2024年全国硕士研究生招生考试数学试题及答案

2024年全国硕士研究生招生考试

数学(一)试题

一、选择题(每小题5分，共50分)

nx,psin®,2

1、已知函数了(灯=Joecostdt,g(x)=J。e*dt,则

()

(A)/Q)是奇函数，gQ)是偶函数

(B)/侬)是偶函数，gQ)是奇函数

(C)/Q)与gQ)均为奇函数

(D)/Q)与gQ)均为周期函数

2、设尸=「(与幼乃,(3=(53,%乃均为连续函数，\为曲面

z=y/l—x2—y2(x<.0,y>0)

的上侧，则aPdgdN+Qd2d/=()

(A)ff-P+^-Qdxdy(B)JJ；-|P+|Qd/dg

JJ'N2/

(C)rr^P_yQ]dxdy(D)a[-^p-yQ]dxdy

OPOP

3、已知幕级数£Q,力”的和函数为ln(2+，)，则£na2n

71=0n=l

()

1111

(A)--(B)--(C)-(D)-

6363

4、设函数f(x)在区间(-1,1)上有定义，且lim/Q)=0,则()

x—>0

(A)当lim'⑺=m时，f'(0)=m

多—ox

(B)当/z(0)=m时，lim'也)=m

纪f0x

(C)当limf\x)=m时，1f'(0)=m

/一>0

(D)当/'(0)=m时，limf\x)=m

x—>0

第2页

5、在仝间直角坐标系O—化沙之中，三张平面

7vi:a产++c产=4(I=1,2,3)

的位置关系如下图所示

万

%1

万2

r%

万

3

n

(B)m=n=2

(C)77l=2,72=3(D)m=n=

%,%,%线性相

关，且其中任意两个向量均线性无关，则()

(A)a=1,bn—1(B)a=l,b=—1

(C)a0一2,b=2(D)a=—2,b=2

7、设4是秩为2的3阶矩阵，a是满足4a=0的非零向量，若

对满足力,a=0的3维向量力，均有4万=万，贝!J()

(A)A3的迹为2(B)A3的迹为5

(C)A?的迹为8(D)A?的迹为9

8、设随机变量X,y相互独立，且X〜7V(0,2),y〜2V(-2,2),

若「{2X+V<a}=尸{x>y},则0二()

(A)-2-V10(B)-2+V10

(C)-2-V6(D)-2+V6

9、设随机变量X的概率密度为

第3页

2(1_乃,0<a?<1

f(x)=-

0,其他

在x=旗0＜宓＜1)的条件下，随机变量y服从区间3,1)上的

均匀分布，则cov(x,y)=()

1

(A)-------⑻—专(C)—(D)—

367236

io.设随机变量x,y相互独立，且均服从参数为入的指数分布,

令Z=|X—YI,则下列随机变量与Z同分布的是()

(A)X+r(B)X+Y(C)2X(D)X

2

二、填空题(11」6题，每题5分，共30分)

/\sinx

1+axo21—1

[[、已知lim----------------------=6,贝！]a=___________

x—0,3

12、已知/(加。)存在二阶连续的偏导数，且

d/(l,1)=3d〃+4do.

.\ri2

若沙=/(COSNJ+Z2),则―4=___________.

'/d/

冗=0

13、已知73)=1+=,若

Q00

f⑺=U+£4cosnx,xe[0,TT],

2n=l

2

八贝!」!lim、nsina„.

n—>oo2n—l----------------

I

14、微分方程/=-------满足g⑴=0的解为______________

3+y)2

a+1a

15、已知A=,对于任意的实向量OL=',8=1

aa力2%

都有,^TAf3则Q的取值范围是________

16、设随机试验每次成功的概率为P，现进行3次独立重复试验,

第4页

4

在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为一,则

13

p=

三、解答题：（17-22题，共70分）

17、（10分）已知平面区域

D=｛侬加1一力<x<1,-1

X

计算/=ffD-1=dxdy.

J/+期2

18、（12分）已知函数4亚g）=d+/一（力+妨2+3,设7

是曲面z=y）在点（1,1,1）处的切平面，。是T与坐标平面所

围成的有界区域在④O"面上的投影.

⑴求T的方程；

（2）求了3,g）在区域。上的最大值和最小值.

19、（12分）设了3）具有二阶导数且r（o）=r⑴⑺区1.

