求函数最值的方法总结

1、求函数最值的常用以下方法：1. 函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现.1例1设a1,函数f(x) = log ax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为？，那么a=.思路先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值.解析Ta1,.函数f(x) = log ax在区间a, 2a上是增函数，二函数在区间a,2a上的最大值与最小值分别1为 log a2a, log aa= 1.log a2= q, a= 4.故填 4.讲评解决这

2、类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性.这一点处理好了，以下的问题就容易了.一般而言，对一次函数、幕函数、指数函数、对数函数在闭区间 m n上的最值：假设函数f(x)在m n上单 调递增，那么 f (x) min= f(n) , f(x)max= f(n )；假设函数 f ( X)在g E 上单调递减，那么 f ( x) min = f ( n) , f ( x) max= f ( ； 假设 函数f(x)在m n上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，那么可以采用分段函数求最值的方法处理.2. 换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使

3、问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题与题目形式去灵活 选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值.如可用三角代 换解决形如a + b2= 1与局部根式函数形式的最值问题.例2 (1)函数f (x)= x + 21 _ x的最大值为:解析方法一：设 .1-x= t(t 0),x= 1 t2, y = x+ 2 1 x= 1 t2 + 2t=t2 + 2t + 1 = (t 1)2 + 2,当 t = 1 即 x = 0 时，ymax= 2.方法二：f(x)的定义域为x|x 1,f (X

4、)=1由 f(x) = 0 得 x= 0.Ov x 0, f(x)为增函数.当 x= 0 时，f ( x) max= f(0) = 2.求函数y= x+“ 4-x2的值域.解析 换元法：由4 x20得2x2,二 f(t) = t2 2at + 2a2 2= (t a)2 + a2 2 的定义域为2，+乂).t抛物线y=f(t)的对称轴为t = a,当 a2 且 a0 时，ymin = f(2) = 2(a 1)2；当 a2 ab(a, b为实数)；ab(a0, b0)；2 2a+ b 2 a + b“宀业厂abw(w)0,所以函数的定义域为x| 3 x b,例 6 对 a, bR,记 ma*a,b|=函数f(x)= ma*|x +1| , |x-2|( x R)的最小值是,b, a| x-2| ,1得(x+ 1)2(x 2)2，所以 x21 |x + 1| , x2, 所以f (x)=1 |x 2| , xx, x 1,如果点O为坐标原点，那么| OP的 最小值等于最大值等于.思路此题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值.解析由题意，得点P(x， y)的坐标满足y?x，x 1.画出可行域，如下列图.由条件