线性代数期末测试题及其答案

1、线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题5分，共25分）1.若x1x2x302.若齐次线性方程组x1x2x30只有零解，则应满足x1x2x303.已知矩阵A,B,C阵。（Cj）sn,满足ACCB,则A与B分别是阶矩4 .已知矩阵A为33的矩阵，且|A|3,则|2A|5 .n阶方阵A满足A23AE0,则A1二、选择题（每小题5分,25分）6.已知二次型f2x1x；5x22tx小22x1x34x2x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）4-A.-t0B.5c4C.0tD.51427.已知矩阵A034,B0431230x6,且AB,求x的值（）005A.3B.-2C.5D.-58

2、.设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A 0 B.A10 C.r（A） n D.A的行向量组线性相关9.过点（0,2,4）且与两平面x2z1和y3z2的交线平行的直线方程为（A.y21TC.10B.D.A.C.12,2三、解答题（每小题11.设B10001100,其特征值为（B.D.50分)y21T2,22,201100011满足关系式TX(CB)12.问a取何值时，下列向量组线性相关?13.为何值时，线性方程组X1X2X3X1X2X3X1X2X32有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。14.设 110.求此向量组的秩和一个极大无关7组，并将其余向量用该极大无

3、关组线性表示。0。其中I为单位矩阵15.证明：若A是n阶方阵，且AAI,A1,证明线性代数期末考试题答案考查知识点：求解矩阵的特征值难度系数：一、填空题1.5.解析：采用对角线法则，由1 5 (2)3x 0 ( 5) 2x 00有 x 5.考查知识点：行列式白计算.难度系数：2.1.1 1解析：由现行方程组有 D 112 1 211 1解，则D 0,即 1.考查知识点：线性方程组的求解难度系数：卡(1)2,要使该现行方程组只有零解析；由题可知C (cj)s n,则设AC CBD ,可知D的行数与A一致，列数与B一致，且A与B均为方阵，所以A为ss阶矩阵，8为门n阶矩阵.考查知识点:n阶矩阵的性

4、质难度系数：4. 24解析：由题可知，A为3阶矩阵且|A3,则2A23A24.考查知识点：矩阵的运算难度系数：5. A3E解析：由A23AE0有A(A3E)E,此时A1A3E.二、选择题6. A解析：由题可知该二次型矩阵为1 t 1t 12 ，而1,1t 1t21 t 10, t 121 25245t 4t 0,可解得 一t 50。此时，该二次型正定。考查知识点：二次型正定的判断难度系数*7. C解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5,可解得x=-5。考查知识点：n阶矩阵特征值的性质难度系数：8. D解析：由题可知，A为n阶可逆矩阵，则A的行向量组线性无关。考查知识点：n阶可逆矩阵的性

5、质难度系数：9. A.解析：由题可知，两平面法向量分别为n1(1,0,2),n2(0,1,3),则所求直线的方向向量为S又n22i3jk。所以所求直线为-4o231考查知识点：求空间平面交线平行的直线方程难度系数：才文10. C.一一,31。一解析：由AE2280,可解得特征值为12,2451三、解答题11.解:，（CTB)(CTB)TE(CB)考查知识点：矩阵方程的运算求解难度系数：*12.解:，a2,a3当1A|=0时即a12121一或a2考查知识点：向量组的线性相关性难度系数：*13.解：当当当12128(2a1)2(2a2)1时，向量组a1，a2,a3线性相关。2时，方程组有唯一解;2时方程组无解1时，有无穷多组解，通解为11102001C1考查知识点：线性方程组的求解难度系数：14.解:由题可知12131213缸a2,a3,a,)49010113701420341003171210140016001331201601300 02102011000则 ra1， 82,as, a43 ,其中a1，a2, 83构成极大无关组，且线性关系为842al 2a283考查知识点：向量组的秩与最大无关组难度系数：+*15.