证明：。）当力G（0,1）时，有

If（m—f（0）（l-^）-fWx|<^^；

0J>）小54

20、（12分）已知向曲线E是球面/+货+i=27与平面

2x-z-l=0的交线，从N轴正向往N轴负向看为逆时针方

向，计算曲线积分

=J*(Qxyz—yz2)dx+2x2zdy+xyzdz.

21、(12分)已知数歹此4｝,｛外卜｛%｝满足

力o=_1,珈=°，%=2且

Xn-—^Xn-l+^Zn-V

'%=-2。冗_1_2勺_1，

Zn=~^Xn-l~3%,_1+眨几_1，

第5页

记=yn,写出满足口八=的矩阵4,并求4日及

xz

n^yn')n=1,2,…)的通项表达式.

22、(12分)已知总体X服从［0,。］上的均匀分布，ee(0,+oo)

为未知参数，X「X2,…,X0是来自总体X的简单随机样本，记

X(m=max{XVXV•••,Xn},T,=cX^.

⑴求c,使得式是。的无偏估计；

(2)记h©=E(Tc一肝,求。，使得贴)最小.

第6页

2024年全国硕士研究生招生考试

数学(一)试题参考解答

一、选择题(每小题5分，共50分)

1、【答案】：C

【参考解答】：两个被积函数都为偶函数，故正确结果为【C】.

2、【答案】：A

【参考解答】：由两类曲面积分之间的关系，有

rr„cosmcos3,

j*j*^Pdydz+Qdzda?fIP------+Q--dtxdy

cos7cosy

而曲面取为上侧的方向余弦为

(cosa,cos⑸cos7)=(力，%n)

代入上式即得

JXPdydzQdzdx=JJP—+Q—

即正确选项为【A】.

3、【答案】：A

【参考解答】：函数ln(2+x)的麦克劳林级数为

oo/-J\n—1

CT

ln(2+CD)=In2+In1H----ln2+V—xn

念展2n

比较系数得=(-1)n~,n=1,2,…•代入所求级数表达式，得

OOOOIll

皿2r;£-

El816

n=ln=l1-----

4

故正确选项为【A】.

4、【答案】：B

【参考解答】：由r(o)=小可知函数/(⑼在/=。处连续，故由

limf(x)=0可知/(0)=0,故由导数的定义可知

力一＞0

lim&Ulim%匕幽

==rn

a3->0xg—0①—0

第7页

即正确选项为【B】.

【注】(A):有可能/Q)在方=0处不连续，可能为其可取间断点.

(C)(D):导函数J'Q)在①=0处不一定连续，故都不确定.

5、【答案】：B

【参考解答】:记A=、，b=d?,由于三个平面交于一条直线,

也即方程组4力=d有无穷多解,故根据线性方程组解存在的条件可

知r(4)=r(A,b)<3.又三个平面不平行，故必有

r(A)=r(A,b)>1,

所以「(4)=r[A,b)=2,即正确选项为【B】.

6、【答案】：D

【参考解答】：由题设可知%,%线性无关，所以awl,且

r(%,a2，％)=2.对向量组(%,%,)实施初等行变换，有

-1—CL

a+2

从而可知a+2=0,a+b=0,解得a=—2,b=2,此时

两两线性无关，故正确选项为【D】.

7、【答案】：A

【参考解答】：设4=闲，则由4a=0知/3：a=0,，=l,2,3.

由于对满足=0的3维向量p均有4万二万，故

二处,，=1,2,3且«闺=2.也就表明用,色,63中至少有

两个线性无关的向量是4的特征值1所对应的特征向量，即1至少

是4的二重特征值.而4显然有一个特征值是0，所以4的特征值

为1,1,0,从而A2和A3的特征值也是1,1,0从而可知它们的迹都

第8页

等于2,即正确选项为[A].

8、【答案】：B

【参考解答】：由题设知2X+y〜N(—2,10),X—y〜N⑵4),

..—r—^-2X+y+2.、X-Y—2-z、_„

从而有-----7=----〜NA7(z0J),----------------〜NA7(OJ).于是

V102

X-Y-2r

p[x>y}=P[X-Y>o}=P--------------->-1

2

=i—$(—i)=①⑴

2X+y+2

P[2X+Y<a]=P而<=中⑴

Q+2

由条件可知=l,a=屈一2.即正确选项为[B].

