -少时模型以与“比差模型的反复的应用。假设能熟练掌握这

14、两个模型， 那么有可能较快的解决问题。【例6】甲、乙两车分别从相距 180千米的A、B两地同时出发相向而行， 两车在距离A地80千米处相遇， 假设出发半小时后甲车突然提速50%那么两车恰好在 AB的中点相遇，如果出发后20分钟甲车把速度变为原来的一半，那么相遇地点将距A地千米；分析当两车在距 A地80千米处相遇时，甲路程 =80千米，乙路程=100千米，那么甲乙的速度之比 =4: 5, 假设甲速度为4份，那么乙速度为5份。解甲出发半小时后提速 50%就能与乙车在中点相遇，这说明甲的平均速度应等于乙的速度，而甲原速为4份，提速50%到达6份，从而整个过程可描述为甲用4份的速度行驶0.5小时后再用

15、6份的速度行驶了 X小时，最终平均速度为5份，从而路程=4 0.5 6x 5 (0.5 x)，不难求得x=0.5小时，可见相遇时甲乙均用时 0.5+0.5=1小时，由于行驶路程均为180十2=90千米，显见乙的速度 =90-仁90千米/小时，那么甲的速度应为 90 - 5 X 4=72千米/小时。在甲乙速度均已求得的情况下来再来分析另一个相遇过程，甲在以72千米/小时的速度行驶 20分钟后，1把速度降低到一半，其实就是36千米/小时，最终与乙相遇，不难求 20分钟即-小时后的剩余路程31=180 (72 90)丄126千米，进而求得相遇所需的额外时间=126 (36 90) 1小时，可见整个相

16、遇311过程共用时1小时，其中乙的路程 =90 1- 120千米，即相遇地点距 A地180-120=60千米。33点评对“平均速度的分析是解决此题的钥匙。【例7】A、B两地相距600千米，甲坐车从 A地到B地，2小时后，乙和丙也同时从A地出发前往 B地，又过了 3个小时，乙追上了甲并继续向前走，到达B地后迅速返回，途中与甲再次相遇时，正好1丙也追上了甲.丙的速度比甲的速度快 1，那么甲的速度是每小时多少千米？9分析作为三人行程问题，有必要对各人的行踪进行单独分析，进而两两关联分析。1解题目最后提到丙的速度比甲快丄，即两人速度比为10: 9。9分析知甲丙之间为追与关系，甲提前 2 小时出发，最后时刻丙追上甲，在这个过程中丙甲时间比为速 度比的反比，即为 9：10，可见甲用时 20小时，丙用时 18小时，当然此时乙也走了 18 小时了。进而单独分析甲乙之间的关系， 一开始也为追与关系， 甲出发 2 小时后乙出发， 并在 3 小时后追上甲， 此处说明二者所用时间之比为甲：乙=5