线性代数第三章向量复习题答案

1、第三章向量复习题一、填空题：当t13时，向量!(1,2,2)、2(4,t,3向3(3,1"线性无尖13 .如果1,2,n线性无关，且M不能由1,2,n线性表示，则3.2, ,n1的线性无关4 .设i(2.5)T,2(1,a)T，当a时，1，2线性相关-5 .一个非零向量是线性无关；的，一个零向量是线性相关k6.设向量组A：1,2,3线性无关»13»21，23线性相关7.设A为n阶方阵,且r(A) n 1 ,1,2是AX=0的两个不同解，贝u 1, 2 定线性相关8 .向量组Hi能由向量组Wm线性表示的充分必要条件是IIR(1.2,Him)等于一R(1,2,111m

2、,(填大于，小于或等于)9 .设向量组I1,1,1,21,2,3,313t线性相关，则t的值为45。si二、选择题：1 .一阶方阵A的行列式A，则A的列向量(A)IIA线性相关E线性无关C.R(A)D.R(A)II2 .设A为n阶方阵，R(A)rn，则A的行向量中(A)A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量构成极大线性无关组C、任意r个行向量线性相关D、任一行都可由其余个行向量线性表示|3.设有n维向量组（I）：1,2,III,（U）：1,2411.m（mr），则（B）.lIA向量组（I）线性无关时，向量组（U）线性无关B、向量组（I）线性相关时，向量组（U）线性相关C、向量组（U）线性

3、相关时，向量组（I）线性相关|D向量组（U）线性无关时，向量组（I）线性相关4.下列命题中正确的是（C）（A）任意n个n1维向量线性相关（B）任意n个n1维向量线性无关III（C）任意n1个n维向量线性相关（D）任意n1个n维向量线性无关5.向量组1,2,，线性相关且秩为s，则（D）（A）rs（B）rs（C）sr（D）sr（B ）1 ,2,（C） 1,2,（D） 1,2,I7.向量组1, 2,6.n维向量组1,2,，s（3sn）线性无关的充要条件是（B）.（A）1,2,S中任意两个向量都线性无关Is中任一个向量都不能用其余向量线性表示s中存在一个向量不能用其余向量线性表示s中不含零向量线性无关

4、的充要条件是（D）A、任意i不为零向量B、 1,2,n中任两个向量的对应分量不成比例IC、 I,2,n中有部分向量线性无关ID、 I,2,n中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示I8.设A为n阶方阵，R(A)rn，则A的行向量中(A)A、必有个行向量线性无关B、任意r个行向量构成极大线性无关组C、任意r个行向量线性相关D、任一行都可由其余r个行向量线性表示9 .设A为n阶方阵，且秩(A)向量，则AXO的通解为(CA ' ki10 .已知向量组1,1, 1,11.1,2是非齐次方程组AXB的两个不同的解、k(2,0,t,0 ,0, 2,5, 2 的秩为 2，则 tA'3、3&

5、#39;-211 .设A为n阶方阵，R(A)r则A的行向量中(A)、必有个行向量线性无关、任意个行向量构成极大线性无关组、任意个行向量线性相关、任一行都可由其余r个行向量线性表示12 .设向量组A:3线性无关，则下列向量组线性无关的是(C)14.已知向量组A线性相关，则在这个向量组中(C)(A)必有一个零向量(B)必有两个向量成比例.(C)必有一个向量是其余向量的线性组合.(D)任一个向量是其余向量的线性组合.是非齐次方程组Ax b的两个不同的15 .设A为n阶方阵，且秩R(A)n解向量，则Ax0的通解为()(A) k (q 32)( B) k (6 32)(C)(D) ka216 .已知向量

6、组川Lm线性相关，则(C)(A)该向量组的任何部分组必线性相关.(B) 该向量组的任何部分组必线性无关(C) 该向量组的秩小于m.(D)该向量组的最大线性无关组是唯一的.17.已知R(i,2,3)2,R(2,3,4)3JIJ(C)(A) !, 2, 3线性无关(C) !能由2, 3线性表示k 11318若有3 0 1k02 13(A) 1(B) 2(C)(B)2,3,4线性相关(D) 4能由I,2,3线性表示k6,则k等于53(D)4第三题计算题：1.尸知向量绢110211135522,3»4521342426805的秩以及它的一个极大线性无关组；解:1将其余的向量用所求的极大线性无

7、关组线性表示。102111021113552033612134201120426800224(1)求向量组1，24102100112000001r(i.其极大线性无关组可以取为且：2-5122052.求向量组A：(2,6,2,0)T,3(240.2)T4(0,1022)T，的一个极大无关组,并将其余向量由它线性表示解：由题意，12024101022123n01%屋00002010102222411h02012100101011113/5°1001故向量组A的一个极大无关组为3，其中43.T2,3,11)a为何值时,3线性无关.2)a为何值时,3线性相关.4.求向量组A:2,3,1,2

8、7、的极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示第一步先用初等行变换把矩阵化成行（最简阶梯形矩阵.2nn100027344734形）100021004100n2r210002100知r(A)2,即1,的极大无关组，彳2起，由矩阵F可见2fi则有5.已知1,4,2丁，22,7,30,1,a3,10,41，问a为何值时,当a3时,3唯一线性表示并写出表示式3时,3线性相会2,3线性无关.(1,2,2)，7.求向量组A：12(0,3,1)T，3(1,5,4)T(2,3,4)丁的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示解：由题意，12330-04=(1,1,0,4) T故向量组A的一个极大无关组为其

9、中8.试求向量组1二(1,1,2,2),2=(021,5)3=(2,0,3,-1)的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示解：I以1,2,3,4作为列构造矩阵A即A=(1,2,3,4)I用初等行变换化A为行阶悌形矩阵则T的非零行的行数r即为R(A),再化T为行最简形T,则T0中任意r个线性无关的向量所对应的向量组即为该向量组的最大无关组.写填生学(级班1O Ooo O31 O1 92 T=o OO 2 1 5)=1 O 2 22 1 o O O 1 o O1 o o O所以R(A)=3. 故R(4)=3.四证明题：（10分）设向量组3线性无关，求证:22， 2233， 3

10、3证明：设存在数kl,k2,k3，使 kl ( 12 2)6(23> k3 <331 » 。成立。由kl(122)k22133)k3331)。得,(kik3)i(2ki2k2)3k23k3)0。ai,a2,a3线性无关ki ks2ki 2k2ki3k3 3k3k2k 31线性无关.2.已知向量组ai®,a线性无关，.证：因为1+22,2+3,123线性无关.21*22,2+2-23r2r02因而向量组1+22,2+23.123线性无关3.若向量组l221.2,3线性无关，而133，试证：1,2,3线性无关。101210022112601122证明:设存在常数4工2k3，使得kl1k2