9、【答案】：D

【参考解答】：由题设可知，在x=/(。<%<1)的条件下，y的

条件概率密度为

f/I\-----，X<y<1

fY\X(y\X)=1-x

0,其他

所以x与y的联合概率密度为

2,0<x<y<1

f(x,y)=f(x)f(y\x)=

Y]x0,其他

于是可得

Cov(X,y)=E(XY)-E(X)E(Y)

y1

=fo的2吗d'—J：dgj：2M力心打。2yax

0

——1-1--—2—----1-

-433-36

即正确选项为【D】.

10、【答案】:D

【参考解答】：先求Z的分布函数3(z):

当zgO时,Fz(z)=0.

当z>0时，

第9页

Fz(z)=P{z<z}=P{\X-Y\<z}

=l-P\\X-Y\>z]

p+oopx—z、、

=1-2dx/入e—6•Xe~Xydy

JzJo

=1-2J0°Ae~Ax(1-eAz~Ax^dx=1-e~Az

由此可知Z服从参数为人的指数分布，所以正确选项为【D】.

二、填空题(11-16题，每题5分，共30分)

11、【答案】：6

【参考解答】：由二—1〜力〜sin/~In(1+力)(,T0),得

\sinx,I2、

l+a，-1sm叫1+M)

---------------------=lim-----------------------

宓一>0/3力10①3

sin/lnl+a，)/.萩

=lim---------------------L=lim---------=Q=6

2—0z—>0况3

故a=6.

12、【答案】：5

【参考解答】：由d/(l,l)=3dw+4do可知

的1)=3,依,1)=4.

由复合函数求导法则，可得

二*cos①,1+，)•(一sinx)+力［cos①,1+，).2⑦

对上式两端继续求导，可得

12

—g=4'•sin2x—2xsinxf；；—cosx于:

dx2

-2zsin时;;+4犷以•+2为'

代入力=0,得粤=—*1,1)+24'(1,1)=5.

dXx=0

13、【答案】：一工

7T

【参考解答】：由题设可知，傅里叶级数为余弦级数，故为对函数/Q)

视为偶函数展开，故得其傅里叶系数为

第10页

2

anx]cosnxdx+x]cosnxdx

7T

2cos(nx)।xsin(nx)+sin(na?)2cos(7rn)—1

4n2nkn2

故得a2n-l=2cos（2-—l=-1—J.代入极

不（2”叶（2n-1）2

限式并由等价无穷小sin%〜力,T0）得

41

limn2sin%=limn2sin

moc2n_1n—>oon(2n-l)2

4n21

=-----lirm--------------=------・

14、【答案】：y=arctan（a?+y）-----

4

【参考解答】：对微分方程两端取倒数，视9为自变量，力为函数，

有名'=（力+g）2令力+9=〃，则况'=〃'一1,代入得

〃，=“2+1,分离变量积分得

arctanu=arctan（"+9）=沙十0

7F

代入夕=0,z=1，得C=arctan1=：.故所求微分方程的解为

arctan（力+g）=yH.

15、【答案】：［0,+8）

【参考解答】：直接将必万代入计算不等式，得

<W+a（%+力+a仅1+%）2

当。之0,则由柯西不等式可知不等式成立.如果。<0,假定

力1以

叫+=N0,4+%N0，令U=----------,O=--------,则上

%+%%+%

述不等式等价于

222

(xy+a)<(力?_|_a\[y+a|O2axy<_a(力?_|_y

第11页

即显然不成立.所以a的取值范围是［0,+oo）.

9

16、【答案】：-

3

【参考解答】：设在3次试验中，8表示事件4至少发生1次，。

表示事件4发生3次，由题设可知，

p34

13

解得P=--

3

三、解答题：（17-22题，共70分）

17、【参考解答】：积分区域如下图：

积分区域为简单X—型区域，直接可以转换为累次积分，得

fyfhX

dx=(——dg

x2+.y2tv

-1dg=dy-2

令V=tan%,则积分为

+/dg=

_Wdsintdu

sint=〃)=J2

Jocos，t2

1-w2

111

--------------77-------rH-du

4(口-I)24(。+1)4(u+I)24(〃—1)

册

112

H——In1+tt—--lnu-1

4(u—1)44(?z+1)4

第12页

=i272+In1+1

-In1-----尸

4血，

+1

2472-122

代入上面的积分式，得

+1-2.

18、【参考解答】：⑴曲面曲面N=/(I,切在点(1,1,1)处的法向

量为

|的dy.、

I必(1,1,1)

—卜宏2—2(a?+妨,3娟—2(力+g)，-1)()=(―1,—1,—1).

所以切平面T的方程为

一(3?_1)—(n—1)—(z—1)—0xyz—3—0.

⑵由⑴可知区域。=a{(宏,始|定+V;3,④20,420}.令

a=312—2(冗+y)=0,

a

a

444417

在。内解得/=—,g=—・代入函数表达式，得f——-----

333’3-27

再考虑三个边界：

4:y=0,0<x<3_E,f(x,0)=/—，+3,令

/'(伤0)=3X2-2X=0,得区间仅,3)内的解力=-.计算得

3

2'77

7(0,0)=3"-,0=—,/(3,0)=21.

4：宓=0,0S?/S3上，由对称性可知有相同的值

/(0,0)=3,f0,|=["(0,3)=21.

O//

33

L3:y=3—ic,0<a?<3Jz/(sc,3—a?)=a？+(3—se)—6,令

区间仅,3)内的解力计算得/=［比较上面

/\(44)17

的函数值，得"=/(0,3)=21,熊§事”

?

19、【参考解答】：(1)【法1】由于/(⑼具有二阶导数，故

V®G(0,1),有

f{t)=/同+r同•一%)+‘F)(%-♦『.

其中(位于方山之间，代入力=0"=1,得

/(1)=/(q+r(。)(1—勾+(1—4，

/仅)=/(①)+r3(T+'x2.

其中④<&<1,0<J<%•两式消去“勾，得

(1-a?)f(o)+xf(1)-f(a;)

故由绝对值不等式与〃⑺区1和④6(0,1),得

［㈤―(1—句刖—时仰

、；力(1―7)2+力2(1—="与")•

【法2】由于13)具有二阶导数,故注，［仅R,有

f(x)=.0)+/'仅)出+/

上)=则+/，(1)(”—1)+华("/

其中其中o<备<伤=<&<L由于r(o)=r⑴，将第二式

中的?。)替换为r(o),然后两式消去〃o),整理得

f3)-f(0)(l~x)~f(l)x

_，(1一司/〃(幻+-if/〃(&)

—2

故由绝对值不等式与厂㈤区1和⑦e仙1),得

第14页

|/(宏)—(1—%)刖一时(1)1

_/(1—X)

<-X\l—X2+/(1—力

—22

(2)由⑴及

/(O)(1-MT⑴司dx

9一笔幽

所以由定积分的绝对值不等式性质，得

<Jo|/3)—7(。)(1一⑼一/(1)司dx

1

<r^^ldx=±,

一Jo212

即所证不等式成立.

20、【参考解答】：【法1】用两曲面方程消去z,得

y2+5a?2—67+1=0,

2

3y24

即①——H.......——.记

5/525

322)

E:z=2比一1,x----+L〈土

55-25

方向朝上.又曲面、的单位法向量为

o

n—(cosa,cos/3,cos7)=(—2,0,1)

故由斯托克斯公式公式,得

cosacos/3

dd

=ffdxOy

Qxyz—yz22X2Z

z1—2\xz—2x2—2xz

-------dS

=ff靠

由^dSudb,故由对面积的曲面积分的直接计算法,将

N=2力一1代入，整理得

第15页

I=ffld<T

D

易知区域。是a=~,b=二的椭圆.故/=irab="员

57525

【法2】由被积表达式定义在积分曲线上，故满足积分曲线的方

程，也即可以直接将z=2①一1代入，故得

I=J(6xy(2x—1)—y(2x—I)2jda?

+2X2(2X—l)dy+xy(2x—l)d(2①—1)

=J(12比2—4%—3_,d力+(4宏③—2x

由于积分仅仅与电g有关，故只需要考察其在/O3/面的投影曲线.

用两曲面方程消去N,得投影曲线为④。?/面上的椭圆，

_4

c:x-----n.......——

5525

方向取为逆时钟方向.于是由格林公式，可得

4v

dQdP=ffd<T

I=ff(D

dx8y,25

Xn-202Xn

21、【参考解答】：由题设得0-2-2y,故得

ynn

Zn-6-33%

-202

A=0-2-2

一6-33

满足外=4a-广令

A+20-2

\XE-A\=0A+22

63A-3

=A(A—1)(A+2)=0

得矩阵4的特征值为入i=0,入2==一2.

对％=0,解方程组(0E—4)力=0,得对应的特征向量

%二(LTD、

对A=L解方程组(E-A)x=0t得对应的特征向量

第16页

%=(2,一2,3)2.

对％=-2,解方程组（一2E-A）x=O,得对应的特征向

量％=(—1,2,0)7.令

12-1

产=(%,)=—1—22

130

000000

则尸1{?=